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1、 专题提升课八圆锥曲线综合问题综合一范围和最值问题【典例1】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为255,且焦距为8.(1)求C的方程;(2)设直线l的倾斜角为3,且与C交于A,B两点,点O为坐标原点,求AOB面积的最大值.【解析】(1)依题意可知ca=255,2c=8,a2=b2+c2,解得a=25,b=2,c=4,故C的方程为x220+y24=1;(2)依题意可设直线l的方程为y=3x+m,联立y=3x+m,x220+y24=1,整理得16x2+103mx+5m2-20=0,则=300m2-64(5m2-20)0,解得-8mb0)的焦距为22,且经过点(32,12).(1)
2、求椭圆C的方程;(2)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求AOB(O为原点)面积的最大值.【解析】(1)由2c=22c=2a2-b2=2,由椭圆C经过点(32,12),得94a2+14b2=1,联立,解得b=1,a=3,所以椭圆C的方程是x23+y2=1;(2)由题意可知直线AB一定存在斜率,设其方程为y=kx+2,联立y=kx+2,x23+y2=1,消去y,得(1+3k2)x2+12kx+9=0,则=144k2-36(1+3k2)0,得k21,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-12k1+3k2,x1x2=91+3k2,所以SAOB=|SPOB-SPOA|=122
3、|x1-x2|=|x1-x2|,因为(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-12k1+3k2)2-361+3k2=36(k2-1)(1+3k2)2,设k2-1=t(t0),则(x1-x2)2=36t(3t+4)2=369t+16t+243629t16t+24=34,当且仅当9t=16t,即t=43时等号成立,此时k2=731,符合题意,此时AOB面积取得最大值32.综合二定点和定值问题【典例2】已知点A,B是抛物线y2=2px(p0)上的两点,且OAOB.(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积;(2)求证:直线AB过定点.【解析】(1)设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y
4、2),则有kO A=y1x1,kO B=y2x2.因为OAOB,所以kO AkO B=-1,所以x1x2+y1y2=0.因为y12=2px1,y22=2px2,所以y122py222p+y1y2=0.因为y10,y20,所以y1y2=-4p2,所以x1x2=4p2;(2)因为y12=2px1,y22=2px2,两式相减得(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2),所以y1-y2x1-x2=2py1+y2,所以kAB=2py1+y2,故直线AB的方程为y-y1=2py1+y2(x-x1),所以y=2pxy1+y2+y1-2px1y1+y2,即y=2pxy1+y2+y12-2px1+y1y2
5、y1+y2.因为y12=2px1,y1y2=-4p2,代入整理得y=2pxy1+y2+-4p2y1+y2,所以y=2py1+y2(x-2p),即直线AB过定点(2p,0).关于定点和定值问题(1)定点:首先将要研究的直线、曲线的方程表示出来,一是方程变形为特定形式后观察,如把直线的方程变为点斜式来观察定点;二是把参数提出来,把参数看作变量,令参数的系数为零后解出定点;(2)定值:实质是求值,即把要研究的量求出来,求出来的量为常数,即为定值.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线y=2x-1与抛物线交于M,N两点,且|MF|+|NF|=4.(1)求抛物线C的方程;(2)若P(4,m)
6、(m0)是抛物线C上一点,过点Q(1,-4)的直线与抛物线C交于A,B两点(均与点P不重合),设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.【解析】(1)联立y2=2px,y=2x-1,整理得4x2-(4+2p)x+1=0,设M(xM,yM),N(xN,yN),所以xM+xN=4+2p4=1+p2.由抛物线的定义知|MF|+|NF|=xM+p2+xN+p2=1+p2+p=4,解得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x;(2)因为P(4,m)(m0)是抛物线C上一点,所以m=4,即P(4,4).设直线AB的方程为x-1=t(y+4),A(x1,y1),B(x2,y2).由x-1=
7、t(y+4),y2=4x,消去x得y2-4ty-16t-4=0,所以y1+y2=4t,y1y2=-16t-4.k1k2=y1-4x1-4y2-4x2-4=y1-4y124-4y2-4y224-4=16(y1+4)(y2+4)=16y1y2+4(y1+y2)+16=16-16t-4+44t+16=43,即k1k2为定值.综合三探索性和开放性问题【典例3】已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过点A(2,0)的直线l交C于M,N两点,当MN与x轴垂直时,MNF的周长为9.(1)求C的方程:(2)在x轴上是否存在点P,使得OPM=OPN恒成立(O为坐标原点).若存在求出坐标,若不存在说明理由
8、.【解析】(1)当MN与x轴垂直时,|MF|=|NF|=2+p2,|MN|=4p,从而有4+p+4p=9,解得p=1,所以C的方程为y2=2x;(2)设P(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),由题可知直线l斜率不为零,设l:x=my+2,代入抛物线方程y2=2x消去x,得y2-2my-4=0,从而y1+y2=2m,y1y2=-4,由OPM=OPN可得kMP+kNP=0,而kMP+kNP=y1x1-x0+y2x2-x0=y1my1+2-x0+y2my2+2-x0=2my1y2+(2-x0)(y1+y2)(my1+2-x0)(my2+2-x0),将代入,从而得-4m-2mx0(my1+
9、2-x0)(my2+2-x0)=0恒成立,所以x0=-2,因此存在点P满足题意,P点坐标为(-2,0).关于探索性和开放性问题(1)问题的本质是求出点、直线的方程或确定满足的关系,如果无法求出、位置关系不确定,或者求出来的量和关系不符合题意,则不存在;(2)技巧:一是通过特殊值、特殊位置先求出点的坐标、直线的方程等,再加以证明求出来的量符合题目条件;二是假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在,若结论不正确,则不存在.已知抛物线C:y2=2px(0p4)上一纵坐标为4的点M到其焦点F的距离为5,过点N(2,0)的直线l与C相交于A,B两点.(1)求C的标准方程;(2)在x轴上是否存在异
10、于点N的定点P,使得点F到直线PA与直线PB的距离相等.若存在,求出点P的坐标;若不存在,试说明理由.【解析】(1)设M(t,4),则16=2pt,所以t=8p,由抛物线的定义得MF=8p+p2=5,解得p=2或p=8,因为0p4,所以p=8(舍去).所以C的标准方程为y2=4x;(2)设P(x0,0),x02,A(x1,y1),B(x2,y2),由题可知l的斜率不为零,设l:x=my+2,代入抛物线方程y2=4x消去x,得y2-4my-8=0,从而y1+y2=4m,y1y2=-8,点F到直线PA与直线PB的距离相等,可得FPA=FPB,故kAP+kBP=0,kAP+kBP=y1x1-x0+y2x2-x0=y1my1+2-x0+y2my2+2-x0=2my1y2+(2-x0)(y1+y2)(my1+2-x0)(my2+2-x0)=0,得2my1y2+(2-x0)(y1+y2)=0,将代入得-16m+4(2-x0)m=0,于是得x0=-2,因此存在符合条件的点P,且P点坐标为(-2,0). - 7 -