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1、 第六章 6.4.3余弦定理、正弦定理第一课时余弦定理1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.课标要求素养要求借借助助于于向向量量的的运运算算，探探索索三三角角形形边边长长与与角角度度的的关关系系，体体会会逻逻辑辑推推理理及及数学运算素养数学运算素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.余弦定理的表示及其推论余弦定理的表示及其推论文字语言：三角形中任何一边的_，等于其他两边_减去这两边与它们夹角的余弦的_.符号语言：a2b2c
2、22bccos A，b2_，c2_.平方平方平方的和平方的和积的两倍积的两倍a2c22accos Ba2b22abcos C2.解三角形一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的_.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做_.元素元素解三角形解三角形1.思考辨析，判断正误(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形.()(2)在ABC中，若a2b2c2，则ABC一定为钝角三角形.()(3)在ABC中，已知两边及其夹角时，ABC不唯一.()提提示示(3)当当ABC中中已已知知两两边边及及其其夹夹角角时时可可利利用用余余弦弦定定理理求求得得第第三三
3、边边长长且且唯唯一一，因此因此ABC唯一确定唯一确定.B解析解析设所求的边为设所求的边为c，由题意得，由题意得4解析解析由余弦定理得由余弦定理得b2a2c22accos B，整理得整理得a22a80，解得解得a2(舍去舍去)或或a4.150又又0B180，B150.课堂互动题型剖析2题型一已知两边及一角解三角形题型一已知两边及一角解三角形解解由余弦定理得由余弦定理得b2c2a22cacos B，即，即c29c180，解得解得c3或或c6.0A180，A120，故故C1801203030；0A180，A60，故故C180603090.综上所述，综上所述，A60，C90，c6或或A120，C30，
4、c3.1.已知两边及其中一边的对角解三角形的方法已知两边及其中一边的对角解三角形的方法用用余余弦弦定定理理列列出出关关于于第第三三边边的的等等量量关关系系建建立立方方程程，运运用用解解方方程程的的方方法法求求出出此边长此边长.2.已知两边及其夹角解三角形的方法已知两边及其夹角解三角形的方法首首先先用用余余弦弦定定理理求求出出第第三三边边，再再用用余余弦弦定定理理和和三三角角形形内内角角和和定定理理求求出出其其他他两角两角.思维升华【训训练练1】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a5，b3，cos C是方程5x27x60的根，求c.解解5x27x60可化为：可化为：(5x3)(x
5、2)0.又又cos C(1，1)，且，且cos C是方程是方程5x27x60的根，的根，c4.题型二已知三边关系解三角形题型二已知三边关系解三角形解解由余弦定理及已知得，由余弦定理及已知得，思维升华题型三用余弦定理进行边角互化题型三用余弦定理进行边角互化由余弦定理得由余弦定理得b2a2c22accos B(ac)22ac2accos B角度2判断三角形形状【例例4】已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(abc)(bca)3bc.(1)求角A的大小；解解(abc)(bca)3bc，a2b2c2bc，而而a2b2c22bccos A，(2)若sin A2sin Bcos C，试
6、判断ABC的形状.解解因为因为sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，且且sin A2sin Bcos C，所以所以sin Bcos Ccos Bsin C，则，则sin(BC)0.因为因为180BCbc，C为最小角，由余弦定理得为最小角，由余弦定理得解析解析由余弦定理的推论，可得由余弦定理的推论，可得三、解答题三、解答题9.在ABC中，AC2B，ac8，ac15，求b.解解在在ABC中，由中，由AC2B，ABC180，知知B60，又，又ac8，ac15，故由余弦定理，得故由余弦定理，得b2a2c22accos Ba2c2ac(ac)23ac8231519.所以所以A
7、B2b2a22abcos 120(ab)2ab10，A又又BC1，AC5，AB2BC2AC22BCACcos C120设最大角为设最大角为，又又0180，120.又又bc2，所以，所以b7，c5.14.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ab4，ac2b，且最大角为120，则此三角形的最大边长为_.14解析解析已知已知ab4，则，则ab且且ab4.又又ac2b，则，则b4c2b，所以，所以bc4，则，则bc.从而知从而知abc，所以，所以a为最大边，故为最大边，故A120，ba4，c2baa8.由余弦定理，得由余弦定理，得a2b2c22bccos Ab2c2bc(a4)2(a8)2(a4)(a8)，即，即a218a560，解得，解得a4或或a14.又又ba40，所以，所以a14，即此三角形的最大边长为即此三角形的最大边长为14.