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1、 考点33 直线、平面平行的判定及其性质一、填空题1.(2019全国卷文科T16)已知ACB=90,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到ACB两边AC,BC的距离均为3,那么P到平面ABC的距离为.【命题意图】本题考查学生空间想象能力,合理画图成为关键,准确找到P在底面上的射影,使用线面垂直定理,得到垂直关系,利用勾股定理解决.【解析】作PD,PE分别垂直于AC,BC于点D,E,PO平面ABC,连接OD,CO,知CDPD,CDPO,PDPO=P,所以CD平面PDO,OD平面PDO,所以CDOD,因为PD=PE=3,PC=2.所以sinPCE=sinPCD=32,所以PCB=PCA=60,所以
2、POCO,CO为ACB的平分线,所以OCD=45,所以OD=CD=1,OC=2,又PC=2,所以PO=4-2=2.答案:2【题后反思】画图视角选择不当,线面垂直定理使用不够灵活,难以发现垂直关系,问题就很难解决,将几何体摆放成正常视角,是立体几何问题解决的有效手段,几何关系利于观察,解题事半功倍.2.(2019北京高考理科T12同2019北京高考文科T13)已知l,m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断:lm;m;l.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:.【命题意图】本题考查立体几何中的线面平行、垂直关系的判定以及性质,意在考查学生的逻辑推理能力.【解析】
3、选两个论断作为条件,一个作为结论,一共能够组成3个命题,即,只有为假命题,其余两个为真命题.答案:若m,l,则lm(或若lm,l,则m)二、解答题3.(2019全国卷理科T17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面EB1C1.(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.【命题意图】考查线面垂直的判定和性质的应用,空间直角坐标系,空间向量的运用以及二面角的有关知识.【解析】(1)由已知得,B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,EC1B1C1=C1,所以BE平面EB1C1.
4、(2)由(1)知BEB1=90.由题设知RtABERtA1B1E,所以AEB=45,故AE=AB,AA1=2AB.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),=(1,-1,1),=(0,0,2).设平面EBC的法向量为n=(x,y,z),则即x=0,x-y+z=0,所以可取n=(0,-1,-1).设平面ECC1的法向量为m=(x,y,z),则即2z=0,x-y+z=0.所以可取m=(1,1,0).于是cosn,m=nm|n|m|=-12
5、.所以,二面角B-EC-C1的正弦值为32.4.(2019全国卷文科T17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面EB1C1.(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.【命题意图】考查线面垂直的判断与性质的应用、空间几何体的体积的计算能力.【解析】(1)由已知得B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,EC1B1C1=C1,所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB1=90.由题设知RtABERtA1B1E,所以AEB=A1EB1=45,故AE=AB=3,AA
6、1=2AE=6.作EFBB1,垂足为F,则EF平面BB1C1C,且EF=AB=3.所以,四棱锥E-BB1C1C的体积V=13363=18.5.(2019浙江高考T19)(本小题满分15分)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1平面ABC,ABC=90,BAC=30,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.(1)证明:EFBC.(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.【命题意图】本题主要考查空间点、线、面位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力.【解析】(1)方法一:连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E
7、AC.又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1,平面A1ACC1平面ABC=AC,所以,A1E平面ABC,则A1EBC.又因为A1FAB,ABC=90,故BCA1F,且A1EA1F=A1,所以BC平面A1EF.因此EFBC.方法二:连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1,平面A1ACC1平面ABC=AC,所以,A1E平面ABC.如图,以点E为原点,分别以射线EC,EA1为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系E-xyz.不妨设AC=4,则A1(0,0,23),B(3,1,0),F32,32,23,C(0,2
8、,0).因此,=32,32,23,=(-3,1,0).由=0得EFBC.(2)取BC中点G,连接EG,GF,则四边形EGFA1是平行四边形.由于A1E平面ABC,故A1EEG,所以平行四边形EGFA1为矩形.由(1)得BC平面EGFA1,则平面A1BC平面EGFA1,所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.连接A1G交EF于O,则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角).不妨设AC=4,则在RtA1EG中,A1E=23,EG=3.由于O为A1G的中点,故EO=OG=A1G2=152,所以cosEOG=EO2+OG2-EG22EOOG=35.因此,直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是35.