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1、 第8节正弦定理和余弦定理及其应用考试要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识诊断基础夯实【知识梳理】1.正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理公式a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C2R常见变形cos A；cos Bcos C(1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin
2、 A2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aabab解的个数一解两解一解一解无解3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示a边上的高).(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A.(3)Sr(abc)(r为内切圆半径).常用结论1.三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(3)sincos；(4)cossin.2.在ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，ABabsin Asin Bcos Asin B，则AB.()(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可
3、求其他元素.()(4)当b2c2a20时，ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，ABC为直角三角形；当b2c2a20时，ABC不一定为锐角三角形.2.(必修二P48T2(2)改编)在ABC中，已知b2，A45，C75，则边c_.答案解析B180457560，由正弦定理，得，得c.3.在ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC_.答案解析由余弦定理得cosBAC，又BAC(0，)，故BAC.4.在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是方程x23x20的两个实数根，且ABC的面积为，则C的大小是_.答案45或135解析根据题意，得ab2，则2sin C，解得sin C，则C45
4、或135.第一课时正弦定理和余弦定理考点一利用正、余弦定理解三角形例1 (1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a1，b，A30，则B等于()A.30 B.45C.30或150 D.45或135答案D解析根据正弦定理，得sin B.由于b1a，所以B45或B135.(2)(2021全国甲卷)在ABC中，已知B120，AC，AB2，则BC()A.1 B. C. D.3答案D解析法一由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B，得BC22BC150，解得BC3或BC5(舍去).法二由正弦定理，得sin C，从而cos C(C是锐角)，所以sin A sin (BC)sin(
5、BC)sin Bcos Ccos Bsin C.又，所以BC3.(3)(2023广州模拟)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos Bcos C(tan Btan C)cos Btan Bcos Ctan C，则cos A的最小值是_.答案解析2cos Bcos C(tan Btan C)2cos Bcos C2sin Bcos C2sin Ccos B2sin(BC)2sin A，又cos Btan Bcos Ctan Csin Bsin C，所以sin Bsin C2sin A，由正弦定理得bc2a，由余弦定理，得cos A，当且仅当bca时取等号，故cos A的
6、最小值为.感悟提升1.利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).2.利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.训练1 (1)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a80，b100，A45，则符合条件的三角形有()A.一个 B.两个C.一个或两个 D.0个答案B解析由题意知，a80，b100，A45，由正弦定理，得，所
7、以sin B.因为aA，故B有两解，即符合条件的三角形有两个.(2)在ABC中，B60，AB2，M是BC的中点，AM2，则AC_，cosMAC_.答案2解析由题意知在ABM中，AB2，B60，AM2，由余弦定理得AM2AB2BM22ABBMcos B，即124BM24BM，解得BM4或BM2(舍).M为BC的中点，BMMC4，BC8，在ABC中，由余弦定理知AC2AB2BC22ABBCcos B，AC246422852，AC2.在AMC中，由余弦定理可得cos MAC.考点二判断三角形的形状例2 (1)在ABC中，sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A.直角三角
8、形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形答案A解析因为sin2 ，所以，即cos B.法一由余弦定理得，即a2c2b22a2，所以a2b2c2.所以ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.法二由正弦定理得cos B，又sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，所以cos Bsin Csin Bcos Ccos Bsin C，即sin Bcos C0，又sin B0，所以cos C0，又角C为三角形的内角，所以C，所以ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.(2)在ABC中，(bca)(bca)3bc，则ABC的形状为_.答案等边三角形解析
9、因为，所以，所以bc.又(bca)(bca)3bc，所以b2c2a2bc，所以cos A.因为A(0，)，所以A，所以ABC是等边三角形.感悟提升判断三角形形状的两种思路(1)化为边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)化为角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用ABC这个结论.训练2 (1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos A，则ABC为 ()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形答案A解析由cos A，得cos A.又B(0，)，所以sin B0，所以sin Csin Bcos
10、A，即sin(AB)sin Bcos A，所以sin Acos B0.因为sin A0，所以cos B0，即B为钝角，所以ABC为钝角三角形.(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为_.答案直角三角形解析由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2A，即sin Asin2A.A(0，)，sin A0，sin A1，即A，ABC为直角三角形.考点三与三角形面积(周长)有关的计算例3 (2022新高考卷)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角
11、形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1S2S3，sin B.(1)求ABC的面积；(2)若sin Asin C，求b.解(1)由S1S2S3，得(a2b2c2)，即a2b2c22，又a2b2c22accos B，所以accos B1.由sin B，得cos B或cos B(舍去)，所以ac，则ABC的面积Sacsin B.(2)由sin Asin C，ac及正弦定理知，即b2，得b.感悟提升三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.训练3 (
12、2022北京卷)在ABC中，sin 2Csin C.(1)求C；(2)若b6，且ABC的面积为6，求ABC的周长.解(1)因为sin 2Csin C，所以2sin Ccos Csin C.因为C(0，)，所以sin C0，所以cos C，C.(2)因为ABC的面积Sabsin Ca66，所以a4.由余弦定理可得c2a2b22abcos C48367212，所以c2，所以ABC的周长为abc4626(1).设ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有abcos Cccos B；bccos Aacos C；cacos Bbcos A.注：以“abcos Cccos B”为例，b，
13、c在a上的射影分别为bcos C，ccos B，故名射影定理.证明如图，在ABC中，ADBC，则bcos CCD，ccos BBD，故bcos Cccos BCDBDBCa，即abcos Cccos B，同理可证bccos Aacos C，cacos Bbcos A.例 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC为锐角三角形，且满足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，则下列等式成立的是()A.a2b B.b2aC.A2B D.B2A答案A解析法一因为sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，所以sin B2sin
14、Bcos Csin Acos Csin(AC)，所以sin B2sin Bcos Csin Acos Csin B，即cos C(2sin Bsin A)0，所以cos C0或2sin Bsin A，即C90或2ba，又ABC为锐角三角形，所以0C90，故2ba.法二由正弦和余弦定理得b2ac，所以2b2a23b2c2，即(a2b2c2)a2b2c2，即(a2b2c2)0，所以a2b2c2或2ba，又ABC为锐角三角形，所以a2b2c2，故2ba.法三由正弦定理及sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，得b2bcos C2acos Cccos Aacos C(a
15、cos Cccos A)acos Cb，即2bcos Cacos C，又因为ABC为锐角三角形，所以cos C0，则2ba.训练 (2023四川名校联考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2acos Cb2ccos A，ca，则A()A. B. C. D.答案A解析法一已知ca，由正弦定理得sin Csin A，所以sin2C3sin2A，所以cos2C1sin2C13sin2A.由2acos Cb2ccos A，得2sin Acos Csin B2sin Ccos A，2sin Acos Csin(AC)2sin Ccos A，3sin Acos Csin Ccos A，
16、9sin2Acos2Csin2Ccos2A，9sin2A(13sin2A)3sin2A(1sin2A)，由sin A0，解得sin A.又0A，所以A.法二由射影定理，得bacos Cccos A代入2acos Cb2ccos A，得3acos Cccos A，又ca，所以cos Acos C，由ca及正弦定理得sin Asin C，22，可得cos2A3sin2A1，即sin A，又由得A，故A.分层精练巩固提升【A级基础巩固】1.已知在ABC中，A，B，a1，则b等于()A.2 B.1 C. D.答案D解析由正弦定理，得，所以，所以b.2.(2023渭南质检)在ABC中，若AB7，AC5，
17、ACB120，则BC()A.2 B.3 C.6 D.答案B解析在ABC中，由余弦定理AB2AC2BC22ACBCcosACB，得4925BC225BC，即BC25BC240，解得BC3或BC8(舍去).3.(2022安徽江南十校一模)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(2bc)cos Aacos C，则A的大小为()A. B. C. D.答案A解析由(2bc)cos Aacos C得2bcos A(acos Cccos A)，由正弦定理得2sin Bcos A(sin Acos Csin Ccos A)sin(AC)sin B，又sin B0，得cos A，又A(0，)，所以
18、A.4.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cacos B(2ab)cos A，则ABC的形状为()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形答案D解析因为cacos B(2ab)cos A，C(AB)，所以由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，所以sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，所以cos A(sin Bsin A)0，所以cos A0或sin Bsin A，所以A或BA或BA(舍去)，所以ABC为等腰或直角三角形.5.(202
19、3扬州检测)已知ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b1，C，ABC的面积S2，则ABC的外接圆的直径为()A.4 B.5 C.5 D.6答案C解析由题意知Sabsin 2，解得a4.由余弦定理得c2a2b22abcos (4)21241，解得c5，所以ABC的外接圆的直径为2R5.6.(2023河南名校联考)设a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边.已知a5bsin B，A，则cos B()A. B.C. D.答案C解析因为a5bsin B，A，所以由正弦定理得5sin2Bsin A，则sin B.又因为B(0，)，所以sin B.因为sin Bsin A，所以BA，所
20、以B为锐角，故cos B.7.(多选)(2023张家口质检)下列命题中正确的是()A.在ABC中，AB，则sin Asin BB.在锐角ABC中，sin Acos B恒成立C.在ABC中，若acos Abcos B，则ABC必是等腰直角三角形D.在ABC中，若B60，b2ac，则ABC必是等边三角形答案ABD解析对于A，由AB，可得ab，利用正弦定理可得sin Asin B，正确；对于B，在锐角ABC中，A，B，AB，AB0，sin Asincos B，sin Acos B恒成立，正确；对于C，由acos Abcos B，利用正弦定理可得sin Acos Asin Bcos B，sin 2As
21、in 2B，2A2B或2A2B，AB或AB，ABC是等腰或直角三角形，错误；对于D，由于B60，b2ac，由余弦定理可得b2aca2c2ac，可得(ac)20，解得ac，可得ACB60，正确.8.(2023潍坊质检)已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b3，ac2，A，则ABC的面积为_.答案解析由余弦定理得a2b2c22bccos A，b3，ac2，A，(c2)232c223c，解得c5，则ABC的面积为Sbcsin A35.9.已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b2，c3，A2B，则a_.答案解析因为A2B，所以sin Asin 2B，故sin A2sin Bcos
22、 B，由正弦定理得a2bcos B，又由余弦定理得a2b，代入b2，c3，可得a210，故a.10.(2023西安质检)在锐角ABC中，若cos B，b4，SABC4，则ABC的周长为_.答案44解析由cos B，得sin B，由三角形面积公式可得acsin Bac4，则ac12，由b2a2c22accos B，可得16a2c2212，则a2c224，联立可得ac2，所以ABC的周长为44.11.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b,c,且acos Bbcos A2ccos B.(1)求角B的大小；(2)若A，角B的平分线交AC于点D，BD，求CD的长.解(1)因为acos Bbcos
23、 A2ccos B，由正弦定理可得sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos B，即sin(AB)2sin Ccos B，即sin C2sin Ccos B.因为0C，所以sin C0，故cos B，因为0B，所以B.(2)由(1)可知ABDCBD，又A，所以ADB，CDB，可得C，所以BCBD.在BCD中，由余弦定理可得CD2662126(3)2，解得CD3.12.(2023武汉模拟)在a，AC边上的高为，sin B这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答.问题：记ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A60，cb1，_.(1)求c的值；(2)设AD是ABC
24、的角平分线，求AD的长.解选条件：(1)因为a，cb1，A60，由余弦定理，得cos A，解得b2或b3(舍去)，所以cb13.(2)因为AD是ABC的角平分线，所以BAD30，cos B，sin B，则sinADBsin(B30)sin Bcos 30cos Bsin 30.由正弦定理，得，所以AD.选条件：(1)AC边上的高为，由三角形的面积公式，得b(b1)sin Ab，解得b2，c3.(2)因为AC边上的高为，A60，所以a.因为AD是ABC的角平分线，所以BAD30，cos B，sin B，则sinADBsin(B30)sin Bcos 30cos Bsin 30.由正弦定理，得，所
25、以AD.选条件：(1)sin B，由题意可知BC，所以cos B.因为ABC，所以sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.由正弦定理，得，则，解得b2，c3.(2)因为AD是ABC的角平分线，所以BAD30，则sinADBsin(B30)sin Bcos 30cos Bsin 30.由正弦定理，得，所以AD.【B级能力提升】13.(2023浙江强基联盟统测)在ABC中，D为边BC上一点，AD6，BD3，ABC45，则sinADC的值为()A. B. C. D.答案C解析如图，在ABD中，由正弦定理得，即，故sinBAD.又BDAD，则BADABC，故BAD只能是锐角，故cosBAD.所以sinADCsin(BADABD)sin(BAD45).14.(2023昆明诊断)在ABC中，且b2c2bca2，bca2，则角C的大小是()A.或 B. C. D.答案A解析由b2c2bca2，得b2c2a2bc，则cos A，因为0A，所以A，由bca2及正弦定理，得sin Bsin Csin2A，即4sin(CA)sin C，即4sin(CA)sin C4sinsin C，整理得cos 2Csin 2C，则tan 2C，又02Cba，若ABC为钝角三角形，则C为钝角，故由余弦定理可得cos C0，故解得0aa2，可得a1，故1a3.又a为正整数，故a2.