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1、 第二章2.2直线的方程2.2.1直线的点斜式方程【素养导引】1.掌握直线方程的点斜式并会应用.(数学抽象、数学运算)2.掌握直线方程的斜截式,了解截距的概念.(数学抽象、数学运算)3.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题.(逻辑推理)直线的点斜式方程和斜截式方程名称点斜式方程斜截式方程已知条件点P0(x0,y0)和斜率k斜率k和直线在y轴上的截距b图示方程形式y-y0=k(x-x0)y=kx+b适用范围斜率存在【批注】斜截式方程的诠释:(1)b为直线l在y轴上的截距,不是距离,截距可以取任意实数,即可以为正数、零、负数;(2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到;
2、(3)当k0时,斜截式方程就是一次函数的表示形式;(4)斜截式是点斜式的特殊情况,斜截式的前提是直线的斜率存在,斜截式不能表示平行于y轴的直线,即斜率不存在的直线.诊断1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)直线的点斜式方程可以表示坐标平面上的所有直线.()(2)直线在y轴上的截距一定是正数、负数或零.()(3)直线的点斜式方程也可写成yy0xx0=k.()提示:(1).斜率存在的直线才能写成点斜式方程,凡是垂直于x轴的直线,其方程都不能用点斜式表示.(2).因为纵坐标b可正、可负、可为0,所以截距可正、可负、可为0.(3).方程写成yy0xx0=k需满足xx0,所以会少一个点.2.(教
3、材改编题)直线l的点斜式方程是y-1=3(x+2),则直线l的斜率是()A.2B.-1C.3D.-3【解析】选C.由直线l的点斜式方程可知直线l的斜率是3.3.(教材改编题)直线y=2x-1在y轴上的截距为_.【解析】由直线的斜截式方程中参数的几何意义,得其在y轴上的截距为-1.答案:-1学习任务一直线的点斜式方程(数学运算)角度1求直线的点斜式方程【典例1】一条直线经过点(2,-5),倾斜角为30,则这条直线的点斜式方程为_.【解析】因为倾斜角为30,所以斜率k=tan 30=33,所以直线的点斜式方程为y+5=33(x-2).答案:y+5=33(x-2)(1)本例中若直线的倾斜角为90,其
4、他条件不变,能用点斜式写出直线方程吗?直线方程是怎样的?【解析】因为直线的倾斜角为90,斜率不存在,所以不能用点斜式写出直线方程,直线方程为x=2.(2)若本例中直线过点(2,-5),(4,3),写出直线的点斜式方程.【解析】直线的斜率k=3(5)42=4,所以直线的点斜式方程为y+5=4(x-2)或y-3=4(x-4).角度2直线过定点问题【典例2】直线y=kx-2k+3必过定点,则该定点的坐标是_.【解析】将直线的方程转化为点斜式得y-3=k(x-2),所以该直线过定点(2,3).答案:(2,3)1.利用点斜式求直线方程的方法(1)用点斜式求直线的方程,要确定直线的斜率和直线上一个点的坐标
5、;若斜率不存在,过点P(x0,y0)的直线方程为x=x0.(2)已知两点坐标求直线的方程,可以先求斜率,再用点斜式求直线的方程.2.判断或求直线过定点问题,常将直线方程转化为点斜式的形式求解.1.已知直线l的倾斜角为60,且经过点(0,1),则直线l的方程为()A.y=3xB.y=3x-2C.y=3x+1D.y=3x+3【解析】选C.由题意知:直线l的斜率为3,则直线l的方程为y=3x+1.2.已知直线的点斜式方程为y-3=x-4,则这条直线经过的定点、倾斜角分别是()A.(4,3),30B.(3,4),45C.(4,3),45D.(-4,-3),30【解析】选C.由直线的点斜式方程的特点可知
6、,直线经过定点(4,3),斜率为1,即倾斜角为45.学习任务二直线的斜截式方程(数学运算)【典例3】(1)若k0,且b0,则直线y=kx+b必不过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A.由k0,b0可知直线过第二、三、四象限.(2)已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1斜率相等,与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程.【解析】由斜截式方程知,直线l1的斜率k1=-2,所以kl=-2.又l2在y轴上的截距为-2,所以直线l在y轴上的截距b=-2.由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2.直线的斜截式方程的关注点(1)求解策略:分别求
7、出直线的斜率和在y轴上的截距,代入方程即可.(2)内在联系:直线的斜截式方程就是一次函数的解析式.(3)注意事项:b是直线在y轴上的截距,即直线与y轴交点的纵坐标,不是交点到原点的距离.倾斜角为135,在y轴上的截距为-1的直线的方程是()A.y=x+1B.y=x-1C.y=-x+1D.y=-x-1【解析】选D.因为倾斜角为135,所以k=tan 135=-1,所以直线的斜截式方程为y=-x-1.学习任务三斜截式在两直线平行与垂直中的应用(逻辑推理)【典例4】(1)当a为何值时,直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行?(2)当a为何值时,直线l1:y=(2a-1)x+3
8、与直线l2:y=4x-3垂直?【解析】(1)由题意可知,kl1=-1,kl2=a2-2,因为l1l2,所以a22=1,2a2,解得a=-1.故当a=-1时,直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行.(2)由题意可知,kl1=2a-1,kl2=4,因为l1l2,所以4(2a-1)=-1,解得a=38.故当a=38时,直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂直.已知两直线的斜截式方程,判定两直线平行与垂直设直线l1的方程为y=k1x+b1,直线l2的方程为y=k2x+b2.(1)l1l2k1=k2,且b1b2;(2)l1与l2重合k1=k2,且b1=b2;(
9、3)l1l2k1k2=-1.1.已知直线l1:x=ay+3,若l1与l2:y=-12x+12垂直,则a=_.【解析】因为l1的方程为x=ay+3,所以它的斜率为1a,因为l1与l2:y=-12x+12垂直,所以1a-12=-1,解得a=12.答案:122.若直线l1:y=-2ax-1a与直线l2:y=3x-1互相平行,则a=_.【解析】由题意可知2a=3,1a1,解得a=-23.答案:-23【补偿训练】求证:不论m为何值,直线l:y=(m-1)x+2m+1总过第二象限.【证明】方法一:直线l的方程可化为y-3=(m-1)(x+2),所以直线l过定点(-2,3),由于点(-2,3)在第二象限,故直线l总过第二象限.方法二:直线l的方程可化为m(x+2)-(x+y-1)=0.令x+2=0,x+y1=0,解得x=2,y=3.所以无论m取何值,直线l总经过点(-2,3).因为点(-2,3)在第二象限,所以直线l总过第二象限. - 7 -