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1、 考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、解答题1.(2019全国卷文科T20)已知函数f(x)=2sin x-xcos x-x,f(x)为f(x)的导数.(1)证明:f(x)在区间(0,)存在唯一零点.(2)若x0,时,f(x)ax,求a的取值范围.【命题意图】本题考查利用导数讨论函数零点个数,根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.【解题指南】对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题,通常采用构造函数的方式,将问题转变成函数最值与零之间的比较,进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性,从而得到最值.【解析】(1)设g(x)=f(x),则g(x)=cos x+xsin
2、 x-1,g(x)=xcos x.当x0,2时,g(x)0;当x2,时,g(x)0,g()=-2,故g(x)在(0,)存在唯一零点.所以f(x)在(0,)存在唯一零点.(2)由题设知f()a,f()=0,可得a0.由(1)知,f(x)在(0,)只有一个零点,设为x0,且当x(0,x0)时,f(x)0;当x(x0,)时,f(x)0,所以f(x)在(0,x0)单调递增,在(x0,)单调递减.又f(0)=0,f()=0,所以,当x0,时,f(x)0.又当a0,x0,时,ax0,故f(x)ax.因此,a的取值范围是(-,0.2.(2019天津高考理科T20)设函数f(x)=excos x,g(x)为f
3、(x)的导函数.(1)求f(x)的单调区间.(2)当x4,2时,证明f(x)+g(x)2-x0.(3)设xn为函数u(x)=f(x)-1在区间2n+4,2n+2内的零点,其中nN*,证明2n+2-xncos x,得f(x)0,则f(x)单调递减;当x2k-34,2k+4(kZ)时,有sin x0,则f(x)单调递增.所以f(x)的单调递增区间为2k-34,2k+4(kZ),f(x)的单调递减区间为2k+4,2k+54(kZ).(2)记h(x)=f(x)+g(x)2-x.依题意及(1),有g(x)=ex(cos x-sin x),从而g(x)=-2exsin x.当x4,2时,g(x)0,故h(
4、x)=f(x)+g(x)2-x+g(x)(-1)=g(x)2-x0.因此h(x)在区间4,2上单调递减,进而h(x)h2=f2=0.所以当x4,2时,f(x)+g(x)2-x0.(3)依题意,u(xn)=f(xn)-1=0,即exncos xn=1.记yn=xn-2n,则yn4,2,且f(yn)=eyncos yn=exn-2ncos(xn-2n)=e-2n(nN*).由f(yn)=e-2n1=f(y0)及(1),得yny0.由(2)知,当x4,2时,g(x)0,所以g(x)在4,2上为减函数,因此g(yn)g(y0)g4=0.又由(2)知,f(yn)+g(yn)2-yn0,故2-yn-f(y
5、n)g(yn)=-e-2ng(yn)-e-2ng(y0)=e-2ney0(sin y0-cos y0)e-2nsin x0-cos x0.所以2n+2-xne-2nsin x0-cos x0.3.(2019天津高考文科T20)设函数f(x)=ln x-a(x-1)ex,其中aR.(1)若a0,讨论f(x)的单调性.(2)若0ax0,证明3x0-x12.【命题意图】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法,考查函数思想、化归与转化思想,考查综合分析问题和解决问题的能力.【解题指南】(1)首先写出函数的定义域,对函数求导,判断导数在对应区间上的符号,从而得到结果
6、.(2)对函数求导,确定函数的单调性,求得极值的符号,从而确定出函数的零点个数,得到结果;首先根据题意,列出方程组,借助中介函数,证得结果.【解析】(1)由已知,f(x)的定义域为(0,+),且f(x)=1x-aex+a(x-1)ex=1-ax2exx,因此当a0时,1-ax2ex0,从而f(x)0,所以f(x)在(0,+)内单调递增.(2)由(1)知,f(x)=1-ax2exx,令g(x)=1-ax2ex,由0a0,且gln1a=1-aln1a21a=1-ln1a20,故g(x)=0在(0,+)内有唯一解,从而f(x)=0在(0,+)内有唯一解,不妨设为x0,则1x0g(x0)x=0,所以f
7、(x)在(0,x0)内单调递增;当x(x0,+)时,f(x)=g(x)x1时,h(x)=1x-11时,h(x)h(1)=0,所以ln xx-1,从而fln1a=lnln1a-aln1a-1eln1a=lnln1a-ln1a+1=hln1af(1)=0,所以f(x)在(x0,+)内有唯一零点,又f(x)在(0,x0)内有唯一零点1,从而,f(x)在(0,+)内恰有两个零点.由题意,f(x0)=0,f(x1)=0,即ax02ex0=1,ln x1=a(x1-1)ex1,从而ln x1=x1-1x02ex1-x0,即ex1-x0=x02ln x1x1-1,当x1时,ln xx01,故ex1-x0x0
8、2(x1-1)x1-1=x02,两边取对数,得ln ex1-x0ln x02,于是x1-x02ln x02.【方法技巧】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.4.(2019浙江高考T22)(本小题满分15分)已知实数a0,设函数f(x)=aln x+x+1,x0.(1)当a=-34时,求函数f(x)的单调区间.(2)对任意x1e2,+均有f(x)x2a,求a的取值范围.注:e=2.718 28为自然对数的底数.【命题意图】本题主要考查函数的单调性,导数的运算及其应用,同时考查逻辑思维能力和综合应用能力.【解析】(1)当a=-34时,f(x)=-34ln x+1+x,x0.f(x)=-34x+121+x=(1+x-2)(21+x+1)4x1+x,所以,函数f(x)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+).(2)由f(1)12a,得0a24.当00,故q(x)在1e2,17上单调递增,所以q(x)q17.由()得q17=-277p17-277p(1)=0.所以,q(x)0.由()()得对任意x1e2,+,t22,+),g(t)0,即对任意x1e2,+,均有f(x)x2a.综上所述,所求a的取值范围是0,24.