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1、 考点36 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系1.(2022北京高考T3)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=()A.12 B.-12 C.1 D.-1【命题意图】考查直线与圆的位置关系,基础题.【解析】选A.因为直线是圆的对称轴,所以直线过圆心.又因为圆心坐标为(a,0),所以由2a+0-1=0,解得a=12.2.(2022新高考卷T14)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程.【命题意图】本题考查圆的切线方程的求法,考查圆与圆位置关系的应用,考查运算求解能力.【解析】圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径为1,圆
2、(x-3)2+(y-4)2=16的圆心O1为(3,4),半径为4,两圆圆心距为32+42=5,等于两圆半径之和,故两圆外切,如图,当切线为l时,因为kOO1=43,所以kl=-34,设方程为y=-34x+t(t0),O到l的距离d=|t|1+916=1,解得t=54,所以l的方程为y=-34x+54,当切线为m时,设直线方程为kx+y+p=0,其中p0,k0,由题意|p|1+k2=1|3k+4+p|1+k2=4,解得k=724p=2524,y=724x-2524,当切线为n时,易知切线方程为x=-1.答案:y=-34x+54或y=724x-2524或x=-13.(2022新高考卷)设点A(-2
3、,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是.【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系的判断与应用,考查转化思想以及计算能力.【解析】A(-2,3)关于y=a对称的点的坐标为A(-2,2a-3),B(0,a)在直线y=a上,设AB所在直线即为直线l,所以直线l为y=a-3-2x+a,即(a-3)x+2y-2a=0;圆C:(x+3)2+(y+2)2=1,圆心C(-3,-2),半径r=1,依题意圆心到直线l的距离d=|-3(a-3)-4-2a|(a-3)2+221,即(5-5a)2(a-3)2+22,解得13a32,即a13,32.
4、答案:13,324.(2022全国甲卷文科)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在M上,则M的方程为.【命题意图】本题主要考查求圆的标准方程的方法,关键是确定圆心和半径【解析】因为点M在直线2x+y-1=0上,所以设点M为(a,1-2a),又因为点(3,0)和(0,1)均在M上,所以点M到两点的距离相等且为半径R,所以(a-3)2+(1-2a)2=a2+(-2a)2=R,a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,解得a=1,所以M(1,-1),R=5,M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.答案:(x-1)2+(y+1)2=55.(2022全国乙卷文科T15)(与理科T
5、14相同)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为.【命题意图】考查圆的一般方程,待定系数法.【解析】依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,若过(0,0),(-1,1),(4,0),则F=016+4D+F=01+1D+E+F=0,解得F=0D=4E=6,所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13;若过(0,0),(4,0),(4,2),则F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0,解得F=0D=4E=2,所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5;若过(0,0),(-1,1),(4,2),则F=01+1D+E+F=016+4+4D+2E+F=0,解得F=0D=83E=143,所以圆的方程为x2+y2-83x-143y=0,即(x-43)2+(y-73)2=659;若过(-1,1),(4,0),(4,2),则1+1D+E+F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0,解得F=165D=165E=2,所以圆的方程为x2+y2-165x-2y-165=0,即(x-85)2+(y-1)2=16925.答案:(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或(x-43)2+(y-73)2=659或(x-85)2+(y-1)2=16925