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1、 三十双曲线及其标准方程1.已知双曲线x2a2-y216=1(a0)的一个焦点为(5,0),则a的值为()A.9B.6C.5D.3【解析】选D.根据题意,双曲线x2a2-y216=1(a0)的一个焦点为(5,0),即c=5,则有a2+16=25,解得a=3.2.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos F1PF2等于()A.14B.35C.34D.45【解析】选C.由双曲线定义知,|PF1|-|PF2|=22,又|PF1|=2|PF2|,所以|PF2|=22,|PF1|=42,|F1F2|=2c=2a2+b2=4.所以cos F1PF
2、2=|PF1|2+|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|=32+81624222=2432=34.3.双曲线x216-y29=1的左、右焦点分别为F1,F2,在左支上过点F1的弦AB的长为5,那么ABF2的周长是()A.12B.16C.21D.26【解析】选D.依题意,|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,所以(|AF2|-|AF1|)+(|BF2|-|BF1|)=16,又|AB|=5,所以|AF2|+|BF2|=16+(|AF1|+|BF1|)=16+|AB|=16+5=21.所以|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.即ABF2的周长是26.
3、4.已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆C与直线MN切于点B,过M,N与圆C相切的两直线相交于点P,则P点的轨迹方程为()A.x2-y28=1(x1)B.x2-y210=1(x0)C.x2-y28=1(x0)D.x2-y210=1(x1)【解析】选A.设过点P的两切线分别与圆切于S,T,则|PM|-|PN|=(|PS|+|SM|)-(|PT|+|TN|)=|SM|-|TN|=|BM|-|BN|=2=2a,所以曲线为双曲线的右支(不含顶点),a=1,c=3,所以b2=8,故P点的轨迹方程为x2-y28=1(x1).5.(多选题)已知F1(-3,0),F2(3,0),满足条件|P
4、F1|-|PF2|=2m-1的动点P的轨迹是双曲线的一支,则实数m的可取值为()A.2B.-1C.4D.-3【解析】选AB.由题意c=3.因为2a2c=6,所以|2m-1|6,且|2m-1|0,所以-52m72且m12,所以A,B满足条件.6.(多选题)若方程x23t+y2t1=1所表示的曲线为C,则下面四个说法中错误的是()A.若1t3,则C为椭圆B.若C为椭圆,且焦点在y轴上,则2t3C.曲线C可能是圆D.若C为双曲线,则t3-t0,解得2t3,故正确;对于C选项,当t=2时,曲线C表示圆的方程,故正确;对于D选项,当曲线C为双曲线时,则(3-t)(t-1)0,解得t3,故错误.7.已知双
5、曲线C的焦点在y轴上且离心率为2,写出一个满足条件的曲线C的方程为_.【解析】设双曲线方程为y2a2-x2b2=1,因为双曲线离心率为2,所以b2=3a2,故双曲线方程为y2-x23=1(0)中的任意一个,可取y2-x23=1.答案:y2-x23=1(答案不唯一)8.如图所示,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A,B为左、右焦点,且双曲线过C,D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为_.【解析】设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0).由题意得B(2,0),C(2,3),所以4=a2+b2,4a29b2=1,解得a2=1,b2=3,所以双曲线的标准方程为x2-y23
6、=1.答案:x2-y23=19.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)a=25,经过点A(-5,2),焦点在x轴上;(2)与椭圆x227+y236=1有共同的焦点,它们的一个交点的纵坐标为4.【解析】(1)因为双曲线的焦点在x轴上,所以可设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0).由题设知,a=25,且点A(-5,2)在双曲线上,所以a=25,25a24b2=1,解得a2=20,b2=16.故所求双曲线的标准方程为x220-y216=1;(2)椭圆x227+y236=1的两个焦点为F1(0,-3),F2(0,3),双曲线与椭圆的一个交点为(15,4)(或(-15,4).设双曲线
7、的标准方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),则42a2(15)2b2=1,a2+b2=32,解得a2=4,b2=5.故所求双曲线的标准方程为y24-x25=1.10.已知曲线C:x2t2+y2t21=1(t0,t1).(1)求t为何值时,曲线C分别为椭圆、双曲线;(2)求证:不论t为何值,曲线C有相同的焦点.【解析】(1)当|t|1,即t1或t0,t2-10,且t2t2-1,曲线C为椭圆;当|t|1,即-1t0,t2-11时,曲线C是椭圆,且t2t2-1,因此c2=a2-b2=t2-(t2-1)=1,所以焦点为F1(-1,0),F2(1,0).当|t|0)的离心率为2,F1,F2分别为C
8、的左、右焦点,点A在C的右支上,若AF1F2的周长为10a,则AF2F1的面积是()A.615B.315C.90D.45【解析】选B.双曲线的半焦距为c,由e=ca=2,又c2-a2=9,解得a=3,c=23,因为AF1F2的周长为10a,设|AF1|=m,|AF2|=n,可得m+n+2c=m+n+43=103,即m+n=63,由双曲线的定义可得m-n=2a=23,解得m=43,n=23,cos F1AF2=m2+n24c22mn=48+124824323=14,所以sin F1AF2=1116=154,则AF2F1的面积是12mnsin F1AF2=124323154=315.12.已知P是
9、双曲线x216a2-y29a2=1a0上的点,F1、F2是其左、右焦点,且=0,若PF1F2的面积为9,则a等于()A.2B.1C.3D.4【解析】选B.由=0得,由勾股定理得+=216a2+9a22=100a2.由双曲线的定义得=8a,所以64a2=+-2=100a2-2,所以=18a2,则PF1F2的面积为12=9a2=9,因为a0,所以a=1.13.已知双曲线x2m-y27=1,直线l过其左焦点F1,交双曲线左支于A,B两点,且|AB|=4,F2为双曲线的右焦点,ABF2的周长为20,则m的值为_.【解析】ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=20,因为|AB|=4,所以|A
10、F2|+|BF2|=16.根据双曲线定义知,2a=|AF2|-|AF1|=|BF2|-|BF1|,所以4a=(|AF2|+|BF2|)-(|AF1|+|BF1|)=16-4=12,所以a=3,所以m=a2=9.答案:914.设点P在双曲线x29-y216=1上,F1,F2为双曲线的两个焦点,且|PF1|PF2|=13,则F1PF2的周长等于_,cos F1PF2=_.【解析】由题意知|F1F2|=29+16=10,|PF2|-|PF1|=6,又|PF1|PF2|=13,所以|PF1|=3,|PF2|=9,所以F1PF2的周长为3+9+10=22.cos F1PF2=|PF1|2+|PF2|2|
11、F1F2|22|PF1|PF2|=9+81100239=-527.答案:22-52715.如图,在以点O为圆心,|AB|=4为直径的半圆ADB中,ODAB,P是半圆弧上一点,POB=30,曲线C是满足|MA|-|MB|为定值的动点M的轨迹,且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程.【解析】方法一:以O为原点,AB,OD所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P(3,1),依题意得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=(2+3)2+12-(23)2+12=22|AB|=4.所以曲线C是以A,B为焦点的双曲线.则c=2
12、,2a=22,所以a2=2,b2=c2-a2=2.故曲线C的方程为x22-y22=1.方法二:同方法一建立平面直角坐标系,则依题意可得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|0,b0),则有(3)2a21b2=1,a2+b2=4,解得a2=2,b2=2.故曲线C的方程为x22-y22=1.16.(多选题)数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微.”事实上,很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,例如,与(xa)2+(yb)2相关的代数问题,可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间的距离的几何问题.结合上述观点,可得方程|x2+4x+5-x24x+5|=2的解为()A.233B.36C.-233D.-36【解析】选AC.由|x2+4x+5-x24x+5|=2得|(x+2)2+(10)2-(x2)2+(10)2|=2.其几何意义为平面内一点(x,1)与两定点(-2,0),(2,0)距离之差的绝对值为2.平面内与两定点(-2,0),(2,0)距离之差的绝对值为2的点的轨迹是双曲线.设该双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则2a=2,c=2,c2=a2+b2,解得a=1,b=3.所以该双曲线的方程是x2-y23=1.联立方程组y=1,x2y23=1,解得x=233. - 8 -