考点34 直线、平面垂直的判定及其性质 (4).docx

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1、 圆学子梦想 铸金字品牌 考点34 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1.(2019浙江高考T8)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点),记直线PB与直线AC所成角为,直线PB与平面ABC所成角为,二面角P-AC-B的平面角为,则()A.,B.,C.,D.,【命题意图】本题以三棱锥为载体,综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念,以及各种角的计算.【解析】选B.方法一,如图,G为AC中点,V在底面ABC的投影为O,则P在底面的投影D在线段AO上,过D作DE垂直于AE,易得PEVG,过P作PFAC交VG于F,过D作DHAC,交BG于H

2、,则=BPF,=PBD,=PED,则cos =PFPB=EGPB=DHPB,tan =PDEDPDBD=tan ,即,综上所述,答案为B.方法二:(特殊位置)取V-ABC为正四面体,P为VA中点,易得cos =36sin =336,sin =23,sin =223可知B选项正确.二、解答题2.(2019全国卷文科T19)如图,直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN平面C1DE.(2)求点C到平面C1DE的距离.【命题意图】该题考查的是有关立体几何的问题,涉及的知识点有线面平行的判定,点到

3、平面的距离的求解,在解题的过程中,注意要熟记线面平行的判定定理的内容,注意平行线的寻找思路.【解析】(1)连接B1C,ME,C1D.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以MEB1C,且ME=12B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND=12A1D.由题设知A1B1􀱀DC,可得B1C􀱀A1D,故ME􀱀ND,因此四边形MNDE为平行四边形,MN􀱀ED.又MN平面C1DE,所以MN平面C1DE.(2)过C作C1E的垂线,垂足为H.由已知可得DEBC,DEC1C,又BCC1C=C,所以DE平面C1CE,故DECH.从而CH平面C

4、1DE,故CH的长即为点C到平面C1DE的距离,由已知可得CE=1,C1C=4,所以C1E=17,故CH=41717.所以点C到平面C1DE的距离为41717.3.(2019北京高考理科T16)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ADCD,ADBC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且PFPC=13.(1)求证:CD平面PAD.(2)求二面角F-AE-P的余弦值.(3)设点G在PB上,且PGPB=23.判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.【命题意图】本题考查立体几何中点、线、面位置关系,线面垂直关系的判定,以及空间角的定义与求法,意在考查学生的数学

5、运算及逻辑推理能力.【解析】(1)因为PA平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD,又因为CDAD,ADPA=A,AD,PA平面PAD,所以CD平面PAD.(2)在PD上取点M,使PMPD=13,连接FM,在PCD中,又PFPC=13,所以FM􀱀13CD,FM=23,由(1)知,CD平面PAD,所以FM平面PAD,又AE平面PAD,所以FMAE,在PAD中,E是PD中点,PA=AD=2,所以AEPD,PD=22,又因为FM,PD平面EFM,FMPD=M,所以AE平面EFM,又EF平面EFM,所以AEEF,所以FEM为二面角F-AE-P的平面角.在PCD中,PD=22,PE

6、=2,PM=13PD=223,EM=23,在RtEFM中,EF=EM2+FM2=63,cosFEM=EMEF=33,所以二面角F-AE-P的余弦值为33.(3)取CF中点N,连接DN,GN,在PDN中,E,F分别为PD,PN的中点,所以EFDN,在PBC中,PGPB=PNPC=23,又BC=3,所以GNBC,GN=2,又因为ADBC,AD=2,所以GN􀱀AD,四边形ADNG是平行四边形,所以AGDN,又因为EFDN,所以AGEF,又因为AG与平面AEF有公共点,所以AG平面AEF.【误区警示】本题第(3)问主要考查直线与平面的位置关系,不要忽略AG与平面AEF有公共点,不是交

7、点.【方法技巧】1.线面垂直往往转化为线线垂直.证明线线垂直常用方法有:(1)定义(夹角90);(2)等腰三角形三线合一;(3)菱形的对角线;(4)直角梯形(直角腰与上下底都垂直);(5)矩形的邻边;(6)勾股定理(最大边所对角是直角);(7)直径所对的圆周角是直角;(8)线面垂直(直线与平面内所有直线垂直);(9)面面垂直(定理);(10)分别平行于两条垂直直线的两直线垂直;(11)k1k2=-1(斜率不存在单独讨论);(12)ab=0(不用单独讨论);(13)其他,点与它在平面上投影的连线垂直于平面等.2.求二面角的步骤:(1)作.作辅助线,即找二面角的棱分别在两个半平面内的垂线,找到所求

8、角的平面角.(2)证.证明上一步作出的线与二面角的棱垂直.(3)求.往往放在三角形中求角的正弦值或余弦值.求角的三角函数值的方法:构造直角三角形.如果是直角三角形,直接运用边长作比例即可,如果是等腰三角形,只需作出底边的高(也是中线),构造出直角三角形;余弦定理.4.(2019北京高考文科T18)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底部ABCD为菱形,E为CD的中点.(1)求证:BD平面PAC.(2)若ABC=60,求证:平面PAB平面PAE.(3)棱PB上是否存在点F,使得CF平面PAE？说明理由.【命题意图】本题考查立体几何中点、线、面位置关系,线面垂直、面面垂直的判定,线面平

9、行的判定,意在考查学生的直观想象与逻辑推理能力.【解析】(1)因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD,因为底面ABCD是菱形,所以BDAC,又因为ACPA=A,AC,PA平面PAC,所以BD平面PAC.(2)在菱形ABCD中,ABC=60,E为CD中点,所以AC=AD,AECD,ABCD,所以AEAB,因为PA平面ABCD,AE平面ABCD,所以PAAE,又因为PAAB=A,PA,AB平面PAB,所以AE平面PAB,又AE平面PAE,所以平面PAB平面PAE.(3)PB中点F符合题意,下证.取AB中点G,连接CG,FG,CF.因为AB􀱀CD,E,G分别为CD,A

10、B的中点,所以AG􀱀CE,四边形AGCE为平行四边形,所以AECG,又因为AE平面PAE,CG平面PAE,所以CG平面PAE,在PAB中,F,G分别为PB,AB的中点,所以FGPA,易得FG平面PAE,又因为CGFG=G,CG,FG平面CFG,所以平面CFG平面PAE,又因为CF平面CFG,所以CF平面PAE.【方法技巧】面面垂直往往转化为线面垂直,线面垂直往往转化为线线垂直.证明线线垂直常用方法有:1.定义(夹角90);2.等腰三角形三线合一;3.菱形的对角线;4.直角梯形(直角腰与上下底都垂直);5.矩形的邻边;6.勾股定理(最大边所对角是直角);7.直径所对的圆周角是直

11、角;8.线面垂直(直线与平面内所有直线垂直);9.面面垂直(定理);10.分别平行于两条垂直直线的两直线垂直;11.k1k2=-1(斜率不存在单独讨论);12.ab=0(不用单独讨论);13.其他,点与它在平面上投影的连线垂直于平面等.5.(2019天津高考文科T17)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PCD为等边三角形,平面PAC平面PCD,PACD,CD=2,AD=3,(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH平面PAD.(2)求证:PA平面PCD.(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.【命题意图】本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直

12、、直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.【解题指南】(1)连接BD,结合平行四边形的性质,以及三角形中位线的性质,得到GHPD,利用线面平行的判定定理证得结果.(2)取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DNPC,结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到DNPA,利用线面垂直的判定定理证得结果.(3)利用线面角的定义得到DAN为直线AD与平面PAC所成的角,放在直角三角形中求得结果.【解析】(1)连接BD,易知ACBD=H,BH=DH,又由BG=PG,故GHPD,又因为GH平面PAD,PD平面PAD,所以GH平面PAD.(2)取棱PC的中点N,连接DN,依

13、题意,得DNPC,又因为平面PAC平面PCD,平面PAC平面PCD=PC,所以DN平面PAC,又PA平面PAC,故DNPA,又因为PACD,CDDN=D,所以PA平面PCD.(3)连接AN,由(2)中DN平面PAC,可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角.因为PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,所以DN=3,又DNAN,在RtAND中,sinDAN=DNAD=33,所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为33.6.(2019江苏高考T16)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1平面DEC1.(2)BEC1E.【命题意图

14、】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.【解题指南】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论.(2)由题意首先证得线面垂直,然后结合线面垂直证明线线垂直即可.【证明】(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,所以EDAB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABA1B1,所以A1B1ED.又因为ED平面DEC1,A1B1平面DEC1,所以A1B1平面DEC1.(2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BEAC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以CC1平面ABC.又因为BE平面ABC,所以CC1BE.因为C1C平面A1ACC1,AC平面A1ACC1,C1CAC=C,所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1,所以BEC1E.