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1、 8.3圆的方程考试要求1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题知识梳理1圆的定义和圆的方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心C(a，b)半径为r一般x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心C半径r2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系：(1)|MC|rM在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆外；(2)|MC|rM在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆上；(3)|MC|rM在圆内，即
2、(x0a)2(y0b)20.()(4)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F0.()教材改编题1圆x2y24x6y0的圆心坐标和半径分别是()A(2,3)，3 B(2,3)，C(2，3)，13 D(2，3)，答案D解析圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)，半径r.2圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22答案D解析因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r，则该圆的方程为(x1)2(y1)22.3若坐标原点在圆(xm)2(ym)24的内部
3、，则实数m的取值范围为_答案(，)解析原点(0,0)在圆(xm)2(ym)24的内部，(0m)2(0m)24，解得m0)，则由题意得解得所以圆E的一般方程为x2y2x10，即2y2.方法二(几何法)因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y2(x1)上由题意知圆E的圆心在x轴上，所以圆E的圆心坐标为.则圆E的半径为|EB|，所以圆E的标准方程为2y2.2在平面直角坐标系Oxy中，以点(0,1)为圆心且与直线xby2b10相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为()Ax2(y1)24 Bx2(y1)22Cx2(y1)28 Dx2(y1)216答案B解析由直线
4、xby2b10可得该直线过定点A(1,2)，设圆心为B(0,1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，则rmax|AB|，所以半径最大的圆的标准方程为x2(y1)22.思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值跟踪训练1(1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)24答案A解析根据题意可设圆的方程为x2(yb)21，因
5、为圆过点A(1,2)，所以12(2b)21，解得b2，所以所求圆的方程为x2(y2)21.(2)(2022长春模拟)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A(x3)2(y1)21B(x2)2(y1)21C(x2)2(y1)21D(x2)2(y1)21答案B解析设圆心坐标为(a，b)(a0，b0)，由圆与直线4x3y0相切，可得圆心到直线的距离dr1，化简得|4a3b|5，又圆与x轴相切，可得|b|r1，解得b1或b1(舍去)，把b1代入得4a35或4a35，解得a2或a(舍去)，所以圆心坐标为(2,1)，则圆的标准方程为(x2)2(y1)21.
6、题型二与圆有关的轨迹问题例2已知RtABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程解(1)方法一设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0.因为ACBC，且BC，AC斜率均存在，所以kACkBC1，又kAC，kBC，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0)方法二设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|AB|2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点C的轨
7、迹方程为(x1)2y24(y0)(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x，y，所以x02x3，y02y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21(y0)因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0)教师备选已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x2,2y)因为点P在圆x2
8、y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程(3)几何法：利用圆的几何性质列方程(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式跟踪训练2(1)当
9、点P在圆x2y21上运动时，连接它与定点Q(3,0)，则线段PQ的中点M的轨迹方程是()A(x3)2y21B(x3)2y21C(2x3)24y21D(2x3)24y21答案C解析设M(x，y)，P(x0，y0)，因为PQ的中点为M，所以所以又因为P在圆x2y21上，所以(2x3)24y21，所以M的轨迹方程即为(2x3)24y21.(2)自圆C：(x3)2(y4)24外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A8x6y210 B8x6y210C6x8y210 D6x8y210答案D解析由题意得，圆心C的坐标为(3，4)，半径r2，连接
10、PC，CQ(图略)，因为|PQ|PO|，且PQCQ，所以|PO|2r2|PC|2，所以x2y24(x3)2(y4)2，即6x8y210，所以点P的轨迹方程为6x8y210.题型三与圆有关的最值问题命题点1利用几何性质求最值例3已知M(x，y)为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值；(3)求yx的最大值和最小值解(1)由圆C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圆心C的坐标为(2,7)，半径r2.又|QC|4，|MQ|max426，|MQ|min422.(2)可知表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方
11、程为y3k(x2)，即kxy2k30.直线MQ与圆C有交点，2，可得2k2，的最大值为2，最小值为2.(3)设yxb，则xyb0.当直线yxb与圆C相切时，截距b取到最值，2，b9或b1.yx的最大值为9，最小值为1.命题点2利用函数求最值例4(2022湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2(y3)21上的动点，定点A(2,0)，B(2,0)则的最大值为_答案12解析由题意，得(2x，y)，(2x，y)，所以x2y24，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2(y3)21，故x2(y3)21，所以(y3)21y246y12.易知2y4，所以当y4时，的值最大，最大值为641212.延伸探
12、究若将本题改为“设点P(x，y)是圆(x3)2y24上的动点，定点A(0,2)，B(0，2)”，则|的最大值为_答案10解析由题意，知(x，2y)，(x，2y)，所以(2x，2y)，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x3)2y24，故y2(x3)24，所以|2.由圆的方程(x3)2y24，易知1x5，所以当x5时，|的值最大，最大值为210.教师备选1已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m，0)，B(m，0)(m0)若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为()A7 B6 C5 D4答案B解析在RtAPB中，原点O为斜边中点，|AB|2m(m0)，|OC|rm|OP|
13、OC|r，又C(3,4)，r1，4|OP|6，即4m6.2若点P为圆x2y21上的一个动点，A(1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|PB|的最大值为()A2 B2 C4 D4答案B解析由已知得线段AB为圆的直径所以|PA|2|PB|24，由基本不等式得22，所以|PA|PB|2，当且仅当|PA|PB|时，等号成立思维升华与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如，taxby，(xa)2(yb)2形式的最值问题(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值(3)求解形如|PM|PN|(其中M，N
14、均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决跟踪训练3(1)已知A(2,0)，B(2,0)，点P是圆C：(x3)2(y)21上的动点，则|AP|2|BP|2的最小值为()A9 B14 C16 D26答案D解析设O为坐标原点，P(x，y)，则|AP|2|BP|2(x2)2y2(x2)2y22(x2y2)82|PO|28.圆C的圆心为C(3，)，半径为r1，OC4，所以|PO|2的最小值为(OCr)2(41)29，所以|AP|2|BP|2的最小值为26.(2)已知x
15、，y满足x2y24x2y40，则的最大值为()A2 B. C. D.答案B解析由x2y24x2y40得(x2)2(y1)29.2323kPA，其中A(3,1)为定点，点P(x，y)为圆上一点设过定点A的直线l：y1k(x3)与圆相切，则3，解得k，所以kPA，所以的最大值为23.课时精练1圆x2y24x6y30的圆心坐标和半径分别为()A(4，6)，16 B(2，3)，4C(2,3)，4 D(2，3)，16答案C解析将圆的一般方程化为标准方程得(x2)2(y3)216，则圆心坐标为(2,3)，半径为4.2圆(x1)2(y2)21关于直线yx对称的圆的方程为()A(x2)2(y1)21B(x1)
16、2(y2)21C(x2)2(y1)21D(x1)2(y2)21答案A解析已知圆的圆心C(1,2)关于直线yx对称的点为C(2,1)，所以圆(x1)2(y2)21关于直线yx对称的圆的方程为(x2)2(y1)21.3已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆C的方程为()Ax2y22x30Bx2y24x0Cx2y22x30Dx2y24x0答案D解析设圆心为(a，0)(a0)，由题意知圆心到直线3x4y40的距离dr2，解得a2，所以圆心坐标为(2,0)，则圆C的方程为(x2)2y24，化简得x2y24x0，故选D.4点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨
17、迹方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21答案A解析设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2y24上，所以xy4，即(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21.5(多选)已知ABC的三个顶点为A(1,2)，B(2,1)，C(3,4)，则下列关于ABC的外接圆圆M的说法正确的是()A圆M的圆心坐标为(1,3)B圆M的半径为C圆M关于直线xy0对称D点(2,3)在圆M内答案ABD解析设ABC的外接圆圆M的方程为x2y2DxEyF0，则解得所以ABC的外接圆圆M的方程为x2y22x
18、6y50，即(x1)2(y3)25.故圆M的圆心坐标为(1,3)，圆M的半径为，因为直线xy0不经过圆M的圆心(1,3)，所以圆M不关于直线xy0对称因为(21)2(33)215，故点(2,3)在圆M内6(多选)设有一组圆Ck：(xk)2(yk)24(kR)，下列命题正确的是()A不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B所有圆Ck均不经过点(3,0)C经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个D所有圆的面积均为4答案ABD解析圆心坐标为(k，k)，在直线yx上，A正确；令(3k)2(0k)24，化简得2k26k50，364040，有两个不相等实根，经过点(2,2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为
19、2，得圆的面积为4，D正确7已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(1,1)，B(1,3)，若M(m，)在圆C内，则m的取值范围为_答案(0,4)解析设圆心为C(a，0)，由|CA|CB|，得(a1)212(a1)232，解得a2.半径r|CA|.故圆C的方程为(x2)2y210.由题意知(m2)2()210，解得0m0)，圆经过点A和B，且圆心在直线l：xy10上，解得a3，b2，r5，圆的标准方程为(x3)2(y2)225.(2)圆心C到直线xy50的距离为d55，直线与圆C相离，|PQ|的最小值为dr55.10已知点A(3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|2|PB|.(1)若点P的轨
20、迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：xy30上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值解(1)设点P的坐标为(x，y)，则2，化简可得(x5)2y216，此方程即为所求(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|，当|QM|最小时，|CQ|最小，此时CQl1，|CQ|4，则|QM|的最小值为4.11点A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，|PA|1，则点P的轨迹方程是()A(x1)2y24B(x1)2y22Cy22xDy22x答案B解析|PA|1，点P和圆心的距离恒为，又圆心坐标为
21、(1,0)，设P(x，y)，由两点间的距离公式，得(x1)2y22.12等边ABC的面积为9，且ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN|1，则的最小值为()A52 B54C62 D64答案A解析设等边ABC的边长为a，则面积Sa29，解得a6.以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系由M为ABC的内心，则M在OC上，且OMOC，则A(3,0)，B(3,0)，C(0,3)，M(0，)，由|MN|1，则点N在以M为圆心，1为半径的圆上设N(x，y)，则x2(y)21，即x2y22y20，且1y1，又(3x，y)，(3x，y)，所以(x3)(x3)y2x2y292
22、y112(1)1152.13(多选)已知圆C过点M(1，2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是()A满足条件的圆C的圆心在一条直线上B满足条件的圆C有且只有一个C点(2，1)在满足条件的圆C上D满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4答案ACD解析因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，2)，所以设圆心坐标为(a，a)(a0)，故圆心在直线yx上，A正确；圆C的方程为(xa)2(ya)2a2，把点M的坐标代入可得a26a50，解得a1或a5，则圆心坐标为(1，1)或(5，5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x1)2(y1)21，(x5)2(y5)225，
23、将点(2，1)代入这两个方程可知其在圆C上，故C正确；它们的圆心距为4，D正确14已知长为2a(a0)的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为_答案x2y2a2解析如图，不论直线怎么移动，线段AB的中点P(x，y)与原点O的连线始终为RtOAB斜边上的中线，即|OP|a，即x2y2a2.故所求的轨迹方程为x2y2a2.15已知直线l：3x4ym0，圆C：x2y24x20，则圆C的半径r_；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得APB90，则实数m的取值范围是_答案解析圆的标准方程为(x2)2y22，圆心为C(2,0)，半径为r，若在圆C上存在
24、两点A，B，在直线l上存在一点P，使得APB90，过P作圆的两条切线PM，PN(M，N为切点)，则由题意得，MPN90，而当CPl时，MPN最大，只要此最大角90即可，此时圆心C到直线l的距离为d|CP|.所以，解得16m4.16在平面直角坐标系Oxy中，曲线：yx2mx2m(mR)与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点解由曲线：yx2mx2m(mR)，令y0，得x2mx2m0.设A(x1，0)，B(x2，0)，可得m28m0，则m0或m8，x1x2m，x1x22m.令x0，得y2m，即C(0,2m)(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则0，得x1x24m20，即2m4m20，所以m0(舍去)或m.此时C(0，1)，AB的中点M即圆心，半径r|CM|，故所求圆的方程为2y2.(2)证明设过A，B两点的圆的方程为x2y2mxEy2m0，将点C(0,2m)代入可得E12m，所以过A，B，C三点的圆的方程为x2y2mx(12m)y2m0.整理得x2y2ym(x2y2)0.令可得或故过A，B，C三点的圆过定点(0,1)和.