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1、- 1 - / 10【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第八章平面解析几何精选高考数学一轮复习第八章平面解析几何 8-6-18-6-1 椭椭圆的概念及其性质课时提升作业理圆的概念及其性质课时提升作业理(25(25 分钟分钟 6060 分分) )一、选择题一、选择题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2525 分分) )1.已知椭圆+=1(ab0)的一个焦点是圆 x2+y2-6x+8=0 的圆心,且短轴长为 8,则椭圆的左顶点为 ( )A.(-3,0)B.(-4,0)C.(-10,0)D.(-5,0)【解析】选 D.因为圆的标准方程为(x-3)2+y2=1,所以圆心坐标为
2、(3,0),所以 c=3.又 b=4,所以 a=5.因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以椭圆的左顶点为(-5,0).2.已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,且点 N(2,0),线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是 ( )A.圆 B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】选 B.点 P 在线段 AN 的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又 AM 是圆的半径,所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6|MN|,由椭圆定义知,P 的轨迹是椭圆.- 2 - / 103.已知圆 M:x2+y2+2mx-3=0(m0,m2+12mm(m0)
3、,所以a2=m2+1,b2=m,c2=a2-b2=m2-m+1,e2=1-=1-1-=,所以eb0),右焦点为 F(c,0)(c0),方程 ax2+bx-c=0 的两实根分别为 x1,x2,则 P(x1,x2) ( )A.必在圆 x2+y2=2 内B.必在圆 x2+y2=2 外C.必在圆 x2+y2=1 外D.必在圆 x2+y2=1 与圆 x2+y2=2 形成的圆环之间【解析】选 D.在椭圆中有 a2=b2+c2,由方程 ax2+bx-c=0 的根与系数之间的关系有:x1+x2=-,x1x2=-,+=(x1+x2)2-2x1x2=+2=1-e2+2e=2-(e-1)2,又 0b0).因为 c2
4、=16,且 c2=a2-b2,故 a2-b2=16.又点(,-)在所求椭圆上,所以+=1,即+=1.由得 b2=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程为+=1.答案:+=18.设 F1,F2 分别是椭圆+=1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为 .【解析】|PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|,易知 M 点在椭圆外,连接 MF2 并延长交椭圆于 P 点,此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,故|PM|+|PF1|的最大值为 10+|MF2|=10+=15.答案
5、:15三、解答题三、解答题( (每小题每小题 1010 分分, ,共共 2020 分分) )9.已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F(-2,0),且长轴与短轴长的比是2.(1)求椭圆 C 的方程.(2)设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上,点 P 是椭圆上任意一点.当|PM|最小时,点 P- 5 - / 10恰好落在椭圆的右顶点,求实数 m 的取值范围.【解析】(1)由题意知解得所以椭圆方程为+=1.(2)设 P(x0,y0),且+=1,所以|PM|2=(x0-m)2+=-2mx0+m2+12=-2mx0+m2+12=(x0-4m)2-3m2+12(-4x04).所以|PM|2 为关于
6、 x0 的二次函数,开口向上,对称轴为 x0=4m.由题意知,当 x0=4 时,|PM|2 最小,所以 4m4,所以 m1.又点 M(m,0)在椭圆长轴上,所以 1m4.10.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b),连接 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,连接 F1C.(1)若点 C 的坐标为,且|BF2|=,求椭圆的方程.(2)若 F1CAB,求椭圆离心率 e 的值.【解析】(1)由题意,F2(c,0),B(0,b),|BF2|=a=,又 C,所以+=1,解得 b=1.所以
7、椭圆方程为+y2=1.(2)直线 BF2 的方程为+=1,与椭圆方程+=1 联立组成方程组,解得 A 点坐标为,则 C 点坐标为,=.又 kAB=-,由 F1CAB 得=-1,即 b4=3a2c2+c4,所以(a2-c2)2=3a2c2+c4,化简得 e=.- 6 - / 10(20(20 分钟分钟 4040 分分) )1.(5 分)(2016太原模拟)已知圆锥曲线 mx2+4y2=4m 的离心率 e 为方程 2x2-5x+2=0 的根,则满足条件的圆锥曲线的个数为 ( )A.4 B.3 C.2 D.1【解析】选 B.因为 e 是方程 2x2-5x+2=0 的根,所以 e=2 或 e=.mx2
8、+4y2=4m 可化为+=1,当它表示焦点在 x 轴上的椭圆时,有=,所以 m=3;当它表示焦点在 y 轴上的椭圆时,有=,所以 m=;当它表示焦点在 x 轴上的双曲线时,可化为-=1,有=2,所以 m=-12.所以满足条件的圆锥曲线有 3 个.2.(5 分)已知椭圆+=1(ab0)的右焦点为 F1,左焦点为 F2,若椭圆上存在一点 P,满足线段 PF1 相切于以椭圆的短轴为直径的圆,切点为线段 PF1 的中点,则该椭圆的离心率为 ( )A.B.C.D.【解析】选 A.如图所示,设线段 PF1 与圆切于点 M,则|OM|=b,|OF1|=c,故|MF1|=,所以|PF1|=2|MF1|=2.又
9、 O 为 F1F2 的中点,M 为 PF1 的中点,所以|PF2|=2|OM|=2b.由椭圆的定义,得 2+2b=2a,即=a-b,即=a-,即=1-,两边平方,整理得 3e2-3=-2,再次平方,整理得9e4-14e2+5=0,解得 e2=或 e2=1(舍去),故 e=.3.(5 分)如图,OFB=,ABF 的面积为 2-,则以 OA 为长半轴,OB 为短半轴,F 为一个焦点的椭圆方程为 .【解析】设标准方程为+=1(ab0),- 7 - / 10由题可知,|OF|=c,|OB|=b,所以|BF|=a,因为OFB=,所以=,a=2b.SABF=|AF|BO|=(a-c)b=(2b-b)b=2
10、-,所以 b2=2,所以 b=,所以 a=2,所以椭圆的方程为+=1.答案:+=1【加固训练】已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点 P 使=,则椭圆的离心率的取值范围为 .【解析】依题意及正弦定理,得=(注意到 P 不与 F1F2 共线),即=,所以-1=,所以=+1,即 e+1,所以(e+1)22.又 0b0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+2=0 相切.(1)求椭圆 C 的方程.(2)已知点 P(0,1),Q(0,2).设 M,N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点,直线PM 与 QN 相
11、交于点 T.求证:点 T 在椭圆 C 上.【解析】(1)由题意知,b=.因为离心率 e=,所以=.所以 a=2.所以椭圆 C 的方程为+=1.(2)由题意可设 M,N 的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),则直线 PM 的方程为- 8 - / 10y=x+1, 直线 QN 的方程为 y=x+2. 联立解得 x=,y=,即 T.由+=1,可得=8-4.因为+=1,所以点 T 的坐标满足椭圆 C 的方程,即点 T 在椭圆 C 上.【一题多解】解答本题(2)还可以用如下方法:由题意可设 M,N 的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),则直线 PM 的方程为y=x+1, 直线 QN 的方
12、程为 y=x+2. 设 T(x,y),联立解得x0=,y0=.因为+=1,所以+=1.整理得+=(2y-3)2,所以+-12y+8=4y2-12y+9,即+=1.所以点 T 坐标满足椭圆 C 的方程,即点 T 在椭圆 C 上.5.(13 分)(2015重庆高考)如图,椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直线交椭圆于 P,Q 两点,且 PQPF1.- 9 - / 10(1)若=2+,=2-,求椭圆的标准方程.(2)若=,求椭圆的离心率 e.【解题提示】(1)直接根据椭圆的定义即可求出椭圆的长轴长及焦距,从而可求出椭圆的方程,(2)根据椭圆的定义即可求解.【解析】(1)
13、由椭圆的定义,2a=+=2+2-=4,故 a=2.设椭圆的半焦距为 c,由已知 PF1PF2,因此 2c=2,即 c=,从而 b=1,故所求椭圆的标准方程为+y2=1.(2)如图,设点 P(x0,y0)在椭圆上,且 PF1PF2,则+=1,+=c2,求得x0=,y0=.由=,得 x00,从而=+=2(a2-b2)+2a=.由椭圆的定义,+=2a,+=2a.从而由=+,有=4a-2,因此(2+)=4a,即(2+)(a+)=4a,于是(2+)(1+)=4,解得e=-.- 10 - / 10【一题多解】解答本题还可以用如下方法:由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|,又由 PF1PF2,|PF1|=|PQ|知:|QF1|=|PF1|,因此 4a-2|PF1|=|PF1|,|PF1|=2(2-)a,从而|PF2|=2a-2(2-)a=2(-1)a,由 PF1PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2,因此 e=-.