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1、 4.5三角函数的图象与性质考试要求1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2上，正切函数在上的性质知识梳理1用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数ysin x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)(2)在余弦函数ycos x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k，2k递减区间2k，2k
2、对称中心(k，0)对称轴方程xkxk常用结论1对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期2奇偶性若f(x)Asin(x)(A，0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)正切函数ytan x在定义域内是增函数()(2)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()(3)ysin|x|是偶函数()(4)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非
3、零整数)也是函数f(x)的周期()教材改编题1若函数y2sin 2x1的最小正周期为T，最大值为A，则()AT，A1 BT2，A1CT，A2 DT2，A2答案A2函数f(x)2tan的定义域是()A.B.C.D.答案D解析由2xk，kZ，得x，kZ.3函数y3cos的单调递减区间是_答案，kZ解析因为y3cos，令2k2x2k，kZ，求得kxk，kZ，可得函数的单调递减区间为，kZ.题型一三角函数的定义域和值域例1(1)函数y的定义域为_答案解析要使函数有意义，则即故函数的定义域为.(2)函数ysin xcos xsin xcos x的值域为_答案解析设tsin xcos x，则t2sin2x
4、cos2x2sin xcos x，sin xcos x，且t.yt(t1)21，t，当t1时，ymax1；当t时，ymin.函数的值域为.教师备选1函数y的定义域为_答案(kZ)解析要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图象，如图所示在0,2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为.2函数f(x)sin2xcos x的最大值是_答案1解析由题意可得f(x)cos2xcos x21.x，cos x0,1当cos x，即x时，f(x)取最大值为1.思维升华(1)三角函数定义域的求
5、法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解(2)三角函数值域的不同求法把所给的三角函数式变换成yAsin(x)的形式求值域把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域利用sin xcos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域跟踪训练1(1)(2021北京)函数f(x)cos xcos 2x，试判断函数的奇偶性及最大值()A奇函数，最大值为2 B偶函数，最大值为2C奇函数，最大值为 D偶函数，最大值为答案D解析由题意，f(x)cos (x)cos (2x)cos xcos 2xf(x)，所以该函数为偶函数，又f(x)cos xc
6、os 2x2cos2xcos x122，所以当cos x时，f(x)取最大值.(2)函数ylg(sin 2x)的定义域为_答案解析函数ylg(sin 2x)，应满足解得其中kZ，3x或0x，函数的定义域为.题型二三角函数的周期性、奇偶性、对称性例2(1)(2019全国)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是()Af(x)|cos 2x| Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos|x| Df(x)sin|x|答案A解析A中，函数f(x)|cos 2x|的周期为，当x时，2x，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)|sin 2x|的周期为，当x时，2x，函数f(x)单调递减，故B
7、不正确；C中，函数f(x)cos|x|cos x的周期为2，故C不正确；D中，f(x)sin|x|由正弦函数图象知，在x0和x0)的周期为，函数yAtan(x)(0)的周期为求解跟踪训练2(1)(2021全国乙卷)函数f(x)sincos最小正周期和最大值分别是()A3和 B3和2C6和 D6和2答案C解析因为函数f(x)sincossin，所以函数f(x)的最小正周期T6，最大值为.(2)已知f(x)Acos(x)(A0，0,00，0，00，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是_答案解析由x0，得x0，kZ，解得k0，所以.教师备选(2022长沙模拟)已知函数f(x)sin(x)，
8、x为f(x)的零点，x为yf(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则的最大值为()A11 B9 C7 D1答案B解析因为x为f(x)的零点，x为yf(x)图象的对称轴，所以T(nN)，即(nN)，所以2n1(nN)，即为正奇数因为f(x)在上单调，则，即T，解得12.当11时，k，kZ，因为|，所以，此时f(x)sin.当x时，11x，所以f(x)在上不单调，不满足题意；当9时，k，kZ，因为|，所以，此时f(x)sin.当x时，9x，此时f(x)在上单调递减，符合题意故的最大值为9.思维升华(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的单调区间时，要
9、视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0)在区间上单调递增，则的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析当x时，x0)在区间上单调递增，所以解得，因为0，所以的取值范围是.课时精练1y|cos x|的一个单调递增区间是()A. B0，C. D.答案D解析将ycos x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y|cos x|的图象(如图)故选D.2函数f(x)的定义域为()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案B解析由题意，得2sinx10，x(kZ)，则x(kZ)3函数f(x)sincos是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为
10、的偶函数C最小正周期为2的非奇非偶函数D最小正周期为的非奇非偶函数答案D解析由题意可得f(x)sincossincossin2，f(x)cos，故f(x)的最小正周期T，由函数奇偶性的定义易知，f(x)为非奇非偶函数4函数f(x)在，的图象大致为()答案D解析由f(x)f(x)，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A；又f1，f()0，排除B，C.5(多选)关于函数f(x)sin 2xcos 2x，下列命题中为真命题的是()A函数yf(x)的周期为B直线x是yf(x)图象的一条对称轴C点是yf(x)图象的一个对称中心Dyf(x)的最大值为答案ACD解析因为f(x)sin 2xcos 2
11、xsin，所以f(x)最大值为，故D为真命题因为2，故T，故A为真命题；当x时，2x，终边不在y轴上，故直线x不是yf(x)图象的一条对称轴，故B为假命题；当x时，2x0，终边落在x轴上，故点是yf(x)图象的一个对称中心，故C为真命题6(多选)(2022广州市培正中学月考)关于函数f(x)sin|x|sin x|，下列叙述正确的是()Af(x)是偶函数Bf(x)在区间上单调递增Cf(x)的最大值为2Df(x)在，上有4个零点答案AC解析f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，f(x)是偶函数，A正确；当x时，f(x)sin xsin x2sin x，单调递减，B错
12、误；f(x)sin|x|sin x|112，且f2，C正确；在，上，当x0，当0x0，f(x)的零点只有，0，共三个，D错7写出一个周期为的偶函数f(x)_.(答案不唯一)答案cos 2x8(2022鞍山模拟)若在内有两个不同的实数值满足等式cos 2xsin 2xk1，则实数k的取值范围是_答案0k1解析函数f(x)cos 2xsin 2x2sin，当x时，f(x)2sin单调递增；当x时，f(x)2sin单调递减，f(0)2sin 1，f2sin 2，f2sin 1，所以在内有两个不同的实数值满足等式cos 2xsin 2xk1，则1k12，所以0k0)的最小正周期为.(1)求及f(x)的
13、单调递增区间；(2)求f(x)图象的对称中心解(1)f(x)4sin x12sin2x2sin xcos x11cos 2xsin 2x1sin 2xcos 2x2sin.最小正周期为，1，f(x)2sin，令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)令2xk，kZ，解得x，kZ，f(x)图象的对称中心为，kZ.10(2021浙江)设函数f(x)sin xcos x(xR)(1)求函数y2的最小正周期；(2)求函数yf(x)f在上的最大值解(1)因为f(x)sin xcos x，所以fsincoscos xsin x，所以y2(cos xsin x)21sin
14、 2x.所以函数y2的最小正周期T.(2)fsincossin x，所以yf(x)fsin x(sin xcos x)(sin xcos xsin2x)sin.当x时，2x，所以当2x，即x时，函数yf(x)f在上取得最大值，且ymax1.11(多选)(2022苏州模拟)已知函数f(x)sin，则()A函数f是偶函数Bx是函数f(x)的一个零点C函数f(x)在区间上单调递增D函数f(x)的图象关于直线x对称答案BCD解析对于A选项，令g(x)fsinsin，则g0，gsin0，故函数f不是偶函数，A错；对于B选项，因为fsin 00，故x是函数f(x)的一个零点，B对；对于C选项，当x时，2x
15、，所以函数f(x)在区间上单调递增，C对；对于D选项，因为对称轴满足2xk，kZ，解得x，kZ，k0时，x，D对12(多选)(2022厦门模拟)已知函数f(x)cos2cos 2x，则()Af(x)的最大值为Bf(x)的图象关于点对称Cf(x)图象的对称轴方程为x(kZ)Df(x)在0,2上有4个零点答案ACD解析f(x)cos 2xcos 2xsin 2xcos 2xsin，则f(x)的最大值为，A正确；易知f(x)图象的对称中心的纵坐标为，B错误；令2xk(kZ)，得x(kZ)，此即f(x)图象的对称轴方程，C正确；由f(x)sin0，得sin，当x0,2时，2x，作出函数ysin x的图
16、象，如图所示所以方程sin在0,2上有4个不同的实根，即f(x)在0,2上有4个零点，D正确13(2022唐山模拟)已知sin xcos y，则sin xsin2y的最大值为_答案解析sin xcos y，sin x1,1，sin xcos y1,1，cos y，即cos y，sin xsin2ycos y(1cos2y)cos2ycos y21，又cos y，利用二次函数的性质知，当cos y时，(sin xsin2y)max21.14(2022苏州八校联盟检测)已知f(x)sin xcos x，若yf(x)是偶函数，则cos _.答案解析因为f(x)sin，所以f(x)sin，又因为yf(
17、x)是偶函数，所以k，kZ，即k，kZ，所以cos cos.15(多选)(2022邯郸模拟)设函数f(x)sin(0)，已知f(x)在0,2内有且仅有2个零点，则下列结论成立的有()A函数yf(x)1在(0,2)内没有零点Byf(x)1在(0,2)内有且仅有1个零点Cf(x)在上单调递增D的取值范围是答案BCD解析如图，由函数f(x)的草图可知，A选项不正确，B选项正确；若函数f(x)在0,2内有且仅有2个零点，则2，得，当x时，tx，此时函数单调递增，故CD正确16已知f(x)sin2sincos.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若函数y|f(x)|m在区间上恰有两个零点x1，x2.求m的取值范围；求sin(x1x2)的值解(1)f(x)sin2sincossincos 2xsin 2xcos 2xsin 2xcos 2xsin，结合正弦函数的图象与性质，可得当2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)时，函数单调递增，函数yf(x)的单调递增区间为(kZ)(2)令t2x，当x时，t，sin t，y(如图)要使y|f(x)|m在区间上恰有两个零点，m的取值范围为m或m0.设t1，t2是函数ym的两个零点，由正弦函数图象性质可知t1t2，即2x12x2.x1x2，sin(x1x2).