《第八章 §8.5 椭圆及其性质.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第八章 §8.5 椭圆及其性质.docx（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 8.5椭圆及其性质考试要求1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用知识梳理1椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距2椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1 (ab0)1 (ab0)范围axa且bybbxb且aya顶点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)轴长短轴长为2b，长轴长
2、为2a焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点离心率e(0eb0)与1(ab0)的焦距相等()教材改编题1设P是椭圆1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4 B5 C8 D10答案D解析依椭圆的定义知，|PF1|PF2|2510.2若椭圆C：1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为()A3 B2C2 D.1答案A解析由题意知a2，b，所以c1，距离的最大值为ac3.3(2022深圳模拟)已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为，则C的方程可以为_答案1(答案不唯一)解析因为焦点在x轴上
3、，所以设椭圆的方程为1，ab0，因为离心率为，所以，所以，则.题型一椭圆的定义及其应用例1(1)已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|PN|PM|PA|AM|6|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆(2)设点P为椭圆C：1(a2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且F1PF260，则PF1F2的面积为_答案解析由题意知，c.又F1PF260，|F1P|PF2|2a，|F1F2|2，|
4、F1F2|2(|F1P|PF2|)22|F1P|PF2|2|F1P|PF2|cos 604a23|F1P|PF2|4a216，|F1P|PF2|，|F1P|PF2|sin 60.延伸探究若将本例(2)中“F1PF260”改成“PF1PF2”，求PF1F2的面积解PF1PF2，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24(a24)4a216，又|PF1|PF2|2a，|PF1|PF2|8，4.教师备选1ABC的两个顶点为A(3,0)，B(3,0)，ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为()A.1(y0)B.1(y0)C.1(y0)D.1(y0)答案A解析由题知点C到A，B两点的距离之和为10，故C的
5、轨迹为以A(3,0)，B(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a10，c3，b2a2c216.所以方程为1.又A，B，C三点不能共线，所以1(y0)2若F1，F2是椭圆1的两个焦点，A为椭圆上一点，且AF1F245，则AF1F2的面积为()A7 B. C. D.答案C解析由题意得a3，b，c，|F1F2|2，|AF1|AF2|6.|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1|F1F2|cos 45|AF1|284|AF1|，(6|AF1|)2|AF1|284|AF1|，解得|AF1|.AF1F2的面积S2.思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三
6、角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题跟踪训练1(1)已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是()A.1B.1C.1D.1答案D解析设动圆的圆心M(x，y)，半径为r，圆M与圆C1：(x4)2y2169内切，与圆C2：(x4)2y29外切所以|MC1|13r，|MC2|3r.|MC1|MC2|16|C1C2|8，由椭圆的定义，M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆则a8，c4，所以b2824248，动圆的圆心M的轨迹方程
7、为1.(2)(2022武汉调研)设椭圆1的一个焦点为F，则对于椭圆上两动点A，B，ABF周长的最大值为()A4 B6C22 D8答案D解析设F1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得|AF|BF|AB|2a|AF1|2a|BF1|AB|4a|AB|BF1|AF1|8|AB|BF1|AF1|，当A，B，F1三点共线时，|AB|BF1|AF1|0，当A，B，F1三点不共线时，|AB|BF1|AF1|b0)，由椭圆定义可得|AF1|AB|BF1|4a.|AB|BF1|，|AF1|2|AB|4a.又|AF2|2|F2B|，|AB|AF2|，|AF1|3|AF2|4a.又|AF1|AF2|2a，|AF
8、2|a，A为椭圆的短轴端点如图，不妨设A(0，b)，又F2(1,0)，2，B.将B点坐标代入椭圆方程1，得1，a23，b2a2c22.椭圆C的方程为1.命题点2待定系数法例3已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(，)，则该椭圆的方程为_答案1解析设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)因为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，则解得所以所求椭圆的方程为1.教师备选1已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，若F1AB的周长为8，则椭圆方程为()A.1 B.1C.y21 D.
9、1答案A解析如图，由椭圆的定义可知，F1AB的周长为4a，所以4a8，a2，又离心率为，所以c1，b23，所以椭圆方程为1.2设椭圆1(m0，n0)的右焦点为(2,0)，离心率为，则此椭圆的方程为_答案1解析椭圆的右焦点为(2,0)，所以m2n24，e，所以m2，代入m2n24，得n24，所以椭圆方程为1.思维升华根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可跟踪
10、训练2(1)已知椭圆的两个焦点为F1(，0)，F2(，0)，M是椭圆上一点，若MF1MF2，|MF1|MF2|8，则该椭圆的方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案C解析设|MF1|m，|MF2|n，因为MF1MF2，|MF1|MF2|8，|F1F2|2，所以m2n220，mn8，所以(mn)236，所以mn2a6，所以a3.因为c，所以b2.所以椭圆的方程是1.(2)已知F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|3，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1答案C解析如图，|AF2|AB|，|F1F2|2，由椭圆定义，得|A
11、F1|2a.在RtAF1F2中，|AF1|2|AF2|2|F1F2|2222.由得a2，b2a2c23.椭圆C的方程为1.题型三椭圆的几何性质命题点1离心率例4(1)(2022湛江模拟)已知F是椭圆C：1(ab0)的右焦点，过椭圆C的下顶点且斜率为的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C的离心率为()A. B.C. D.答案A解析过椭圆C的下顶点(0，b)且斜率为的直线方程为yxb，即xyb0，F(c，0)，由点到直线距离公式，得c，即c2bcb2，即(2cb)(c2b)0，则2cb0，b2c.又a2b2c2，即a2(2c)2c25c2，解得.(2)已知F1，F2分别是椭圆1(ab
12、0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使F1PF290，则椭圆的离心率e的取值范围为()A. B.C. D.答案B解析若椭圆上存在点P，使得PF1PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得cb，即c2b2，所以2c2a2，即e2，又e0)的离心率e，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值为_答案4解析由题意知a2，因为e，所以c1，所以b2a2c23，故椭圆的方程为1.设P点的坐标为(x0，y0)，所以2x02，y0.因为F(1,0)，A(2,0)，所以(1x0，y0)，(2x0，y0)，所以xx02yxx01(x02)2，所以当x02时，取得
13、最大值4.教师备选1(多选)嫦娥四号在绕月飞行时是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3 476公里，则下列选项中正确的有()A焦距长约为300公里B长轴长约为3 988公里C两焦点坐标约为(150,0)D离心率约为答案AD解析设该椭圆的长半轴长为a，半焦距长为c.依题意可得月球半径约为3 4761 738，ac1001 7381 838，ac4001 7382 138，所以2a1 8382 1383 976，a1 988，c2 1381 988150,2c300，椭圆的离心率约为e，可得结论
14、A，D正确，B错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C错误2(2022太原模拟)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2 B3 C6 D8答案C解析由椭圆1可得F(1,0)，点O(0,0)设P(x，y)(2x2)则x2xy2x2x3x2x3(x2)22，2x2，当且仅当x2时，取得最大值6.思维升华与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质；(2)利用函数，尤其是二次函数；(3)利用不等式，尤其是基本不等式跟踪训练3(1)(2022济南质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半
15、径的圆与E交于P，Q两点若PF1F2为直角三角形，则E的离心率为()A.1 B.C. D.1答案A解析不妨设椭圆E的方程为1(ab0)，如图所示，PF1F2为直角三角形，PF1F1F2，又|PF1|F1F2|2c，|PF2|2c，|PF1|PF2|2c2c2a，椭圆E的离心率e1.(2)已知椭圆1(ab0)的右焦点为F(c，0)，上顶点为A(0，b)，直线x上存在一点P满足()0，则椭圆的离心率的取值范围为()A. B.C. D.答案C解析取AP的中点Q，则()，所以()20，所以FQAP，所以AFP为等腰三角形，即|FA|FP|，且|FA|a.因为点P在直线x上，所以|FP|c，即ac，所以
16、1，所以e2e10，解得e或e.又0e1，故e1.课时精练1已知动点M到两个定点A(2,0)，B(2,0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为()A.y21 B.1C.x21 D.1答案D解析由题意有6224，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则2a6，c2，故a29，所以b2a2c25，故椭圆的方程为1.2若椭圆C：1(ab0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案C解析依题意可知，cb，又ac，椭圆的离心率e.3椭圆y21的两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是()A1,1 B1,0C0,1 D1,2答案C解析设F1为左焦点，则由椭圆方程得F
17、1(1,0)，F2(1,0)，设P(x，y)，x，(1x，y)，(1x，y)，则x2y210,14设e是椭圆1的离心率，且e，则实数k的取值范围是()A(0,3) B.C(0,3) D(0,2)答案C解析当k4时，c，由条件知；当0k4时，c，由条件知1，解得0k1)，解得a2或a2(舍去)，则椭圆C的离心率e，又0eb0)，依题意得因此a5，b4，所以椭圆的标准方程为1.(2)易知|yP|4，又c3，所以|yP|2c4612.10已知椭圆C：1(ab0)，焦点F1(c，0)，F2(c，0)，左顶点为A，点E的坐标为(0，c)，A到直线EF2的距离为b.(1)求椭圆C的离心率；(2)若P为椭圆
18、C上的一点，F1PF260，PF1F2的面积为，求椭圆C的方程解(1)由题意得，A(a，0)，EF2：xyc，因为A到直线EF2的距离为b，即b，所以acb，即(ac)23b2，又b2a2c2，所以(ac)23(a2c2)，所以2c2aca20，因为离心率e，所以2e2e10，解得e或e1(舍)，所以椭圆C的离心率为.(2)由(1)知离心率e，即a2c，因为F1PF260，PF1F2的面积为，则|PF1|PF2|sin 60，所以|PF1|PF2|4，又所以a2c23，联立得a2，c1，所以b2a2c23，所以椭圆C的标准方程为1.11(多选)(2022大连模拟)已知椭圆C：1的左、右焦点分别
19、是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的是()A|PF1|PF2|4B存在点P满足F1PF290C直线PA1与直线PA2的斜率之积为D若F1PF2的面积为2，则点P的横坐标为答案CD解析由椭圆方程知a4，b3，c，|PF1|PF2|2a8，A错误；当P在椭圆上、下顶点时，cosF1PF20，即F1PF2最大值小于，B错误；若P(x，y)，则 ，有，而1，所以16y29(x216)，即有，C正确；若P(x，y)，F1PF2的面积为2，即2，故y2，代入椭圆方程得x，D正确12(多选)2021年10月16日，神舟十三号发射圆满成功，人民日报
20、微博发了一条“跨越时空的同一天”，致敬每一代人的拼搏！已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是()A飞船向径的取值范围是ac，acB飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D飞船运行速度在近地点时最大，在远地点时最小答案ABD解析根据椭圆定义知飞船向径的取值范围是ac，ac，A正确；当飞船在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，知在左半椭圆弧的运行
21、时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B正确；1，比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C错误；根据面积守恒规律，飞船在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确13设F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，若在直线x上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是()A. B. C. D.答案D解析设P，F1(c，0)，F2(c，0)，由线段PF1的中垂线过点F2得|PF2|F1F2|，即 2c，得m24c222a23c20，即3c42a2c2a40，得3e42e210，解得e2，又0e1，故eb0)，焦点F1(c，0)，F2(c，0)(c0)若过F
22、1的直线和圆2y2c2相切，与椭圆的第一象限交于点P，且PF2x轴，则该直线的斜率是_，椭圆的离心率是_答案解析设过F1的直线与圆的切点为M，圆心A，则|AM|c，|AF1|c，所以|MF1|c，所以该直线的斜率k.因为PF2x轴，所以|PF2|，又|F1F2|2c，所以k(0eb0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别为F1，F2，且F1AB的面积为，若点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围是_答案1,4解析由已知得2b2，故b1.F1AB的面积为，(ac)b，ac2，又a2c2(ac)(ac)b21，a2，c，.又2|PF1|2，1|PF1|24|PF1|4，14，即的取值范
23、围为1,416已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260.(1)求椭圆的离心率的取值范围；(2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关(1)解不妨设椭圆的方程为1(ab0)，焦距为2c.在F1PF2中，由余弦定理得，cos 60，即，所以|PF1|PF2|4a22|PF1|PF2|4c2，所以3|PF1|PF2|4b2，所以|PF1|PF2|.又因为|PF1|PF2|2a2，当且仅当|PF1|PF2|时等号成立，所以3a24(a2c2)，所以，所以e.又因为0e1，所以所求椭圆的离心率的取值范围是.(2)证明由(1)可知|PF1|PF2|b2，所以|PF1|PF2|sin 60b2b2，所以F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关