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1、 4.1任意角和弧度制、三角函数的概念考试要求1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义知识梳理1角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形(2)分类(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角角的相反角记为.(4)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示(2)公式角的弧度数公式|(弧长用l表
2、示)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数(1)设是一个任意角，R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin y，cos x，tan (x0)(2)任意角的三角函数的定义(推广)：设P(x，y)是角终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin ，cos ，tan (x0)(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角()(2)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是.()(3)相等的角终边一
3、定相同，终边相同的角也一定相等()(4)若sin 0，则的终边落在第一或第二象限()教材改编题1若sin 0，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案C2已知扇形的圆心角为30，其弧长为2，则此扇形的面积为_答案12解析30，lr，r12，扇形面积Slr21212.3若角的终边过点(1，3)，则sin _，cos _.答案题型一角及其表示例1(1)(多选)下列命题正确的是()A终边落在x轴的非负半轴的角的集合为|2k，kZB终边落在y轴上的角的集合为|90k，kZC第三象限角的集合为D在7200范围内所有与45角终边相同的角为675和315答案AD解析B项，终边落在y轴
4、上的角的集合为，角度与弧度不能混用，故错误；C项，第三象限角的集合为，故错误；D项，所有与45角终边相同的角可表示为45k360，kZ，令72045k3600(kZ)，解得k(kZ)，从而当k2时，675；当k1时，315，故正确(2)已知为第三象限角，则是第_象限角，2是_的角答案二、四第一、二象限或y轴的非负半轴上解析是第三象限角，即2k2k，kZ，kk，kZ，4k224k3，kZ.当k为偶数时，为第二象限角；当k为奇数时，为第四象限角，而2的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上教师备选1角2 023是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案B解析2 02363601
5、37，它是第二象限角2若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线yx上，则角的取值集合是()A.B.C.D.答案D思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(kZ)赋值来求得所需的角(2)确定k，(kN*)的终边位置的方法先写出k或的范围，然后根据k的可能取值确定k或的终边所在位置跟踪训练1(1)下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ)Dk(kZ)答案C解析与的终边相同的角可以写成2k(kZ)或k36045(kZ)，但是角度制与弧
6、度制不能混用，排除A，B，易知D错误，C正确(2)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案C解析当k2n(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样；当k2n1 (nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样，故选C.题型二弧度制及其应用例2一扇形的圆心角，半径R10 cm，求该扇形的面积解由已知得，R10 cm，S扇形R2102(cm2)延伸探究1若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积解lR10(cm)，S弓形S扇形S三角形R2sin 102(cm2)2若将本例已知条件改为：“扇形周长为20 cm”，则当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知得，l
7、2R20，则l202R(0R10)所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以当R5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l10 cm，2 rad.教师备选1若扇形的圆心角是120，弦长AB12 cm，则弧长l等于()A. cm B. cmC4 cm D8 cm答案B解析设扇形的半径为r cm，如图由sin 60，得r4 cm，l|r4(cm)2已知扇形的面积是4 cm2，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的弧度数为_答案2解析设此扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为，则扇形的面积Slr4，所以l，设扇形的周长为L，则L2rl2r，r(0，)方法一由基本不等式得2r28，当且仅当2r，即
8、r2时，等号成立，扇形的周长取得最小值8，此时l4，故2.方法二由L20，得r2，所以当r(0,2)时，L0，L2r单调递增，所以当r2时，扇形的周长取得最小值此时l4，故扇形的圆心角2.思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形跟踪训练2(1)(2022莆田模拟)掷铁饼者取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手
9、臂长约为米，整个肩宽约为米“弓”所在圆的半径约为1.25米则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：1.414，1.73)()A1.612米 B1.768米C1.868米 D2.045米答案B解析由题意得，“弓”所在的弧长为l，R1.25，其所对的圆心角，两手之间的距离d1.251.768.(2)一个扇形的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，则圆心角为_弧度，弧长为_ cm.答案22解析设扇形的圆心角为，半径为r.则由题意得解得所以弧长lr2，所以扇形的圆心角为2弧度，弧长为2 cm.题型三三角函数的概念例3(1)若sin cos 0，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象
10、限角答案D解析由0，得0，所以cos 0.又sin cos 0，所以sin 0，所以为第四象限角(2)已知的终边在直线y2x上，则sin _.答案解析由题意可知，终边落在第一或第三象限，且tan 2，若在第一象限，可在终边上任取一点(1,2)，sin ，若在第三象限，可在终边上任取一点(1，2)，sin .(3)已知的终边过点(x,4)，且cos ，则tan _.答案解析的终边过点(x,4)，且cos ，x0.cos ，x3，tan .(4)(2021北京)若点P(cos ，sin )与点Q关于y轴对称，写出一个符合题意的_.答案解析P(cos ，sin )与Q关于y轴对称，即，关于y轴对称，
11、2k，kZ，则k，kZ，当k0时，可取的一个值为.教师备选已知角的终边与单位圆的交点为P，则sin tan 等于()A B C D答案C解析设O为坐标原点，由|OP|2y21，得y2，y.方法一当y时，sin ，tan ，此时，sin tan .当y时，sin ，tan ，此时，sin tan .所以sin tan .方法二由三角函数定义知，cos ，sin y，所以sin tan sin .思维升华(1)利用三角函数的定义，已知角终边上一点P的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出角终边的位置(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的
12、符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况跟踪训练3(1)已知是第三象限角，满足sin，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案D解析是第三象限角，2k2k，kZ，则kk，kZ，即为第二或第四象限角，又sin，为第四象限角(2)已知角的终边上一点P(，m)(m0)，且sin ，则cos _，tan _.答案解析由sin ，解得m，r2，当m时，cos ，tan ；当m时，cos ，tan .课时精练1若是第四象限角，则是第_象限角()A一 B二 C三 D四答案B解析2k0，cos 0Bsin 0，cos 0Csin 0Dsin 0，cos
13、0答案A解析因为250，cos 0.5(多选)下列说法正确的有()A经过30分钟，钟表的分针转过弧度B1 radC若sin 0，cos 0，可得为第一、第二象限及y轴正半轴上的角；由cos 0，可得为第二、第三象限及x轴负半轴上的角取交集可得是第二象限角，故C正确；对于D，若是第二象限角，则2k2k(kZ)，则kk(kZ)，所以为第一或第三象限角，故D正确6(多选)下面说法正确的有()A角与角终边相同B终边在直线yx上的角的取值集合可表示为|k36045，kZC若角的终边在直线y3x上，则cos 的取值为D6730化成弧度是答案AD解析角与角相差2，终边相同，故A正确；终边在直线yx上的角的取
14、值集合可表示为|k18045，kZ，故B错误；若角的终边在直线y3x上，则cos 的取值为，故C错误；6730化成弧度是，故D正确7若角的终边经过点P(3m，4m)(m0)，则sin cos _.答案解析由题意得r|OP|5|m|5m(O为坐标原点)，则sin ，cos ，故sin cos .8已知扇形的圆心角为120，弧长为2，则扇形面积为_答案3解析120，lr，r3，Slr233.9已知，且lg(cos )有意义(1)试判断角所在的象限；(2)若角的终边上一点M，且|OM|1(O为坐标原点)，求m的值及sin 的值解(1)由，得sin 0，所以是第四象限角(2)因为|OM|1，所以2m2
15、1，解得m.又为第四象限角，故m0，从而m，sin .10已知sin 0.(1)求角的集合；(2)求的终边所在的象限；(3)试判断tansincos的符号解(1)由sin 0，知在第一、三象限，故角在第三象限，其集合为.(2)由(1)知2k2k，kZ，故kk，kZ，故的终边在第二、四象限(3)当在第二象限时，tan0，cos0，当在第四象限时，tan0，sin0，所以tansincos0，综上，tansincos的符号为正11设集合M|45k90，kZ，N|90k45，kZ，则集合M与N的关系是()AMN BMNCNM DMN答案C解析M|452k45，kZ|(2k1)45，kZ，N|245k
16、45，kZ|(k2)45，kZ，2k1表示所有奇数，k2表示所有整数，NM.12已知角(02)终边上一点的坐标为，则等于()A. B. C. D.答案D解析因为sin，cos，所以角(02)终边上一点的坐标为，故角的终边在第四象限，且tan ，又02，所以.13.(2022佛山模拟)九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章给出了弧田(由圆弧和其所对弦所围成)面积的计算公式：弧田面积(弦矢矢2)公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离如图，弧田是由和其所对弦AB围成的图形，若弧田的长为，弧所在的圆的半径为4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为_答案
17、82解析设所对圆心角的弧度为，由题意可知4，解得.故扇形AOB的面积为4，AOB的面积为sin424，故弧田实际的面积为4.作ODAB分别交AB，于点D，C，则AB4，OD2，CD2，所以利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积为(4222)42，则所求差值为(42)82.14已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，连接OP交圆O于点B(如图)，则阴影部分的面积S1，S2的大小关系是_答案S1S2解析设点P，Q的运动速度为v，运动时间为t，圆O的半径为r，则APtv，根据切线
18、的性质知OAAP，S1tvrS扇形AOB，S2tvrS扇形AOB，S1S2.15若角的终边落在直线yx上，角的终边与单位圆交于点，且sin cos 0，则cos sin _.答案解析由角的终边与单位圆交于点，得cos ，又由sin cos 0知，sin 0，因为角的终边落在直线yx上，所以角只能是第三象限角记P为角的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x0，y0)，则|OP|1(O为坐标原点)，即x2y21，又由yx得x，y，所以cos x，因为点在单位圆上，所以2m21，解得m，所以sin ，所以cos sin .16在一块顶角为120、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？解因为AOB是顶角为120、腰长为2的等腰三角形，所以AB30，AMBN1，AD2，所以方案一中扇形的弧长2；方案二中扇形的弧长1；方案一中扇形的面积22，方案二中扇形的面积11.由此可见，两种方案中可利用废料的面积相等，方案一中切割时间短因此方案一最优