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1、 第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系例1 已知直线和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长分析：思路1：将判断直线l与圆C的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用勾股定理求得弦长解法1：联立直线l与圆C的方程，得消去y，得，解得，所以，直线l与圆C相交，有两个公共点把，分别代入方程，得，所以，直线l与圆C的两个交点是，因此解法2：
2、圆C的方程可化为，因此圆心C的坐标为，半径为，圆心到直线l的距离所以，直线l与圆C相交，有两个公共点如图2.5-1，由垂径定理，得 图2.5-1例2 过点作圆的切线l，求切线l的方程分析：如图2.5-2，容易知道，点位于圆外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切我们设切线方程为，k为斜率由直线与圆相切可求出k的值 图2.5-2解法1：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为，即由圆心到切线l的距离等于圆的半径1，得， 解得或因此，所求切线l的方程为，或解法2：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为因为直线l与圆相切，所以方程组只有一组解消元，得 因为方程只有一个解，所以，解得或所以，所求切线l的方程为
3、，或 练习1. 判断下列各组直线l与圆C的位置关系：（1）， 圆；（2）， 圆；（3）， 圆【答案】（1）直线与圆相交；（2）直线与圆相切；（3）直线与圆相离；【解析】【分析】计算圆心到直线的距离，与半径比较大小，即可判断；【详解】解：（1）圆，圆心坐标为，半径；圆心到直线的距离，故直线与圆相交；（2）圆，即圆，圆心，半径，圆心到直线的距离，故直线与圆相切；（3）圆，即圆，圆心，半径，圆心到直线的距离，故直线与圆相离.2. 已知直线与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程【答案】【解析】【分析】依题意，利用直线与圆相切的几何特征，圆心到直线的距离等于半径，列出方程求半径，即可得到圆的方程.【详解】
4、圆心在原点即圆心为 ，因为直线与圆C相切，故圆心到直线的距离等于半径，则 ，所以圆的方程为 .3. 判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长【答案】相交，【解析】【分析】根据题意，求圆心到直线的距离，故位置关系是相交，再根据几何法求解即可.【详解】解：由圆的方程得圆心为，半径为所以圆心到直线的距离为：，所以与圆相交，所以直线被圆截得的弦长为.例3 图2.5-3是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图圆拱跨度：，拱高，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到0.01m） 图2.5-3 图2.5-4分析：建立如图2.5-4所示直角坐标系，要得到支柱的高度，只需求出点的纵坐标解：建
5、立如图2.5-4所示的直角坐标系，使线段所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上，由题意，点P，B的坐标分别为，设圆心坐标是，圆的半径是r，那么圆的方程是下面确定b和r的值因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标，都满足方程于是，得到方程组解得，所以，圆的方程是把点的横坐标代入圆的方程，得，即（的纵坐标，平方根取正值）所以（m）答：支柱的高度约为3.86m例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？分析：先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离如图2.5-5
6、，根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险 图2.5-5解：以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图2.5-5所示的直角坐标系为了运算的简便，我们取为单位长度，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为；轮船航线所在直线l的方程为，即联立直线l与圆O的方程，得消去y，得由，可知方程组无解所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险 练习4. 赵州桥的跨度是m，圆拱高约为m求这座圆拱桥的拱圆的方程【答案】【解析】【分析】根据
7、题意以拱高所在直线为，如图建立平面直角坐标系，再求圆的方程.【详解】解：根据题意，以拱高所在直线为，如图建立平面直角坐标系，根据题意得：，此时圆心在轴上，圆心为，半径为，则，所以在中，即，解得：，所以设所求圆的方程为，即拱圆的方程为：5. 某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m，现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？【答案】该船可以从桥下通过【解析】【分析】建立适当平面直角坐标系，如图所示，得出各点的坐标，设出圆的标准方程，将坐标代入确定出这座圆拱桥的拱圆方程，把D横坐标代入求出纵坐标，与3比较即可作出判断.【详解】建立如图所示的坐标系.依题意，有A(10,0)，B(10,
8、0)，P(0,4)，D(5,0)，E(5,0).设所求圆的方程是，于是有解此方程组，得a0，b10.5，r14.5，所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2(y10.5)214.52(0y4).把点D的横坐标x5代入上式，得y3.1.由于船在水面以上高3 m，33.1，所以该船可以从桥下通过.6. 在一个平面上，机器人从与点的距离为9的地方绕点C顺时针而行，在行进过程中保持与点C的距离不变它在行进过程中到过点与的直线的最近距离和最远距离分别是多少？【答案】最近距离和最远距离分别是，.【解析】【分析】由题意可得机器人的运行轨迹为，再求出直线的方程，求出圆心到直线的距离，即可求出答案【详解】机器人到与点距
9、离为9的地方绕点顺时针而行，在行进过程中保持与点的距离不变，机器人的运行轨迹为，与，直线的方程为，即为，则圆心到直线的距离为，最近距离和最远距离分别是，2.5.2圆与圆的位置关系例5 已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系分析：思路1：圆与圆的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定；思路2：借助图形，可以依据连心线的长与两半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系，判断两圆的位置关系解法1：将圆与圆的方程联立，得到方程组，得， 由，得把上式代入，并整理，得 方程的根的判别式，所以，方程有两个不相等的实数根，把，分别代入方程，得到，因此圆与圆有两个
10、公共点，这两个圆相交解法2：把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径圆与圆的连心线的长为圆与圆的两半径之和，两半径长之差因为，即，所以圆与圆相交（图2.5-6），它们有两个公共点A，B 图25-6例6 已知圆O的直径，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系解：如图2.5-7，以线段的中点O为原点，所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平
11、面直角坐标系由，得，设点M的坐标为，得，化简，得，即所以点M轨迹是以为圆心，半径为的一个圆（图2.5-7）因为两圆的圆心距为，两圆的半径分别为，又，所以点M的轨迹与圆O相交 图2.5-7练习7. 已知圆，圆，判断圆与圆的位置关系【答案】外切【解析】【分析】将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标与半径，计算出圆心距，即可判断；【详解】解：圆，圆心坐标为，半径；圆，即圆，圆心坐标为，半径所以，所以两圆相外切；8. 已知圆，圆，证明圆与圆相交，并求圆与圆的公共弦所在直线的方程【答案】证明见解析，公共弦所在直线的方程为.【解析】【分析】依题意求得圆和圆的圆心和半径，进而根据圆心距和两圆半径的关系可证得结果
12、；将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程.【详解】圆的标准方程为，所以圆心为，半径；圆的标准方程为，所以圆心为，半径.两圆圆心距，所以，圆和圆相交.将圆和圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为.习题2.5复习巩固9. 判断直线与圆的位置关系如果有公共点，求出公共点的坐标【答案】直线与圆相切；【解析】【分析】用圆心到直线的距离与半径比较得到位置关系,再联解确定公共点坐标得解【详解】圆心坐标为 ，则圆心到到直线的距离为 所以直线与圆相切，联解得所以公共点坐标为10. 求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形：（1）圆心为，且与直线相切；（2）圆心在直线上，半径为2，且与直线相切；（3）半径
13、为，且与直线相切于点【答案】（1）；（2） 或；（3） 或 .【解析】【分析】（1）根据点到直线的距离求得半径,进而得答案;（2）设圆心坐标为，再根据题意得，解得或，进而求得答案；（3）设圆心坐标为,则，解方程得或，进而求得答案.【详解】解：（1）因为圆与直线相切，所以点到直线的距离即为圆的半径，所以，所以圆的方程为：，图像如图：（2）因为圆心在直线上，半径为2，所以设圆心坐标为，又因为所求圆与直线相切，所以，解得或，所以所求圆的方程为 或，图像如图：（3）半径为，且与直线 相切于点，所以设圆心坐标为,则，解得或，所以所求圆的方程为： 或 ，图像如下：11. 求直线被圆截得的弦的长【答案】【解
14、析】【分析】将一般方程化为标准方程得圆心与半径，再根据几何法求弦长即可.【详解】解：将圆的方程化为标准式，可得，所以圆心坐标为，半径为，所以利用点到直线的距离可以求得弦心距为，所以根据几何法得弦长为所以弦的长为12. 求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为的圆的方程【答案】或【解析】【分析】设圆的一般方程是，得出圆心坐标和半径，利用直线与轴相切，令后的二次方程判别式等于0得的一一个等式，求出圆心到直线的距离，用勾股定理得弦长，得的第二个等式，再由圆心在已知直线上第的第三个等式，三式联立解得得圆方程【详解】设所求的圆的方程是，则圆心为，半径为. 令，得，由圆与轴相切，得，即又圆心到直线的
15、距离为.由已知，得，即又圆心在直线上，则联立，解得或故所求圆的方程是或.13. 求与圆关于直线对称的圆的方程【答案】【解析】【分析】先求出圆的圆心和半径，利用对称求出对称圆的圆心，即可写出对称圆的方程.【详解】圆可化为：，所以其圆心，半径.设对称的圆的圆心，则有：，解得：，所以对称的圆的方程为：.14. 正方形ABCD的边长为a，在边BC上取线段，在边DC的延长线上取试证明：直线AE与BF的交点M位于正方形ABCD的外接圆上【答案】证明见解析【解析】【分析】建立如图所示平面直角坐标系，表示出点的坐标，求出直线、的方程，即可求出交点的坐标，再利用两点的距离公式计算可得；【详解】解：如图建立平面直
16、角坐标系，则，所以，则直线方程为，直线的方程为则解得，即，所以，即，所以点在圆上；15. 求经过点M（2，2）以及圆x2+y26x=0与圆x2+y2=4交点的圆的方程【答案】x2+y23x2=0【解析】【详解】试题分析：先确定过两圆交点的圆系方程，再将M的坐标代入，即可求得所求圆的方程解：设过圆x2+y26x=0与圆x2+y2=4交点的圆的方程为：x2+y26x+（x2+y24）=0把点M的坐标（2，2）代入式得=1，把=1代入并化简得x2+y23x2=0，所求圆的方程为：x2+y23x2=0考点：圆系方程综合运用16. 求圆心在直线上，并且经过圆与圆的交点的圆的方程【答案】【解析】【分析】设
17、两圆交点系方程为，求得圆心坐标代入直线求得圆的方程.【详解】设经过两圆交点的圆的方程为，即，圆心坐标为 ，将其代入直线解得 所以圆的方程为故所求圆方程为：17. 求圆与圆的公共弦的长【答案】【解析】【分析】首先两圆方程作差得到公共弦方程，再利用垂径定理、勾股定理求出公共弦长；【详解】解：圆与圆，两式相减得，即公共弦方程为，圆的圆心坐标为，半径，圆心到公共弦的距离，故公共弦18. 求经过点M（3，1）且与圆C：x2+y2+2x6y+5=0相切于点N（1，2）的圆的方程【答案】（x）2+（y）2=【解析】【分析】先利用待定系数法假设圆的标准方程：（xa）2+（yb）2=r2，求出已知圆的圆心坐标与
18、半径，再根据条件圆C过点M（3，1）且与圆x2+y2+2x6y+5=0相切于点N（1，2），列出方程组可求相应参数，从而可求方程【详解】解：设所求圆方程：（xa）2+（yb）2=r2已知圆的圆心：（1，3），半径=，由题意可得：（3a）2+（1b）2=r2，（1a）2+（2b）2=r2，（a+1）2+（b3）2=，解得a=，b=，r2=所求圆：（x）2+（y）2=考点：圆的切线方程19. 如图，某台机器的三个齿轮，A与B啮合，C与B也啮合若A轮的直径为200 cm，B轮的直径为120 cm，C轮的直径为250 cm，且试建立适当的坐标系，用坐标法求出A，C两齿轮的中心距离（精确到1 cm）【答
19、案】【解析】【分析】根据题意，以点为坐标原点，所在直线为建立平面直角坐标，进而得直线的方程为，故设，再结合圆与圆的位置关系求解即可得答案.【详解】解：根据题意，以点为坐标原点，所在直线为建立平面直角坐标系，如图，则，由于，所以直线的方程为，故设，则，由于圆与圆相外切，故，解方程得所以cm.故A，C两齿轮的中心距离约为.20. 已知，三点，点P在圆上运动，求的最大值和最小值【答案】最大值为88，最小值为72【解析】【分析】设，利用两点间的距离公式得到，再由点P在圆上运动，化简为求解.【详解】设，因为，三点，所以，因为点P在圆上运动，则，解得，所以，当时，取的最大值88，当时，取的最小值72.拓广
20、探索21. 已知圆，直线，b为何值时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1？【答案】【解析】【分析】根据题意，只需圆心到直线的距离为即可，再结合点到直线的距离求解即可.【详解】解：因为圆的方程为，所以圆心为，半径为 因为圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1，所以只需要圆心到直线的距离为即可满足条件，直线的一般式方程为：，所以圆心到直线的距离为：，解得，故当时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1.22. 如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦（1）当时，求AB的长（2）是否存在弦AB被点平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）求出
21、直线AB的斜率即可写出其点斜式方程，利用勾股定理可求得弦长；（2）当弦被点平分时，AB与垂直，由此可求出直线AB的斜率，写出其点斜式方程化简即可.【详解】（1）依题意，直线AB的斜率为，又直线AB过点，所以直线AB的方程为：，圆心到直线AB的距离为，则，所以；（2）当弦被点平分时，AB与垂直，因为，所以，直线AB的点斜式方程为即.23. 已知点和以点Q为圆心的圆（1）画出以为直径，点为圆心的圆，再求出圆的方程；（2）设圆Q与圆相交于A，B两点，直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？（3）求直线AB的方程【答案】(1)； (2)证明见解析；(3) .【解析】【分析】(1)求出中点的坐标即为圆心的坐标，线段长度的一半即为圆的半径，从而求出圆的方程；(2)根据直径对的圆周角为来证明垂直关系；(3)两圆相减消去二次项即为公共弦所在的直线方程.【详解】(1)易知，所以PQ的中点，又因为 ，圆的半径为，所以圆的方程为.(2)因为PQ为直径，在圆Q上，所以,所以直线PA，PB是圆Q的切线.(3) 圆的方程可化为，圆Q的方程可化为，两圆方程相减，得，所以直线AB的方程为.