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1、 考点34 直线、平面垂直的判定及其性质一、简答题1.(12分)(2018全国卷I高考文科T18)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90,以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA.(1)证明:平面ACD平面ABC.(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.【解析】(1)由已知可得,BAC=90,则BAAC.又BAAD,ADAC=A,所以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3.又BP=DQ=DA,所以BP=2.作QEAC,垂足为E,则QE&
2、#1051712;DC=1.由已知及(1)可得DC平面ABC,所以QE平面ABC,因此,三棱锥Q-ABP的体积为VQ-ABP=QESABP=132sin45=1.2.(2018全国卷II高考文科T19)(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC.(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.【命题意图】本题考查立体几何中的线面垂直关系的判定以及线面间的距离的求法,意在考查学生的数学运算及逻辑推理能力.【解析】(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP=2.连接OB.因
3、为AB=BC=AC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OB=AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OPOB.由OPOB,OPAC,OBAC=O,知PO平面ABC.(2)作CHOM,垂足为H.又由(1)可得OPCH,OPOM=O,所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=AC=2,CM=BC=,ACB=45.所以OM=,CH=.所以点C到平面POM的距离为.3.(2018全国高考文科T19)(12分)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC平面PBD?说明理
4、由.【命题意图】考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定,意在考查空间想象能力、逻辑推理能力,培养学生的空间想象能力与逻辑推理能力,体现了逻辑推理、直观想象的数学素养.【解析】(1)由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)存在,AM的中点即为符合题意的点P.证明如下:取AM的中点P,连接AC,BD交于点N,连接PN.因为ABCD是矩形,所以N是AC的中点,在ACM中,点P,N分别是A
5、M,AC的中点,所以PNMC,又因为PN平面PBD,MC平面PBD,所以MC平面PBD,所以,在线段AM上存在点P,即AM的中点,使得MC平面PBD.4.(本小题14分)(2018北京高考文科T18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(1)求证:PEBC.(2)求证:平面PAB平面PCD.(3)求证:EF平面PCD.【命题意图】考查空间中直线与平面的位置关系的判定,意在考查空间想象能力,逻辑推理能力,培养学生的空间想象能力与逻辑推理能力,体现了逻辑推理,直观想象的数学素养.【证明】(1)在PAD中,PA
6、=PD,E是AD的中点,所以PEAD,又底面ABCD为矩形,所以ADBC,所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形,所以ADCD,又因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,CD平面ABCD,所以CD平面PAD,又PA平面PAD,所以CDPA,又因为PAPD,CD,PD平面PCD,CDPD=D,所以PA平面PCD,又PA平面PAB,所以平面PAB平面PCD.(3)取PC的中点G,连接DG,FG,因为底面ABCD为矩形,所以ADBC,又E是AD的中点,所以DEBC,在PBC中,F,G分别是PB,PC的中点,所以FGBC
7、,所以DEFG,四边形DEFG是平行四边形,所以EFDG,又因为EF平面PCD,DG平面PCD,所以EF平面PCD.5.(本小题满分13分)(2018天津高考文科T17)如图,在四面体ABCD中,ABC是等边三角形,平面ABC平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=2,BAD=90.()求证:ADBC;()求异面直线BC与MD所成角的余弦值;()求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.【命题意图】本题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.【解题指南】()利用平面与平面垂直的性质及题设条件,
8、先证明AD平面ABC,即可得出结论;()利用异面直线所成角的定义,先找角,再求值;()利用直线与平面所成角的定义,先找角,再求值.【解析】()由平面ABC平面ABD,平面ABC平面ABD=AB,ADAB,可得AD平面ABC,故ADBC.()取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,故MNBC.所以DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.在RtDAM中,AM=1,故DM=.因为AD平面ABC,故ADAC.在RtDAN中,AN=1,故DN=.在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cosDMN=.所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为.()连接CM.因为ABC为等边三角形,M
9、为AB的中点,故CMAB,CM=.又因为平面ABC平面ABD,而CM平面ABC,故CM平面ABD.所以,CDM为直线CD与平面ABD所成的角.在RtCAD中,CD=4.在RtCMD中,sinCDM=.所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.6.(本小题满分14分)(2018江苏高考T15)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1B1C1.求证:(1)AB平面A1B1C.(2)平面ABB1A1平面A1BC.【证明】(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1.因为AB平面A1B1C,A1B1平面A1B1C,所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1A1B.又因为AB1B1C1,BCB1C1,所以AB1BC.又因为A1BBC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC,所以AB1平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面A1BC.