《考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 (3).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 (3).docx（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例解答题1.(2020全国卷高考文科T20)已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.【命题意图】该题考查的是应用导数研究函数的问题,涉及的知识点有应用导数研究函数的单调性,根据零点个数求参数的取值范围.【解题指南】(1)将a=1代入函数解析式,对函数求导,分别令导数大于零和小于零,求得函数的单调增区间和单调减区间;(2)对a分类讨论,先判断单调区间,再判断零点个数.【解析】(1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f(x)=ex-1.当x0时,f(x)0时,
2、f(x)0.所以f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增.(2)f(x)=ex-a.当a0时,f(x)0,所以f(x)在(-,+)上单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意.当a0时,由f(x)=0可得x=ln a.当x(-,ln a)时,f(x)0.所以f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增,故当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).(i)若01e,则f(ln a)0,所以f(x)在(-,ln a)上存在唯一零点.由(1)知,当x2时,ex-x-20,所以当x4且x2ln(2a)时,f(x)=ex2e
3、x2-a(x+2)eln(2a)x2+2-a(x+2)=2a0.故f(x)在(ln a,+)上存在唯一零点,从而f(x)在(-,+)上有两个零点.综上,a的取值范围是1e,+.2.(2020全国卷高考理科T21)已知函数f(x)=ex+ax2-x.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)当x0时,f(x)12x3+1,求a的取值范围.【命题意图】本题主要考查函数单调性的讨论以及不等式中参数取值范围问题.【解题指南】(1)由题意首先对函数二次求导,然后确定导函数的符号,最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论x=0的情况,然后分离参数,构造新函数,结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可
4、确定实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,fx=ex+x2-x,fx=ex+2x-1,由于fx=ex+20,故fx单调递增,注意到f0=0,故当x-,0时,fx0,fx单调递增.(2)由fx12x3+1得,ex+ax2-x12x3+1,其中x0,当x=0时,不等式为:11,显然成立,符合题意;当x0时,分离参数a得,a-ex-12x3-x-1x2,记gx=-ex-12x3-x-1x2,gx=-x-2ex-12x2-x-1x3,令hx=ex-12x2-x-1x0,则hx=ex-x-1,hx=ex-10,故hx单调递增,hxh0=0,故函数hx单调递增,hxh0=0,由hx0可得:ex-12
5、x2-x-10恒成立,故当x0,2时,gx0,gx单调递增;当x2,+时,gx0,f(x)单调递增,当x3,23时,f(x)0,f(x)单调递增.(2)注意到f(x+)=sin 2(x+)sin 2(x+)=sin 2xsin 2x=f(x),故函数f(x)是周期为的函数,结合(1)的结论,计算可得:f(0)=f()=0,f3=32232=338,f23=322-32=-338,据此可得:f(x)max=338,f(x)min=-338,即|f(x)|338.(3)结合(2)的结论有:sin 2xsin 22xsin 24xsin 22nx=sin3xsin32xsin34xsin32nx23
6、=sin x(sin 2xsin 2x)(sin 22xsin 4x)(sin 22n-1xsin 2nx)sin 22nx23sinx338338338sin22nx23338n23=34n.4.(2020天津高考T20)已知函数f(x)=x3+kln x(kR),f(x)为f(x)的导函数.(1)当k=6时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;求函数g(x)=f(x)-f(x)+9x的单调区间和极值;(2)当k-3时,求证:对任意的x1,x21,+),且x1x2,有f(x1)+f(x2)2f(x1)-f(x2)x1-x2.【命题意图】本题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导
7、数研究函数的性质等知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.【解题指南】(1)首先求得导函数的解析式,然后结合导数的几何意义求解切线方程即可;首先求得g(x)的解析式,然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可;(2)首先确定导函数的解析式,然后令x1x2=t,将原问题转化为与t有关的函数,然后构造新函数,利用新函数的性质即可证得题中的结论.【解析】(1)当k=6时,f(x)=x3+6ln x,f(x)=3x2+6x.可得f(1)=1,f(1)=9,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-1=9(x-1),即y=
8、9x-8.依题意,g(x)=x3-3x2+6ln x+3x,x(0,+).从而可得g(x)=3x2-6x+6x-3x2,整理可得:g(x)=3(x-1)3(x+1)x2,令g(x)=0,解得x=1.当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如表:x(0,1)1(1,+)g(x)-0+g(x)单调递减极小值单调递增所以,函数g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+);g(x)的极小值为g(1)=1,无极大值.(2)由f(x)=x3+kln x,得f(x)=3x2+kx.对任意的x1,x21,+),且x1x2,令x1x2=t(t1),则(x1-x2)f(x1)+f(x2)-2(f(
9、x1)-f(x2)=(x1-x2)3x12+kx1+3x22+kx2-2x13-x23+klnx1x2=x13-x23-3x12x2+3x1x22+kx1x2-x2x1-2kln x1x2=x23(t3-3t2+3t-1)+kt-1t-2lnt.()令h(x)=x-1x-2ln x,x(1,+).当x1时,h(x)=1+1x2-2x=1-1x20,由此可得h(x)在(1,+)上单调递增,所以当t1时,h(t)h(1),即t-1t-2ln t0.因为x21,t3-3t2+3t-1=(t-1)30,k-3,所以x23(t3-3t2+3t-1)+kt-1t-2lnt(t3-3t2+3t-1)-3t-
10、1t-2lnt=t3-3t2+6ln t+3t-1.()由(1)可知,当t1时,g(t)g(1),即t3-3t2+6ln t+3t1,故t3-3t2+6ln t+3t-10.()由()()()可得(x1-x2)f(x1)+f(x2)-2(f(x1)-f(x2)0.所以,当k-3时,对任意的x1,x21,+),且x1x2,有f(x1)+f(x2)2f(x1)-f(x2)x1-x2.【方法技巧】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调
11、区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.5.(2020浙江高考T22)(本题满分15分)已知10,所以f(x)在(0,+)上单调递增,由于f(0)=1-a0,f(0)f(2)0,则y=f(x)在(0,+)上有唯一零点.()()由于f(x)单调递增,1a2.设x0的最大值为t,则et=2+t.由f(1)=e-1-21.右边:由于x0时,ex1+x+12x2,且ex0-x0-a=0,则a1+12x02x02(a-1).左边:要证明x02a-1=ex0-x0-1,只需证明ex0-x02-x0-10.记h(x)= e
12、x-1-x-x2(0xt),则h(x)=ex-1-2x,h(x)=ex-2,于是h(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+)上单调递增.于是h(x)=ex-1-2xmaxh(0),h(t)=0,则h(x)在0xt上单调递减.h(x)=ex-1-x-x2h(0)=0,得证.()要证明x0f(ex0)(e-1)(a-1)a,只需证:x0f(x0+a)(e-1)(a-1)a.由于(xf(x+a)= f(x+a)+xf(x+a)f(x+a)f(a)=ea-2a1-a+a220,则x0f(x0+a)a-1f(a-1+a),只需要证明:f(a-1+a)(e-1)aa-1,即ea-1+a-a-1
13、-2a(e-1)aa-1.由ex1+x+12x2,只需证:1+12(a-1+a)2-a(e-1)aa-1a2-(a-1)2-2(e-2)aa-10,只需证aa-1-a-1a2(e-2),由于aa-1=1a-1+a-12,+),则aa-1-a-1a2-12=322(e-2).综上所述,得证.6.(2020江苏高考T17)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO为铅垂线(O在AB上),经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO的距离a(米)之间满足关系式h1=140a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与
14、F到OO的距离b(米)之间满足关系式h2=-1800b3+6b.已知点B到OO的距离为40米.(1)求桥AB的长度;(2)计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF.且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价32k(万元)(k0),问OE为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低？【命题意图】本题主要考查实际生活问题中的模型建立及导数的实际应用.重点考查数学建模的核心素养.【解析】(1)过A,B分别作MN的垂线,垂足为A,B,则AA=BB=-1800403+640=160(米).令140a2=160,得a=80,所以AO=80,AB=AO+BO
15、=80+40=120(米).(2)设OE=x,则CO=80-x,由0x40080-x80,得0x0,所以令y=0,得x=0或x=20,所以当0x20时,y0,y单调递减;当20x0,y单调递增.所以,当x=20时,y取最小值,即当OE为20米时,造价最低7.(2020江苏高考T19)已知关于x的函数y=f(x),y=g(x)与h(x)=kx+b(k,bR)在区间D上恒有f(x)h(x)g(x).(1)若f(x)=x2+2x,g(x)=-x2+2x,D=(-,+).求h(x)的表达式;(2)若f(x)=x2-x+1,g(x)=kln x,h(x)=kx-k,D=(0,+).求k的取值范围;(3)
16、若f(x)=x4-2x2,g(x)=4x2-8,h(x)=4(t3-t)x-3t4+2t2(0m(0)=1+k0,所以k=-1.当x=k+120时,0,即(k+1)2-4(k+1)0,(k+1)(k-3)0,-1k3.综上,k0,3.(3)当1t2时,由g(x)h(x),得4x2-84(t3-t)x-3t4+2t2,整理得x2-(t3-t)x+3t4-2t2-840.(*)令=(t3-t)2-(3t4-2t2-8),则=t6-5t4+3t2+8.记(t)=t6-5t4+3t2+8(1t2),则(t)=6t5-20t3+6t=2t(3t2-1)(t2-3)0恒成立,所以(t)在1,2上是减函数,
17、则(2)(t)(1),即2(t)7所以不等式(*)有解,设解集为x|x1xx2,因此n-mx2-x1=7.当0t1时,f(-1)-h(-1)=3t4+4t3-2t2-4t-1.设v(t)=3t4+4t3-2t2-4t-1,v(t)=12t3+12t2-4t-4=4(t+1)(3t2-1),令v(t)=0,得t=33.当t0,33时,v(t)0,v(t)是增函数;v(0)=-1,v(1)=0,则当0t1时,v(t)0,(或证:v(t)=(t+1)2(3t+1)(t-1)0)则f(-1)-h(-1)0,因此-1(m,n).因为m,n-2,2,所以n-m2+17.当-2t0时,因为f(x),g(x)均为偶函数,因此n-m7也成立.综上所述,n-m7.