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1、考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例(2021新高考II卷T21)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X);(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,求证:当E(X)1时,p=1,当E(X)1时,p1;(3)
2、根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.【命题意图】本题考查概率在生活中的应用,意在考查数学运算及数学建模等核心素养.【解析】(1)E(X)=00.4+10.3+20.2+30.1=1;(2)证明:设f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0,因为p3+p2+p1+p0=1,故f(x)=p3x3+p2x2-(p2+p0+p3)x+p0.若E(X)1,则p1+2p2+3p31,故p2+2p3p0.f(x)=3p3x2+2p2x-(p2+p0+p3),因为f(0)=-(p2+p0+p3)0,f(1)=p2+2p3-p00,故f(x)有两个不同零点x1,x2,且x100,x(x1,x2)时,
3、f(x)f(x2)=f(1)=0,故1为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根;若x21,因为f(1)=0且f(x)在(0,x2)上为减函数,故1为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根.综上,若E(X)1,则p=1.若E(X)1,则p1+2p2+3p31,故p2+2p3p0.此时f(0)=-(p2+p0+p3)0,故f(x)有两个不同零点x3,x4,且x30x40,x(x3,x4)时,f(x)0,故f(x)在(-,x3),(x4,+)上为增函数,在(x3,x4)上为减函数,而f(1)=0,故f(x4)0,故f(x)在(0,x4)上存在一个零点p,且p1.所以p为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,此时p1时,p1.(3)意义:若该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代后必然灭绝;若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后灭绝的概率小于1.【反思总结】(1)利用公式计算可得E(X).(2)利用导数讨论函数的单调性,结合f(1)=0及极值点的范围可得f(x)的最小正零点.(3)利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.