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1、 三十五抛物线的简单几何性质【基础必会练】1.若抛物线y2=4x上一点P到原点的距离为23,则点P到抛物线的焦点F的距离为()A.3B.4C.5D.6【解析】选A.由题意,抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,因为抛物线y2=4x上一点P到原点的距离为23,设P(x,y),则x2+y2=12,代入抛物线y2=4x,消去y得.x2+4x=12.解得x=2或x=-6(舍去),所以点P到抛物线准线的距离为2+1=3,所以点P到抛物线的焦点F的距离为3.2.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,若点A(x0,23)在抛物线上,则|AF|=()A.3B.23C.4D.23+1【解析】选C.点A(x0,23
2、)在抛物线上,可得12=4x0,解得x0=3,所以|AF|=x0+p2=3+1=4.3.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p0),则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点【解析】选C.因为直线y=kx-k=k(x-1),所以直线过定点(1,0).所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k0时,直线与抛物线有两个公共点.4.若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8【解析】选D.依题意知抛物线的焦点坐标为(p2,0),椭圆的焦点坐标为(
3、2p,0),所以p2=2p,解得p=8.5.(多选题)已知平面内到定点F(0,1)比它到定直线l:y=-2的距离小1的动点的轨迹为曲线C,则()A.曲线C的方程为x2=4yB.曲线C关于y轴对称C.当点P(x,y)在曲线C上时,y2D.当点P在曲线C上时,点P到直线l的距离d1【解析】选AB.由题意可知:动点到定点F(0,1)与它到定直线l:y=-1的距离相等,由抛物线定义,知曲线C是以F为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,其方程为x2=4y,所以A,B正确;由x2=4y知y0,点P到直线l的距离d2,所以C,D错误.6.(多选题)已知抛物线C:y2=2pxp0的焦点为F,直线l的斜率为3且经
4、过点F,直线l与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若AF=4,则以下结论正确的是()A.p=2B.F为AD中点C.BD=2BFD.BF=2【解析】选ABC.如图所示:作AC准线于点C,AMx轴于点M,BE准线于点E.直线的斜率为3,故tanAFM=3,AFM=3,AF=4,故MF=2,AM=23.Ap2+2,23,代入抛物线得到p=2;NF=FM=2,故AMFDNF,故F为AD的中点,BDE=6,故BD=2BE=2BF,BD+BF=DF=AF=4,故BF=43.7.若直线y=2x-4与抛物线x2=2py(p0)只有一个公共点,则抛物线标准方程为_,准线方程为_.
5、【解析】将直线方程与抛物线方程联立得,x2-4px+8p=0,由直线与抛物线只有一个公共点,所以=0,即=16p2-48p=0,解得p=2,所以抛物线的标准方程为x2=4y,准线方程为y=-p2=-1.答案:x2=4yy=-18.已知点P是抛物线y2=8x上的动点,F是抛物线的焦点,点A的坐标为(4,1),则|PA|+|PF|的最小值为_.【解析】由题意可得F(2,0),准线方程为x=-2,作PM准线l,M为垂足,由抛物线的定义可得,|PA|+|PF|=|PA|+|PM|,故当P,A,M三点共线时,|PA|+|PM|的值最小,|AM|=4-(-2)=6,所以|PA|+|PF|的最小值是6.答案
6、:69.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和准线方程.【解析】方法一:如图所示,设抛物线的方程为x2=-2py(p0),则焦点F(0,-p2),准线l:y=p2,作MNl,垂足为N,则|MN|=|MF|=5,又|MN|=3+p2,所以3+p2=5,即p=4.所以抛物线方程为x2=-8y,准线方程为y=2.由m2=-8(-3)=24,得m=26.方法二:设所求抛物线方程为x2=-2py(p0),则焦点为F(0,-p2).因为M(m,-3)在抛物线上,且|MF|=5,故m2=6p,m2+(-3+p2)2=5.解得p=4,m=26.
7、所以抛物线方程为x2=-8y,m=26,准线方程为y=2.10.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作斜率为12的直线l,与该抛物线交于A,B两点,若OAB的面积等于25(O为坐标原点),求抛物线的方程.【解析】抛物线的焦点坐标F(p2,0),从而直线l的方程为x=2y+p2,代入抛物线方程可得y2-4py-p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4p,y1y2=-p2,OAB的面积等于25,即12p2|y1-y2|=p4(y1+y2)2-4y1y2=25,可得p416p2+4p2=25,解得p=2.所以抛物线的方程为y2=4x.【能力进阶练】11.过抛物线y2=4x的焦
8、点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线()A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2).当斜率不存在时,x1+x2=2不符合题意.当斜率存在时,由焦点坐标为(1,0),可设直线方程为y=k(x-1),由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以=-(2k2+4)2-4k4=16k2+160,x1+x2=2k2+4k2=5,所以k2=43,即k=233.因而这样的直线有且仅有两条.12.(多选题)已知抛物线:x2=4y的焦点为F,过F与y轴垂直的直线交抛物线于点M,N
9、,则下列说法正确的有()A.点F坐标为(1,0)B.抛物线的准线方程为y=-1C.线段MN长为4D.直线y=x-2与抛物线相切【解析】选BC.由抛物线:x2=4y,可得2p=4,即p=2,且焦点在y轴上,所以焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,所以A不正确,B正确;令y=1,可得x2=4,解得x=2,所以|MN|=4,所以C正确;联立方程组y=x-2x2=4y,整理得x2-4x+8=0,可得=(-4)2-480)的焦点,点A(2,y1),B(12,y2)分别是抛物线上位于第一、四象限的点,若|AF|=20,则|y1-y2|=_.【解析】因为A(2,y1)到焦点的距离等于到准线x=-p2的距
10、离,所以|AF|=2+p2=20,所以p=36,则抛物线的方程为y2=72x,把x=12代入方程,得y=-6或y=6(舍去),即B(12,-6);把x=2代入方程,得y=12或y=-12(舍去),即A(2,12),则|y1-y2|=|12-(-6)|=18.答案:1815.已知抛物线C:y2=4x,其焦点为F,直线l过点P(-2,0).(1)若直线l与抛物线C有且仅有一个公共点,求l的方程;(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A,B,求|FA|+|FB|的取值范围.【解析】(1)当直线l的斜率为0时,直线l的方程为y=0;当直线l的斜率不为0时,设直线方程为y=k(x+2),联立y=k(x+
11、2)y2=4x,得k2x2+(4k2-4)x+4k2=0.由=(4k2-4)2-16k4=-32k2+16=0,解得k=22.所以直线方程为y=22(x+2).综上,若直线l与抛物线C有且仅有一个公共点,直线l的方程为y=0或y=22(x+2);(2)联立方程y=k(x+2)y2=4x,得k2x2+(4k2-4)x+4k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).当k0时,由=-32k2+160,得-22k22.所以-22k0或0k22.x1+x2=4-4k2k2.|FA|=x1+p2=x1+1,|FB|=x2+p2=x2+1,则|FA|+|FB|=x1+x2+2=4-4k2k2+2=-2+
12、4k2,因为0k22,则-2+4k26.所以|FA|+|FB|的取值范围是(6,+).【创新拓展练】16.点M(m,4)(m0)为抛物线x2=2py(p0)上一点,F为其焦点,已知|FM|=5.(1)求m与p的值.(2)以M点为切点作抛物线的切线,交y轴于点N,求FMN的面积.【解析】(1)由抛物线定义知,|FM|=p2+4=5,所以p=2.所以抛物线的方程为x2=4y,又由M(m,4)在抛物线上,所以m=4.故p=2,m=4.(2)设过M点的切线方程为y-4=k(x-4),代入抛物线方程消去y得,x2-4kx+16k-16=0,其判别式=16k2-64(k-1)=0,所以k=2,切线方程为y=2x-4,切线与y轴的交点为N(0,-4),抛物线的焦点F(0,1),所以SFMN=12|FN|m=1254=10.关闭Word文档返回原板块- 10 -