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1、 第二章2.2直线的方程2.2.2直线的两点式方程【素养导引】1.理解直线的两点式方程,会求直线的两点式方程.(数学抽象、数学运算)2.理解直线的截距式方程,会求直线的截距式方程.(数学抽象、数学运算)3.能用直线的两点式、截距式方程及中点坐标公式解决有关问题.(逻辑推理)一、直线的两点式和截距式方程名称两点式方程截距式方程已知条件经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)其中x1x2,y1y2在x轴,y轴上的截距分别为a,b,且a0,b0图示方程形式yy1y2y1=xx1x2x1xa+yb=1适用范围斜率存在且不为零斜率存在且不为零,不过原点【批注】1.直线的两点式方程通过交叉相乘可以转
2、化为整式形式(y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(x-x1),此方程中,包含了x1=x2或y1=y2的情况,不是一个等价的转化过程,不能忽略由x1,x2和y1,y2是否相等引起的讨论.2.直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由此方程可以直接知道直线在x轴和y轴上的截距,在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时,使用截距式非常方便.诊断1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)过点P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1x2,y1y2的直线方程可以写为yy2y1y2=xx2x1x2.()(2)截距相等的直线都可以用方程xa+ya=1表示.()(3)能用两点式方
3、程表示的直线也可用点斜式方程表示.()提示:(1).(2).若a=0,不能用xa+ya=1表示.(3).能用两点式方程表示说明直线一定有斜率,所以可用点斜式方程表示.2.(教材改编题)在x轴和y轴上的截距分别为-2,3的直线方程是()A.x3+y2=1B.x2+y3=1C.x2+y3=1D.x3+y2=1【解析】选C.由直线的截距式方程可得x2+y3=1.3.(教材改编题)已知点A(1,2),B(-1,-2),则直线AB的方程是_.【解析】将点A(1,2),B(-1,-2)代入直线的两点式方程,得x111=y222,整理得直线AB的方程是2x-y=0.答案:2x-y=0二、线段的中点坐标公式若
4、点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),设P(x,y)是线段P1P2的中点,则x=x1+x22,y=y1+y22.学习任务一直线的两点式方程(数学运算)【典例1】(1)已知ABC的三个顶点A(3,2),B(-1,4),C(2,5),则边AB上的中线所在的直线方程为()A.x-2y+1=0B.2x-y+1=0C.2x+y+1=0D.2x-y-1=0【解析】选B.AB的中点坐标为(1,3),由直线的两点式方程可得y353=x121,即2x-y+1=0.(2)已知直线l的两点式方程为y030=x(5)3(5),则l的斜率为()A.-38B.38C.-32D.32【解析】选A.由两点式
5、方程y030=x(5)3(5),知直线l过点(-5,0),(3,-3),所以l的斜率为0(3)53=-38.由两点式求直线方程的步骤(1)根据题中的条件,找到或解出两个不同点的坐标.(2)由直线的两点式方程写出直线的方程.提醒:要注意判断两点是否满足两点式方程的适用条件,即两点的连线不垂直于坐标轴.1.若直线l经过点A(2,5),B(2,7),则直线l的方程为_.【解析】因为两点的横坐标相等,都是2,所以直线方程是x=2.答案:x=22.若点P(3,m)在过点A(2,-1),B(-3,4)的直线上,则m=_.【解析】由直线方程的两点式方程得y(1)4(1)=x232,即y+15=x25.所以直
6、线AB的方程为y+1=-x+2,因为点P(3,m)在直线AB上,则m+1=-3+2,得m=-2.答案:-2学习任务二直线的截距式方程(数学运算)【典例2】已知直线l过点(1,2),且在y轴上的截距为在x轴上的截距的两倍,则直线l的方程是()A.2x-y=0B.2x+y-4=0C.2x-y=0或2x+y-4=0D.2x-y=0或x+2y-2=0【解析】选C.设直线l在x轴上的截距为a,则直线l在y轴上的截距为2a.当a=0时,直线l经过原点,其方程为y=2x,即2x-y=0;当a0时,设直线l的方程为xa+y2a=1,因为直线l过点(1,2),所以代入(1,2)得1a+22a=1,解得a=2,所
7、以直线l的方程为x2+y4=1,即2x+y-4=0.所以l的方程为2x-y=0或2x+y-4=0.若将本例条件变为“在两坐标轴上的截距相等”,其他条件不变,如何求解?【解析】当直线l在两坐标轴上的截距都为0时,设直线l的方程为y=kx,代入(1,2)得k=2,此时直线l的方程为y=2x;当直线l在两坐标轴上的截距不为0时,设直线l的方程为xa+ya=1,把(1,2)代入得a=3,即x+y-3=0.故所求直线的方程为y=2x或x+y-3=0.用截距式方程时需要关注的问题(1)若问题中涉及直线与坐标轴相交,则可考虑选用截距式方程,用待定系数法确定其系数即可;(2)选用截距式方程时,必须首先考虑直线
8、是否过原点以及是否与两坐标轴垂直;(3)要注意截距式方程的逆向应用.1.直线x3-y4=1在两坐标轴上的截距之和为()A.1B.-1C.7D.-7【解析】选B.直线在x轴上的截距为3,在y轴上的截距为-4,因此截距之和为-1.2.过点A(0,1),B(2,0)的直线的截距式方程为_.【解析】由截距式方程,得x2+y=1.答案:x2+y=1学习任务三直线方程的应用(逻辑推理)【典例3】如图,已知直线l过点P(2,1),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为_.【解析】设直线l为xa+yb=1(a0,b0),因为直线l过点P(2,1),则有2a+1b=
9、1,三角形OAB的面积S=12ab.对2a+1b=1,利用均值不等式得1=2a+1b22a1b=22ab,即ab8.于是,三角形OAB的面积S=12ab4.当且仅当a=4,b=2时等号成立.答案:4计算最值问题的方法对于三角形、四边形等图形的面积,获得对应的表达式后,可以结合式子特征,应用基本不等式、二次函数等方法,求得最大(或最小)值,需注意变量的限制条件.1.已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是_.【解析】直线AB的方程为x3+y4=1,代入P(x,y),得x=3-34y,所以xy=3y-34y2=34(-y2+4y)=34-(y-2)2+43.即当P点坐标为32,2时,xy取得最大值3.答案:32.已知直线l过点M(2,1),且与x轴,y轴的正方向分别交于A,B两点,当AOB的面积最小时,求直线l的方程.【解析】根据题意,设直线l的方程为xa+yb=1,由题意,知a2,b1,因为l过点M(2,1),所以2a+1b=1,解得b=aa2,所以AOB的面积S=12ab=12aaa2,化简,得a2-2aS+4S=0.所以=4S2-16S0,解得S4或S0(舍去).所以S的最小值为4,将S=4代入式,得a2-8a+16=0,解得a=4,所以b=aa2=2.所以直线l的方程为x+2y-4=0. - 7 -