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1、 阶段综合练(2.4-2.5)1.点P(a,10)与圆(x-1)2+(y-1)2=2的位置关系是()A.在圆内B.在圆上C.在圆外D.不确定【解析】选C.因为(a-1)2+(10-1)2=81+(a-1)22,所以点P在圆外.2.方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0表示的图形为()A.以(a,b)为圆心的圆B.以(-a,-b)为圆心的圆C.点(a,b)D.点(-a,-b)【解析】选D.原方程可化为(x+a)2+(y+b)2=0,所以x+a=0,y+b=0,即x=a,y=b.所以表示点(-a,-b).3.若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C的方程为()A.(x-
2、2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y+2)2=1D.(x+1)2+(y-2)2=1【解析】选A.由题意可知圆(x+2)2+(y-1)2=1的圆心坐标为(-2,1),半径为1,所以其关于原点对称的圆的圆心坐标为(2,-1),半径为1,所以所求圆C的方程为(x-2)2+(y+1)2=1.4.若x2+y2=8,则2x+y的最大值为()A.8B.4C.210D.5【解析】选C.设2x+y=t,则y=t-2x,当直线y=t-2x与圆x2+y2=8相切时,t取得最值,所以|t|522,解得-210t210,所以2x+y的最大值为210.5.已知圆M:x2+y2-
3、2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是22,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离【解析】选B.化简圆M:x2+(y-a)2=a2M(0,a),r1=aM到直线x+y=0的距离d=a2(a2)2+2=a2a=2M(0,2),r12,又N(1,1),r2=1|MN|=2|r1-r2|MN|0),故圆心在y=-x的图象上,A正确;圆C的方程为(x-a)2+(y+a)2=a2,把点M的坐标代入可得a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,则圆心坐标为(1,-1)或(5,-5),所以满足条件的圆C有且只有两个,故B错误;圆C的方程分别为(
4、x-1)2+(y+1)2=1,(x-5)2+(y+5)2=25,将点(2,-1)代入可知都满足,故C正确;它们的圆心距为(51)2+(5+1)2=42,D正确.8.(多选题)圆O1:(x-1)2+y2=1与圆O2:(x+1)2+(y-2)2=5的交点为A,B,则有()A.线段AB所在直线的方程为x-y+1=0B.线段AB的垂直平分线方程为x+y-1=0C.线段AB的长为22D.P为圆O1上一动点,则P到直线AB距离的最大值为22+1【解析】选BD.两圆的方程相减得x-y=0,故A错误;两圆的圆心分别是O1(1,0),O2(-1,2),故线段AB的垂直平分线方程为x+y-1=0,故B正确;O1到
5、直线x-y=0的距离d=|10|1+1=22,设AB=l,圆O1的半径为1,所以1=12+l24,故l=2,故C错误;O1到AB的距离d=22,所以点P到直线AB距离的最大值为22+1,故D正确.9.过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P,Q,则线段PQ的长为_.【解析】圆的方程化为标准方程为(x-3)2+(y-4)2=5,示意图如图所示.则圆心为O(3,4),r=5.切线长|OP|=|OO|2|OP|2=25.所以|PQ|=2|OP|OP|OO|=22555=4.答案:410.已知圆C:(x-2)2+(y+m-4)2=1,当m变化时,圆C上的点到原点的最短距离
6、是_.【解析】由题意可得,圆C的圆心坐标为(2,4-m),半径为1,圆C上的点到原点的最短距离是圆心到原点的距离减去半径1,即求d=22+(4m)2-1的最小值,当m=4时,d最小,dmin=1.答案:111.已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆.(1)求实数m的取值范围;(2)求该圆的半径r的取值范围.【解析】(1)要使方程表示圆,则4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)0,即4m2+24m+36+4-32m2+64m4-64m4-360,整理得7m2-6m-10,解得-17m1.所以m的取值范围为m|-17m1.(2)r=124
7、(m+3)2+4(14m2)24(16m4+9)=7m2+6m+1=7(m37)2+167.所以0r477.所以r的取值范围为r|0r477.12.设圆的方程为x2+y2=4,过点M(0,1)的直线l交圆于点A,B,O是坐标原点,点P为AB的中点,当l绕点M旋转时,求动点P的轨迹方程.【解析】设点P的坐标为(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).因为A,B在圆上,所以x12+y12=4,x22+y22=4,两式相减得x12-x22+y12-y22=0,所以(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0.当x1x2时,有x1+x2+(y1+y2)y1y2x1x2=0,并且
8、x=x1+x22,y=y1+y22,y1x=y1y2x1x2,将代入并整理得x2+(y-12)2=14.当x1=x2时,点A,B的坐标为(0,2),(0,-2),这时点P的坐标为(0,0)也满足.所以点P的轨迹方程为x2+(y-12)2=14.13.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=1.(1)若过点C1(-1,0)的直线l被圆C2截得的弦长为65,求直线l的方程;(2)设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长.证明:动圆圆心C在一条定直线上运动;动圆C是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.【解析】(1)设直
9、线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0,圆心C2:(3,4)到直线l的距离d=|3k4+k|k2+1=|4k4|k2+1,又|4k4|k2+12+352=12,解得k=43或34.直线l的方程为y=43(x+1)或y=34(x+1).(2)设动圆C的圆心为C(x,y),半径为r,若动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长,则r2=r12+CC12,r2=r22+CC22,所以CC1=CC2,即(x+1)2+y2=(x3)2+(y4)2,化简得x+y-3=0.动圆圆心C在直线x+y-3=0上运动.动圆C过定点,设C(m,3-m),动圆C的半径r=r12+CC12=1+(m+1)2+(3m)2,动圆C的方程为(x-m)2+(y-3+m)2=1+(m+1)2+(3-m)2,整理得x2+y2-6y-2-2m(x-y+1)=0,由xy+1=0x2+y26y2=0,得x=1+322y=2+322或x=1322y=2322.所以动圆C过定点,坐标为(1+322,2+322)或(1-322,2-322). - 7 -