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1、第二章圆锥曲线与方程习题课抛物线的综合问题及应用课后篇巩固提升基础巩固1.抛物线y=ax2的焦点是直线x+y-1=0与坐标轴交点,则抛物线准线方程是()A.x=-14B.x=-1C.y=-14D.y=-1解析抛物线开口向上或者向下,焦点在y轴上,直线x+y-1=0与y轴交点为(0,1),故14a=1,a=14,即抛物线的方程为x2=4y,故准线方程为y=-1,故选D.答案D2.若动圆与圆(x-2)2+y2=1相外切,又与直线x+1=0相切,则动圆圆心的轨迹方程是()A.y2=-4xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=8x解析设动圆圆心为O,半径为r,圆(x-2)2+y2=1的圆心为F(2,
2、0),则OF=r+1,因为动圆到直线x+1=0的距离为r,所以点O到直线x+2=0的距离为r+1,则动点O到定点(2,0)的距离等于到直线x+2=0的距离,故动点O的轨迹为抛物线,焦点为F(2,0),准线为x=-2,轨迹方程为y2=8x.故答案为D.答案D3.已知F为抛物线y2=8x的焦点,过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,则|FA|-|FB|的值等于()A.82B.8C.42D.4解析依题意F(2,0),所以直线方程为y=x-2,联立得y=x-2,y2=8x,消去y得x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|-|BF|=|(x1+2)-(x2+2)|=|
3、x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=144-16=82.答案A4.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,抛物线的焦点为F,且|AF|,4,|BF|成等差数列,则k=()A.2或-1B.-1C.2D.15解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx-2,y2=8x,消去y,得k2x2-4(k+2)x+4=0,故=16(k+2)2-16k2=64(1+k)0,解得k-1,且x1+x2=4(k+2)k2.由|AF|=x1+p2=x1+2,|BF|=x2+p2=x2+2,且|AF|,4,|BF|成等差数列,得x1+2+x2+2=8,得x1+x2=4,所以4(k+2
4、)k2=4,解得k=-1或k=2,又k-1,故k=2,故选C.答案C5.如图所示,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F,过抛物线上一点A(3,y)向准线作垂线,垂足为B,若ABF为等边三角形,则抛物线的标准方程是()A.y2=12xB.y2=xC.y2=2xD.y2=4x解析设抛物线方程为y2=2px,取AB的中点为D,由A(3,y),B-p2,y,得D3-p22,y.因为ABF为等边三角形,所以FDAB.又Fp2,0,所以3-p22=p2,解得p=2,故抛物线方程为y2=4x.答案D6.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p=.解析
5、直线y=x-p2,则y=x-p2,y2=2px,所以x2-3px+p24=0,|AB|=8=x1+x2+p,所以4p=8,p=2.答案27.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|=.解析由y2=4x,得F(1,0),准线方程为x=-1.又FA+FB+FC=0,可知F是ABC的重心,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),所以x1+x2+x33=1,即x1+x2+x3=3,由抛物线定义可得|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,|FC|=x3+1,所以|FA|+|FB|+|FC|=x1+x2+x3+3=3+
6、3=6.答案68.已知直线l与抛物线y2=4x交于A,B两点,O为坐标原点,若OAOB=-4,则直线l恒过的定点M的坐标是.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2+y1y2=-4.当直线l的斜率不存在时,设其方程为x=x0(x00),则x02-4x0=-4,解得x0=2;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+b,由y=kx+b,y2=4x,得ky2-4y+4b=0,得y1y2=4bk,则x1x2=y12y2216=b2k2,得b2k2+4bk=-4,所以bk=-2,即b=-2k,直线y=kx-2k=k(x-2)恒过定点(2,0).又直线x=2也恒过定点(2,0),得点M
7、的坐标为(2,0).答案(2,0)9.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.(1)若|AF|=4,求点A的坐标;(2)若直线l的倾斜角为45,求线段AB的长.解由y2=4x,得p=2,其准线方程为x=-1,焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由抛物线的定义可知,|AF|=x1+p2,从而x1=4-1=3,代入y2=4x,解得y1=23.点A的坐标为(3,23)或(3,-23).(2)直线l的方程为y-0=tan45(x-1),即y=x-1.与抛物线方程联立,得y=x-1,y2=4x,整理得x2-6x+1=0,x1+x2=6.由抛物线的定义
8、可知,|AB|=x1+x2+p=6+2=8,线段AB的长是8.10.设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BCx轴.证明:直线AC经过坐标原点O.证明抛物线的焦点为Fp2,0.设直线AB的方程为x=my+p2,代入抛物线方程,得y2-2pmy-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p2.BCx轴,且点C在准线上,C-p2,y2,则kCO=2py1.又由y12=2px1,得kAO=y1x1=2py1,故kCO=kAO,即直线AC经过坐标原点O.能力提升1.一动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=
9、0相切,则此动圆必过定点()A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,0)解析圆心C在抛物线上,设与直线x+2=0相切的切点为A,与x轴交点为M,由抛物线的定义可知,CA=CM=R,直线x+2=0为抛物线的准线,故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点(2,0).故选B.答案B2.已知抛物线y2=-2px(p0)与直线x-y-1=0相切于点A,该抛物线的焦点坐标为F,则|AF|等于()A.1B.2C.4D.22解析由y2=-2px,x-y-1=0,得x2-2(1-p)x+1=0,由题意可得4(1-p)2-4=0,解得p=2或p=0(舍去),代入可得x=-1,则|AF|等于点A到准线
10、的距离,故|AF|=1+1=2.答案B3.已知椭圆x24+y23=1的右焦点F是抛物线y2=2px(p0)的焦点,则过F作倾斜角为的直线分别交抛物线于A,B(点A在x轴上方)两点,若|AF|BF|=3,则的值为()A.30B.120C.60D.60或120解析依题意,F(1,0)是抛物线y2=2px(p0)的焦点,故p2=1,则p=2,y2=4x.根据已知条件如图所示,A在x轴上方,倾斜角是锐角,分别过A,B作准线的垂线,垂足为A1,B1,过B作AA1的垂线,垂足为P,设|BE|=x,|AF|=3x,根据抛物线的定义知|BB1|=x,|AA1|=3x,所以直角梯形AA1B1B中,|A1P|=x
11、,|AP|=|AA1|-|A1P|=2x,|AB|=4x,又直线AB的倾斜角=AFx=BAP,故cos=cosBAP=|AP|AB|=2x4x=12,又是锐角,故=60.故选C.答案C4.已知A(3,2),若点P是抛物线y2=8x上任意一点,点Q是圆(x-2)2+y2=1上任意一点,则|PA|+|PQ|的最小值为()A.3B.4C.5D.6解析抛物线y2=8x的焦点F(2,0),准线l:x=-2,圆(x-2)2+y2=1的圆心为F(2,0),半径r=1,过点P作PB垂直准线l,垂足为B,由抛物线的定义可知|PB|=|PF|,则|PA|+|PQ|PA|+|PF|-r=|PA|+|PB|-1,当A
12、,P,B三点共线时|PA|+|PB|取最小值为5,|PA|+|PQ|PA|+|PB|-15-1=4.即有|PA|+|PQ|取得最小值4,故选B.答案B5.已知点F是抛物线C:y2=2px(q0)的焦点,过点R(2,1)的直线l与抛物线C交于A,B两点,点R为线段AB的中点,若|FA|+|FB|=5,则直线l的斜率为()A.3B.1C.2D.12解析由于点R(2,1)为AB中点,根据抛物线的定义|FA|+|FB|=xA+xB+p=22+p=5,解得p=1,抛物线方程为y2=2x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=2x1,y22=2x2,两式相减并化简,得y2-y1x2-x1=2y1
13、+y2=221=1,即直线l的斜率为1,故选B.答案B6.如图所示,直线y=x-2与圆x2+y2-4x+3=0及抛物线y2=8x依次交于A,B,C,D四点,则|AB|+|CD|=.解析依题意,直线y=x-2恰好经过圆的圆心和抛物线的焦点.由y2=8x,y=x-2,得x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12,于是|AD|=x1+x2+p=12+4=16,而|BC|=2r=2,故|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=16-2=14.答案147.在|PF|=x0+1;y0=2x0=2这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并对其求解.问题:已知抛物线C:y2
14、=2px(p0)的焦点为F,点P(x0,y0)在抛物线C上,且.(1)求抛物线C的标准方程;(2)若直线l过抛物线C的焦点F,l与抛物线C相交于A,B两点,且|AB|=8,求直线l的方程.解(1)若选择条件,根据|PF|=x0+p2=x0+1,解得p=2,所以抛物线的方程是y2=4x;若选择条件y0=2x0=2,即P(1,2),代入抛物线方程,得22=2p1,解得p=2,所以抛物线方程是y2=4x.(2)抛物线的焦点F(1,0),当直线l的斜率不存在时,|AB|=2p=48,所以直线l的斜率存在,设直线l:y=k(x-1),与抛物线方程联立y=k(x-1),y2=4x得k2(x-1)2=4x,
15、化简为k2x2-(2k2+4)x+k2=0,x1+x2=2k2+4k2=2+4k2,|AB|=x1+x2+p=2+4k2+2=8,解得k=1,所以直线l的方程是y=x-1或y=-x+1.8.设抛物线C:x2=2py(0p0,由韦达定理得x1+x2=4k,x1x2=-8.kQN=y2-y1x2+x1=x224-x124x2+x1=x2-x14,直线QN方程为y-y1=x2-x14(x+x1),即y=y1+x2-x14(x+x1)=x2-x14x+x1(x2-x1)4+x124=x2-x14x+x1x24,x1x2=-8,直线QN方程为y=x2-x14x-2,即直线QN方程恒过定点(0,-2).(
16、方法二)依题意知,直线QN的斜率存在且不为0,设直线QN方程为y=kx+b,Q(x1,y1),N(x2,y2),则M(-x1,y1),联立x2=4y,y=kx+b,消去y,得x2-4kx-4b=0.Q,N是抛物线C上不同两点,必有0,由韦达定理得x1+x2=4k,x1x2=-4b.M,A,N三点共线,AM=(-x1,y1-2),AN=(x2,y2-2),-x1(y2-2)-x2(y1-2)=0.-x1(kx2+b-2)-x2(kx1+b-2)=0,2kx1x2+(b-2)(x1+x2)=0,即2k(-4b)+(b-2)4k=0,化简得kb+2k=0,k0,b=-2.直线QN方程为y=kx-2,直线QN恒过定点(0,-2).7