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1、 9 96 6双曲线双曲线1双曲线的概念平面内动点 P 与两个定点 F1、F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a0，c0：(1)当_时，P 点的轨迹是双曲线；(2)当 ac 时，P 点的轨迹是_；(3)当_时，P 点不存在2双曲线的标准方程和几何性质x2y21a2b2标准方程(a0，b0)图形范围对称性顶点性质渐近线离心率xa 或 xa，yR RxR R，ya 或 yay2x21a2b2(a0，b0)对称轴：坐标轴对称中心：原点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)bay xy xabce，e(1，)，其中 c a2b2a线段 A1A2叫做双曲线的实
2、轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线实虚轴的虚轴，它的长|B1B2|2b；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系难点正本疑点清源1双曲线中 a，b，c 的关系双曲线中有一个重要的RtOAB(如右图)，它的三边长分别是 a、b、c易见 c2a2b2，c1若记AOB，则 e acos 2双曲线的定义用代数式表示为|MF1|MF2|2a，其中2a|F1F2|，这里要注意两点：(1)距离之差的绝对值(2)2aa0，cb0)当|MF1|MF2|2a 时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当 2a|F1F2|时，轨迹是一直线上以 F1、F2为端点向外的两条射线；当
3、2a|F1F2|时，动点轨迹不存在3渐近线与离心率x2y2b221(a0，b0)的一条渐近线的斜率为 abab2a2c2a2a2e21可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小1已知点F1(4,0)和 F2(4,0)，一曲线上的动点P 到 F1，F2距离之差为 6，该曲线方程是_2 双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2 倍，则 m_3 已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线 C 的离心率为_x2y2x2y24(2011山东)已知双曲线221(a0，b0)和椭圆 1 有相同的焦点，且双ab169曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双
4、曲线的方程为_x2y25若双曲线221(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的ab离心率为()A 5B5C 2D2题型一双曲线的定义例 1已知定点 A(0,7)、B(0，7)、C(12,2)，以 C 为一个焦点作过 A、B 的椭圆，求另一焦点 F 的轨迹方程探究提高双曲线的定义理解到位是解题的关键应注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是双曲线的两支，还是双曲线的一支若是一支，是哪一支，以确保解答的正确性在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 的顶点 A(6，0)和 C(6,0)，若顶sin Asin Cx2y2点 B 在双曲线1 的左支上，则_2511sin B题
5、型二双曲线的标准方程例 2根据下列条件，求双曲线方程：x2y2(1)与双曲线 1 有共同的渐近线，且过点(3,2 3)；916x2y2(2)与双曲线 1 有公共焦点，且过点(3 2，2)164探究提高求双曲线的方程，关键是求 a、b，在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e)之间的关系，并注意方程思想的应用若已知双曲线的渐近线方程为axby0，可设双曲线方程为 a2x2b2y2(0)(1)若双曲线的渐近线方程为y3x，它的一个焦点是(10，0)，求双曲线的方程；4(2)已知双曲线的渐近线方程为 y x，并且焦点都在圆 x2y2100 上，求双曲线的3方程题型三双曲线的几何性质例 3中心在原点，
6、焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2 13，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为 37(1)求这两曲线方程；(2)若 P 为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值探究提高在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注c的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多由于e 是一个比值，故只需根a据条件得到关于 a、b、c 的一个关系式，利用b2c2a2消去 b，然后变形求e，并且需注意 e1x2y2如图，已知 F1、F2为双曲线221(a0，b0)ab的焦点，过 F2作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点P，且PF1F230，求：(
7、1)双曲线的离心率；(2)双曲线的渐近线方程题型四直线与双曲线的位置关系x2y2例 4过双曲线 1 的右焦点 F2，倾斜角为30的直线交双曲线于 A，B 两点，O36为坐标原点，F1为左焦点(1)求|AB|；(2)求AOB 的面积；(3)求证：|AF2|BF2|AF1|BF1|探究提高双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于 x(或 y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题 设直线与双曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为 k，则|AB|1k2|
8、x1x2|直线 l：ykx1 与双曲线 C：2x2y21 的右支交于不同的两点A、B(1)求实数 k 的取值范围；(2)是否存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F 若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由10忽视直线与双曲线相交的判断致误y22试题：(14 分)已知双曲线 x 1，过点 P(1,1)能否作一条直线 l，与双曲线交于A、B2两点，且点 P 是线段 AB 的中点学生解答展示审题视角(1)本题属探索性问题若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率 k，利用待定系数法求方程(2)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验规范解答解设点 A
9、(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x0，y0)，若直线 l 的斜率不存在，显然不符合题意设经过点 P 的直线 l 的方程为 y1k(x1)，2 分即 ykx1k3 分ykx1k，2由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20)7 分yx2 1，2x1x2k(1k)x0222kk(1k)由题意，得1，解得 k222k9 分当 k2 时，方程成为 2x24x30 162480，b0)的渐近线方程是 y x，221(a0，b0)的渐近abaaba线方程是 y xb4若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况5直线与双曲线交于一点时，不一定
10、相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点课时规范训练课时规范训练(时间：60 分钟)A 组专项基础训练题组一、选择题1双曲线中心在原点，且一个焦点为 F1(5，0)，点 P 位于该双曲线上，线段 PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是22xyA.y21Bx2 1442222xyxyC.1D.123322()y2PF22设F1、F2分别是双曲线 x 1 的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF190，则|PF1PF2|等于()A.10B2 10C.5D2 522xy13 若双曲线221(a0，b0
11、)的实轴长是焦距的，则该双曲线的渐近线方程是()ab23AyxBy 2x2Cy 3xDy2 2x4(2011课标全国)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C交于 A，B 两点，|AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为()A.2C2二、填空题5已知中心在原点的双曲线C，过点 P(2，3)且离心率为 2，则双曲线 C 的标准方程为_x2y26如图，点 P 是双曲线221 上除顶点外ab的任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c 为半焦距，PF1F2的内切圆与 F1F2切于点 M，则|F1M|F2M|_.x2y27已知双曲线221(a0，b0)的左
12、、右焦点分别为 F1、F2，过 F2的直线交双曲ab线右支于 A，B 两点若ABF1是以 B 为顶点的等腰三角形，且AF1F2，BF1F2的面积之比 SAF1F2SBF1F221，则双曲线的离心率为_三、解答题8已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为 2，且过点P(4，10)(1)求双曲线方程；(2)若点 M(3，m)在双曲线上，求证：MF1MF20；(3)求F1MF2的面积B.3D3 B 组专项能力提升题组一、选择题11 已知点 F1(2，0)、F2(2，0)，动点 P 满足|PF2|PF1|2，当点 P 的纵坐标是 时，2点 P 到坐标原点的距离是()63A.B.C.3
13、D222x2y22已知点F 是双曲线221(a0，b0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过Fab且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若ABE 是钝角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是A(1，)C(1,1 2)2()B(1,2)D(2，)x3若点 O 和点 F(2,0)分别为双曲线2y21(a0)的中心和左焦点，点 P 为双曲线a右支上的任意一点，则OP FP的取值范围为A32 3，)7，C.4二、填空题()B32 3，)7，D.4x2y24设双曲线 C：221(a0，b0)的右焦点为 F，O 为坐标原点若以 F 为圆心，abbFO 为半径的圆与双曲线 C 的渐近线
14、y x 交于点 A(不同于 O 点)，则OAF 的面ay25 设点 F1，F2是双曲线 x 1 的两个焦点，点 P 是双曲线上一点，若 3|PF1|4|PF2|，32积为_则PF1F2的面积为_x2y26已知双曲线221(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P 在双曲线的右支ab上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率 e 的最大值为_三、解答题x2y27设A，B 分别为双曲线221(a0，b0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4 3，ab焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；3(2)已知直线 yx2 与双曲线的右支交于M、N 两点，且在双曲线的右支上存在3点 D，使O
15、MONtOD，求 t 的值及点 D 的坐标x228已知椭圆 C1的方程为 y 1，双曲线 C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，4而 C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点(1)求双曲线 C2的方程；(2)若直线 l：ykx 2与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A 和 B，且OAOB2(其 中 O 为原点)，求 k 的取值范围答案答案要点梳理1双曲线焦点焦距(1)ac基础自测x2y211.1(x3)2.974226xy3.4.15.A243题型分类深度剖析例 1解设 F(x，y)为轨迹上的任意一点，A、B 两点在以 C、F 为焦点的椭圆上，|FA|CA|2a，|FB|CB|2a(其中 a 表
16、示椭圆的长半轴长)，|FA|CA|FB|CB|，|FA|FB|CB|CA|12292122(5)22，|FA|FB|20，2k故0，k 220.k 22222k220，1解得 k 的取值范围是2k 2.x x，2k(2)设 A、B 两点的坐标分别为(x，y)、(x，y)，则由式得2x x.k 21221221222k假设存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点 F(c,0)则由 FAFB 得：(x1c)(x2c)y1y20.即(x1c)(x2c)(kx11)(kx21)0.整理得(k21)x1x2(kc)(x1x2)c210.把式及 c6代入式化简得 5k22 6k60
17、.26 66 66 6解得 k或 k?(2，2)(舍去)，可知存在 k使得以线段555AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点课时规范训练A 组x2y2y2x2211B2.B3.C4.B5.1 或 16.b27.3955338(1)解e 2，可设双曲线方程为 x2y2.过点(4，10)，1610，即 6.双曲线方程为 x2y26.(2)证明方法一由(1)可知，双曲线中 ab 6，c2 3，F1(2 3，0)，F2(2 3，0)，mmkMF1，kMF2，32 332 3m2m2kMF1kMF2.3912点(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故 kMF1kMF21，MF1MF2，MF1MF20.
18、方法二MF1(32 3，m)，MF2(2 33，m)，MF1MF2(32 3)(32 3)m23m2.M 点在双曲线上，9m26，即 m230，MF1MF20.(3)解F1MF2的底|F1F2|4 3，由(2)知 m 3.F1MF2的高 h|m|3，1SF1MF2 4 3 36.2B 组51A2.D3.B4.ab5.3 156.3b7解(1)由题意知 a2 3，一条渐近线为 y x，即 bxay0，ax2y2b 3，双曲线的方程为 1.1232|bc|b a22 3，(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则 x1x2tx0，y1y2ty0，将直线方程代入双曲线方程得x216 3x840，则 x1x216 3，y1y212，4 3，xy3xy1231，002020 x04 3，y03，t4，点 D 的坐标为(4 3，3)x2y28解(1)设双曲线 C2的方程为221，ab则 a2413，c24，由 a2b2c2，得 b21，x22故 C2的方程为 y 1.3x22(2)将 ykx 2代入 y 1，3得(13k2)x26 2kx90.由直线 l 与双曲线 C2交于不同的两点，得1k2 且 k22，得 x1x2y1y22，3k273k293k212，即3k210，解得13k23，由得13k21.故 k 的取值范围为1，3333，1.