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1、 阶段综合练(3.1)1.“1m0,3m0,m13m,所以1m0)的()A.长轴长相等B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率相等【解析】选D.将椭圆x216+y29=k(k0)化为标准方程x216k+y29k=1(k0).易知椭圆x216+y29=1的长轴长是8,短轴长是6,焦距是27,离心率e=ca=74.而椭圆x216k+y29k=1(k0)的长轴长是8k,短轴长是6k,焦距是27k,离心率e=ca=74,所以两椭圆的离心率相等.3.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l
2、的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.0,32B.0,34C.32,1D.34,1【解析】选A.根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A,B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a=2(|AF|+|BF|)=8,所以a=2.又d=|304b|32+(4)245,所以1b2,所以e=ca=1b2a2=1b24.因为1b2,所以015,故圆D在C的内部;当PD取最小值45时,|PQ|的最小值为45-15=55,综上所述,选项B,C正确.6.(多选题)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且PF1F1F2,|PF1|=43,|PF2|=143.过点M(
3、-2,1)的直线交椭圆于A,B两点,且A,B关于点M对称,则下列结论正确的有()A.椭圆的方程为x29+y24=1B.椭圆的焦距为5C.椭圆上存在4个点Q,使得=0D.直线l的方程为8x-9y+25=0【解析】选ACD.对于A,由椭圆的定义知:2a=|PF1|+|PF2|=6,解得a=3.因为PF1F1F2,所以|F1F2|=|PF2|2|PF1|2=25=2c,解得c=5,所以b2=a2-c2=4,所以椭圆的方程为x29+y24=1,A正确;对于B,由|F1F2|=2c=25知焦距为25,B错误;对于C,由=0知F1QF2=90,所以Q在以线段F1F2为直径的圆上,由cb知:以线段F1F2为
4、直径的圆与椭圆有4个交点,即椭圆上存在4个点Q,使得=0,C正确;对于D,由题意知点M(-2,1)为弦AB的中点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x129+y124=1,x229+y224=1,两式相减得(x1x2)(x1+x2)9+(y1y2)(y1+y2)4=0.因为x1+x2=-4,y1+y2=2,则2(x1x2)9=y1y24,所以kAB=y1y2x1x2=89,所以直线l的方程为y-1=89(x+2),即8x-9y+25=0,D正确.7.若椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的2倍,则m的值为_,焦点坐标为_.【解析】因为椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长
5、轴长是短轴长的2倍,所以1m=2,所以m=14.所以a2=4,b2=1,c2=a2-b2=3,所以焦点坐标为(0,3).答案:14(0,3)8.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,A(-a,0),B(0,b)为椭圆的两个顶点,若F到AB的距离等于b7,则椭圆的离心率为_.【解析】依题意得,AB的方程为xa+yb=1,即:bx-ay+ab=0,设点F(-c,0)到直线AB的距离为d,所以d=|bc+ab|a2+b2=b7,所以5a2-14ac+8c2=0,所以8e2-14e+5=0,因为e(0,1),所以e=12或e=54(舍去).答案:129.设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x
6、轴上,离心率e=32,已知点P0,32到椭圆的最远距离是7,求椭圆的标准方程.【解析】依题意可设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则e2=c2a2=a2b2a2=1-b2a2=34,所以b2a2=14,即a=2b.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则d2=x2+y-322=a21-y2b2+y2-3y+94=-3y+122+4b2+3.若b0,从而解得b=7-3212,与bb0)的一个焦点,点M(3,12)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l与椭圆C交于不同的A,B两点,且kOA+kOB=-12(O为坐标原点),求直线l斜率的取值范围.【解析】(1)由题意可得c=3
7、,3a2+14b2=1,a2=b2+c2,解得a2=4,b2=1,所以椭圆方程为x24+y2=1;(2)设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx+m,x24+y2=1,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,由题意知=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=16(1+4k2-m2)0,所以x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m241+4k2,所以kOA+kOB=y1x1+y2x2=kx1+mx1+kx2+mx2=2k+m(1x1+1x2)=2k+mx1+x2x1x2=2k+m8km4m24=-2km21=-12,所以m2=1+4k,把
8、代入可得4k2-4k0,解得k1,又m2=1+4k0,解得k-14,故直线l的斜率的取值范围为-14,0)(1,+).11.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为8,且点M532,-12在C上.(1)求C的方程;(2)若直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OM平分,求AOB(O为坐标原点)面积的最大值.【解析】(1)由焦距为8,可知c=4,将点M532,-12代入椭圆C,可得754a2+14b2=1,a2b2=16,解得a2=20,b2=4,所以C的方程为x220+y24=1;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为(x0,y0),则x12+5y12=20,x22+5y22=20,两式相减化简可得kAB=-x05y0=3,设直线l方程为y=3x+m,联立直线和椭圆方程可得16x2+103mx+5m2-20=0,则=20(64-m2)0,即m264.|AB|=3+116=5(64m2)4,点O到直线AB的距离为d=|m|3+1=|m|2,SAOB=12|AB|d=5m2(64m2)1625,当且仅当m2=32时取等号.即AOB面积的最大值为25. - 8 -