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1、 3.2导数与函数的单调性考试要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)知识梳理1函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数yf(x)在区间(a，b)上可导f(x)0f(x)在区间(a，b)上单调递增f(x)0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x(a，b)时，f(x)0，则f(x)在定义域上一定单调递增()(4)函数f(x)xsin x在R上是增函数()教材改编题1f(x)是f(x)的导函数，若f(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()答案C解析由f(x)的图象知，当x
2、(，0)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(0，x1)时，f(x)0，f(x)单调递增2函数f(x)(x2)ex的单调递增区间为_答案(1，)解析f(x)的定义域为R，f(x)(x1)ex，令f(x)0，得x1，当x(1，)时，f(x)0；当x(，1)时，f(x)0)，令f(x)0，得x1，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增(2)若函数f(x)，则函数f(x)的单调递减区间为_答案(1，)解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)，令(x)ln x1(x0)，(x)0，当x(1，)时，(x)0，解得0x2，函数g(x)的单调递增区间为(0,2)思维升华确定不含参的函数的单调性，按
3、照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开跟踪训练1(1)已知定义在区间(0，)上的函数f(x)x2cos x，则f(x)的单调递增区间为_答案，解析f(x)12sin x，x(0，)令f(x)0，得x或x，当0x0，当x时，f(x)0，当x0，f(x)在和上单调递增，在上单调递减(2)函数f(x)(x1)exx2的单调递增区间为_，单调递减区间为_答案(，0)，(ln 2，)(0，ln 2)解析f(x)的定义域为R，f(x)xex2xx(ex2)，令f(x)0，得x0或xln 2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化
4、情况如下表，x(，0)0(0，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)00f(x)单调递增单调递减单调递增f(x)的单调递增区间为(，0)，(ln 2，)，单调递减区间为(0，ln 2)题型二含参数的函数的单调性例2已知函数f(x)ax2(a1)xln x，a0，试讨论函数yf(x)的单调性解函数的定义域为(0，)，f(x)ax(a1).令f(x)0，得x或x1.当0a1，x(0,1)和时，f(x)0；x时，f(x)1时，00；x时，f(x)0，函数f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减综上，当0a1时，函数f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减延伸探究若将本例中参数a的范围改为a
5、R，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性？解当a0时，讨论同上；当a0时，ax10；x(1，)时，f(x)0，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减综上，当a0时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a1时，函数f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减教师备选讨论下列函数的单调性(1)f(x)xaln x；(2)g(x)(xa1)ex(xa)2.解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，令f(x)0，得xa，当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，f(x)在(0，)上单调递增，当a0时，x(0，a)时，f(x)0，f(x)在(0，a)上单调
6、递减，在(a，)上单调递增综上，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，当a0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增(2)g(x)的定义域为R，g(x)(xa)ex2(xa)(xa)(ex2)，令g(x)0，得xa或xln 2，当aln 2时，x(，ln 2)(a，)时，g(x)0，x(ln 2，a)时，g(x)0，g(x)在(，ln 2)，(a，)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减当aln 2时，g(x)0恒成立，g(x)在R上单调递增，当a0，x(a，ln 2)时，g(x)ln 2时，g(x)在(，ln 2)，(a，)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减；当al
7、n 2时，g(x)在R上单调递增；当af(1)fBf(1)ffCff(1)fDfff(1)答案A解析因为f(x)xsin x，所以f(x)(x)sin(x)xsin xf(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以ff.又当x时，f(x)sin xxcos x0，所以函数f(x)在上单调递增，所以ff(1)f(1)f.(2)已知函数f(x)exex2x1，则不等式f(2x3)1的解集为_答案解析f(x)exex2x1，定义域为R，f(x)exex2220，当且仅当x0时取“”，f(x)在R上单调递增，又f(0)1，原不等式可化为f(2x3)f(0)，即2x30，解得x，原不等式的解集为.命题点2根据
8、函数的单调性求参数的范围例4已知函数f(x)x22axln x，若f(x)在区间上单调递增，则实数a的取值范围为_答案解析由题意知f(x)x2a0在上恒成立，即2ax在上恒成立，max，2a，即a.延伸探究在本例中，把“f(x)在区间上单调递增”改为“f(x)在区间上存在单调递增区间”，求a的取值范围解f(x)x2a，若f(x)在上存在单调递增区间，则当x时，f(x)0有解，即2ax有解，x，min2，2a，即a，故a的取值范围是.教师备选1若函数f(x)ex(sin xa)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是()A(1，) B2，)C1，) D(，)答案C解析由题意得f(x)ex(sin
9、xa)excos xex，f(x)在上单调递增，f(x)0在上恒成立，又ex0，sina0在上恒成立，当x时，x，sin，sina(1a，a，1a0，解得a1，即a1，)2(2022株州模拟)若函数f(x)ax3x恰有3个单调区间，则a的取值范围为_答案(，0)解析由f(x)ax3x，得f(x)3ax21.若a0，则f(x)0恒成立，此时f(x)在(，)上为增函数，不满足题意；若a0得x，由f(x)0，得x，即当a0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，满足题意思维升华根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调
10、区间的子集(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0(f(x)0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题跟踪训练3(1)已知定义域为R的连续函数f(x)的导函数为f(x)，且满足0，当m0时，下列关系中一定成立的是()Af(1)f(3)2f(2)Bf(0)f(3)0Cf(4)f(3)2f(3)答案D解析由0，得m(x3)f(x)0，又m0，当x3时，f(x)0，f(x)单调递增；当x3时，f(x)f(3)，f(4)f(3)，所以f(2)f(4)2f
11、(3)(2)(2022安徽省泗县第一中学质检)函数f(x)在(a，a1)上单调递增，则实数a的取值范围为_答案0，e1解析由函数f(x)，得f(x)(x0)，由f(x)0得0xe，由f(x)e.所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，又函数f(x)在(a，a1)上单调递增，则(a，a1)(0，e)，则解得0ae1.课时精练1函数f(x)xln x1的单调递减区间是()A. B.C. D(e，)答案C解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)1ln x，令f(x)0，得0x0时，f(x)exexx(exex)0，所以f(x)在(0，)上单调递增3(2022长沙调研)已知函数yxf
12、(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)下面四个图象中yf(x)的图象大致是()答案C解析列表如下：x(，1) (1,0)(0,1)(1，)xf(x)f(x)f(x)单调递增单调递减单调递减单调递增故函数f(x)的单调递增区间为(，1)，(1，)，单调递减区间为(1,1)故函数f(x)的图象是C选项中的图象4(2022深圳质检)若函数f(x)x24xbln x在区间(0，)上是减函数，则实数b的取值范围是()A1，) B(，1C(，2 D2，)答案C解析f(x)x24xbln x在(0，)上是减函数，f(x)0在(0，)上恒成立，即f(x)2x40，即b2x24x，2x24x
13、2(x1)222，b2.5(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1x2)都有0，则称函数yf(x)为“F函数”下列函数不是“F函数”的是()Af(x)ex Bf(x)x2Cf(x)ln x Df(x)sin x答案ACD解析依题意，函数g(x)xf(x)为定义域上的增函数对于A，g(x)xex，g(x)(x1)ex，当x(，1)时，g(x)0，g(x)在(，1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；对于B，g(x)x3在R上单调递增，故B中函数为“F函数”；对于C，g(x)xln x，g(x)1ln x，当x时，g(x)0，故C中函数不是“F函数”；对于D，g(x)xsi
14、n x，g(x)sin xxcos x，当x时，g(x)0，故D中函数不是“F函数”6(多选)(2022河北衡水中学月考)下列不等式成立的是()A2lnln 2 B.ln ln C5ln 4eln 答案AD解析设f(x)(x0)，则f(x)，所以当0x0，函数f(x)单调递增；当xe时，f(x)0，函数f(x)单调递减因为2e，所以ff(2)，即2lnln 2，故选项A正确；因为e，所以f()ln ，故选项B不正确；因为e4f(5)，即5ln 44ln 5，故选项C不正确；因为ef()，即eln ，故选项D正确7(2022长沙市长郡中学月考)已知函数f(x)x3mx2nx1的单调递减区间是(3
15、,1)，则mn的值为_答案2解析由题设，f(x)x22mxn，由f(x)的单调递减区间是(3,1)，得f(x)0；f(x)是奇函数答案f(x)x4(答案不唯一，f(x)x2n(nN*)均满足)解析取f(x)x4，则f(x1x2)(x1x2)4xxf(x1)f(x2)，满足，f(x)4x3，x0时有f(x)0，满足，f(x)4x3的定义域为R，又f(x)4x3f(x)，故f(x)是奇函数，满足.9已知函数f(x)x22aln x(a2)x.(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)f(x)ax在(0，)上单调递增，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)x22ln x3x
16、，则f(x)x3(x0)当0x2时，f(x)0，f(x)单调递增；当1x2时，f(x)0，即a2，当x(，0)(2a，)时，f(x)0；若2a0，即a2，f(x)0；若2a2，当x(，2a)(0，)时，f(x)0.综上有当a2时，f(x)在(，2a)，(0，)上单调递减，在(2a,0)上单调递增；当a2时，f(x)在R上单调递减；当a2时，f(x)在(，0)，(2a，)上单调递减，在(0,2a)上单调递增11若函数h(x)ln xax22x在1,4上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为()A. B(1，)C1，) D.答案B解析因为h(x)在1,4上存在单调递减区间，所以h(x)ax2有解，
17、而当x1,4时，21，min1(此时x1)，所以a1，所以a的取值范围是(1，)12(2022南京师范大学附属中学月考)设函数f(x)cos xx2，若af()，bf(log52)，cf(e0.2)，则a，b，c的大小关系为()Abac BcabCbca Dab0，即f(x)在上单调递增，因为0log52log321，1e0e0.2，所以由单调性可得ba0，则或所以x0或x，所以函数f(x)2sin xcos 2x，x，0的单调递增区间为和.14(2022丽水模拟)设函数f(x)ln(xa)x2.若f(x)为定义域上的单调函数，则实数a的取值范围为_答案(，解析f(x)为定义域上的单调函数，f
18、(x)0恒成立或f(x)0恒成立，又f(x)ln(xa)x2的定义域为(a，)且f(x)2x，f(x)0恒成立，即f(x)2x0在(a，)上恒成立，即f(x)min0.又2x2(xa)2a22a22a，当且仅当xa时，等号成立，22a0，解得a.15(2022景德镇模拟)设函数f(x)sin xexexx，则满足f(x)f(53x)0，所以f(x)在R上单调递增，所以由f(x)f(53x)0，得f(x)f(53x)f(3x5)，因为f(x)在R上单调递增，所以x，所以满足f(x)f(53x)0，求f(x)的单调区间；(2)若对x1，x21,3，x1x2都有0，当x(，0)(0,1)时，f(x)0，f(x)的单调递减区间为(，0)，(0,1)，单调递增区间为(1，)(2)x1，x21,3，x1x2，都有2恒成立，即20恒成立，即0恒成立，令g(x)f(x)2x，则0在x1,3上恒成立，即函数g(x)f(x)2x在区间1,3上单调递减，又g(x)f(x)22，20在1,3上恒成立，当x1时，不等式可化为20显然成立；当x(1,3时，不等式20可化为a，令h(x)，则h(x)0在区间x(1,3上恒成立，函数h(x)在区间x(1,3上单调递减，h(x)minh(3)，a，即实数a的取值范围是.