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1、2023 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学理科数学一、选择题一、选择题1.设集合31,32,Ax xkkZBx xkkZ，U 为整数集，()AB U（）A.|3,x xk kZB.31,x xkkZC.32,x xkkZD.【答案】A【解析】【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出【详解】因为整数集|3,|31,|32,x xk kx xkkx xkkZZZZ，UZ，所以，|3,UABx xk kZ故选：A2.若复数i 1i2,Raaa，则a（）A.-1B.0C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根据复数的代数运算以及复数相等
2、即可解出【详解】因为22i1iii21i2aaaaaaa，所以22210aa，解得：1a 故选：C.3.执行下面的程序框遇，输出的B（）A.21B.34C.55D.89【答案】B【解析】【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出【详解】当1n 时，判断框条件满足，第一次执行循环体，1 23A，325B ，1 12n ；当2n 时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A，8513B ，2 13n ；当3n 时，判断框条件满足，第三次执行循环体，8 1321A，21 1334B，3 14n ；当4n 时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B 故选：B.4.向量1,2abc，且0abc，则cos
3、,ac bc （）A.15B.25C.25D.45【答案】D【解析】【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为0abc,所以abc+=-rrr,即2222aba bc,即1 122a b rr,所以0a b.如图,设,OAa OBb OCc ,由题知,1,2,OAOBOCOAB是等腰直角三角形,AB 边上的高22,22ODAD,所以23 2222CDCOOD,13tan,cos310ADACDACDCD,2cos,coscos22cos1ac bcACBACDACD 23421510.故选:D.5.已知正项等比数列 na中，11,naS为 na前 n 项和，5354SS，则4S（）A.7
4、B.9C.15D.30【答案】C【解析】【分析】根据题意列出关于q的方程,计算出q,即可求出4S.【详解】由题知234215 14qqqqqq,即34244qqqq,即32440qqq,即(2)(1)(2)0qqq.由题知0q,所以2q=.所以4124815S .故选:C.6.有 50 人报名足球俱乐部，60 人报名乒乓球俱乐部，70 人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1【答案】A【解析】【分析】先算出报名两个俱乐部的人数,从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率,利用条件概率的知识求解.【详解】报名
5、两个俱乐部的人数为50607040，记“某人报足球俱乐部”为事件A,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件B，则505404(),()707707P AP AB，所以4()7()0.85()7P ABP B AP A.故选:A.7.“22sinsin1”是“sincos0”的（）A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当22sinsin1时，例如,02但sincos0，即22sinsin1推不出sincos0；当sincos0时，2222sinsin(co
6、s)sin1，即sincos0能推出22sinsin1.综上可知，22sinsin1是sincos0成立的必要不充分条件.故选：B8.已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为5，其中一条渐近线与圆22(2)(3)1xy交于 A，B 两点，则|AB（）A.15B.55C.2 55D.4 55【答案】D【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由5e，则222222215cabbaaa，解得2ba，所以双曲线的一条渐近线不妨取2yx，则圆心(2,3)到渐近线的距离2|2 23|5521d，所以弦长2214 5|22 155ABrd.故
7、选：D9.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有 1 人连续参加两天服务的选择种数为（）A.120B.60C.40D.30【答案】B【解析】【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.【详解】不妨记五名志愿者为,a b c d e，假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的 4 人抽取 2 人各参加星期六与星期天的社区服务，共有24A12种方法，同理：,b c d e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有 1 人连续参加了两天社区服务的选择种数有5 1260种.故选：B.10.已知 f x为函数cos
8、 26yx向左平移6个单位所得函数，则 yf x与1122yx的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得 sin2f xx，再作出 f x与1122yx的部分大致图像，考虑特殊点处 f x与1122yx的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为cos 26yx向左平移6个单位所得函数为cos 2cos 2sin2662yxxx，所以 sin2f xx，而1122yx显然过10,2与1,0两点，作出 f x与1122yx的部分大致图像如下，考虑3372,2,2222xxx，即337,444xxx 处 f x与1122yx的大小关系，当34
9、x 时，33sin142f ，1314284312y ；当34x 时，33sin142f，1313412428y；当74x 时，77sin142f，1717412428y；所以由图可知，f x与1122yx的交点个数为3.故选：C.11.在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，4,3,45ABPCPDPCA，则PBC的面积为（）A.2 2B.3 2C.4 2D.5 2【答案】C【解析】【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得PDOPCO，PDBPCA，从而得到PAPB，再在PAC中利用余弦定理求得17PA，从而求得17PB，由此在PBC中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；法二：先
10、在PAC中利用余弦定理求得17PA，1cos3PCB，从而求得3PA PC ，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于,PBBPD的方程组，从而求得17PB，由此在PBC中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.【详解】法一：连结,AC BD交于O，连结PO，则O为,AC BD的中点，如图，因为底面ABCD为正方形，4AB，所以4 2ACBD，则2 2DOCO，又3PCPD，POOP，所以PDOPCO，则PDOPCO，又3PCPD，4 2ACBD，所以PDBPCA，则PAPB，在PAC中，3,4 2,45PCACPCA，则由余弦定理可得22222cos3292 4 23172PAACPCAC
11、 PCPCA ，故17PA，则17PB，故在PBC中，7,43,1PPBCCB，所以2229 16 171cos22 3 43PCBCPBPCBPC BC，又0PCB，所以22 2sin1 cos3PCBPCB，所以PBC的面积为112 2sin3 44 2223SPC BCPCB .法二：连结,AC BD交于O，连结PO，则O为,AC BD的中点，如图，因为底面ABCD为正方形，4AB，所以4 2ACBD，在PAC中，3,45PCPCA，则由余弦定理可得22222cos3292 4 23172PAACPCAC PCPCA ，故17PA，所以2221793217cos2172173PAPCAC
12、APCPA PC，则17cos173317PA PCPA PCAPC ，不妨记,PBmBPD，因为1122POPAPCPBPD ，所以22PAPCPBPD ，即222222PAPCPA PCPBPDPB PD ，则21792392 3cosmm ，整理得26cos110mm，又在PBD中，2222cosBDPBPDPB PDBPD，即23296cosmm，则26cos230mm，两式相加得22340m，故17PBm，故在PBC中，7,43,1PPBCCB，所以2229 16 171cos22 3 43PCBCPBPCBPC BC，又0PCB，所以22 2sin1 cos3PCBPCB，所以PB
13、C的面积为112 2sin3 44 2223SPC BCPCB .故选：C.12.己知椭圆22196xy，12,F F为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos5FPF，则|PO（）A.25B.302C.35D.352【答案】B【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出12PFF的面积，即可得到点P的坐标，从而得出OP的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出221212,PF PFPFPF，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出2212PFPF，即可根据中线定理求出【详解】方法一：设122,02FPF，所以1 22212tanta
14、n2PF FFPFSbb，由22212222cossin1tan3coscos2cos+sin1tan5FPF，解得：1tan2，由椭圆方程可知，222229,6,3abcab，所以，1 2121112 36222PF FppSFFyy，解得：23py，即2399162px，因此22930322ppOPxy故选：B方法二：因为1226PFPFa，222121212122PFPFPF PFFPFFF，即2212126125PFPFPF PF，联立，解得：22121215,212PF PFPFPF，而1212POPFPF ，所以1212OPPOPFPF ，即221211221113 1530221
15、 2222522POPFPFPFPF PFPF 故选：B方法三：因为1226PFPFa，222121212122PFPFPF PFFPFFF，即2212126125PFPFPF PF，联立，解得：221221PFPF，由中线定理可知，222212122242OPFFPFPF，易知122 3FF，解得：302OP 故选：B【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大二、填空题二、填空题13.若2(1)sin2yxaxx为偶函数，则a_【答案】2【解
16、析】【分析】利用偶函数的性质得到22ff，从而求得2a，再检验即可得解.【详解】因为 221sin1cos2yfxxaxxxaxx为偶函数，定义域为R，所以22ff，即22222222s1co1cosaa，则2221212a，故2a，此时 2212cos1cosf xxxxxx，所以 221coss1cofxxxxxf x，又定义域为R，故 f x为偶函数，所以2a.故答案为：2.14.设 x，y 满足约束条件2333231xyxyxy，设32zxy，则 z 的最大值为_【答案】15【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数32
17、2zyx 过点A时，z有最大值，由233323xyxy可得33xy，即(3,3)A,所以max3 32 315z .故答案为：1515.在正方体1111ABCDABC D中，E，F 分别为 CD，11AB的中点，则以 EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为_【答案】12【解析】【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.【详解】不妨设正方体棱长为 2，EF中点为O，取AB，1BB中点,G M，侧面11BBC C的中心为N，连接,FG EG OM ON MN，如图，由题意可知，O为球心，在正方体中，2222222 2EFFGEG，即2R，则球心O到1BB的距离为22221
18、12OMONMN，所以球O与棱1BB相切，球面与棱1BB只有 1 个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有 1 个交点，所以以 EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 12.故答案为：1216.在ABC中，2AB，60,6BACBC，D 为 BC 上一点，AD 为BAC的平分线，则AD _【答案】2【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出AC，再根据等面积法求出AD；方法二：利用余弦定理求出AC，再根据正弦定理求出,B C，即可根据三角形的特征求出【详解】如图所示：记,ABc ACb BCa，方法一：由余弦定理可得，2222 2cos606bb ，因为0b，解得：13b
19、，由ABCABDACDSSS可得，1112sin602sin30sin30222bADAD b ，解得：2 3 13323312bADb故答案为：2方法二：由余弦定理可得，2222 2cos606bb ，因为0b，解得：13b ，由正弦定理可得，62sin60sinsinbBC，解得：62sin4B，2sin2C，因为1362，所以45C，180604575B，又30BADo，所以75ADB，即2ADAB故答案为：2【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规三、解答题三、解答题17.已知数列 na中，
20、21a，设nS为 na前 n 项和，2nnSna（1）求 na的通项公式；（2）求数列12nna 的前 n 项和nT【答案】（1）1nan（2）1222nnTn【解析】【分析】（1）根据11,1,2nnnS naSSn即可求出；（2）根据错位相减法即可解出【小问 1 详解】因为2nnSna，当1n 时，112aa，即10a；当3n 时，332 13aa，即32a，当2n时，1121nnSna，所以11221nnnnnSSanana，化简得：121nnnana，当3n 时，131122nnaaann，即1nan，当1,2,3n 时都满足上式，所以*1Nnann【小问 2 详解】因为122nnna
21、n，所以12311111232222nnTn ，2311111112(1)22222nnnTnn ，两式相减得，123111111111222222111222211nnnnnnnT，11122nn，即1222nnTn，*Nn18.在三棱柱111ABCABC-中，12AA，1AC 底面 ABC，90ACB，1A到平面11BCC B的距离为 1（1）求证：1ACAC；（2）若直线1AA与1BB距离为 2，求1AB与平面11BCC B所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析（2）1313【解析】【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得1AO 平面11BCC B，再由勾股定理求出O为中
22、点，即可得证；（2）利用直角三角形求出1AB的长及点A到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.【小问 1 详解】如图，1AC 底面ABC，BC面ABC，1ACBC，又BCAC，1,AC AC 平面11ACC A，1ACACC,BC平面 ACC1A1，又BC平面11BCC B，平面11ACC A 平面11BCC B，过1A作11AOCC交1CC于O，又平面11ACC A 平面111BCC BCC，1AO 平面11ACC A，1AO平面11BCC B1A到平面11BCC B的距离为 1，11AO，在11RtACC中，111112,ACAC CCAA，设COx，则12C Ox，11111,AOCA
23、OCACC为直角三角形，且12CC，22211COAOAC，2221111AOOCC A，2221111ACACC C，2211(2)4xx ，解得1x，1112ACACAC，1ACAC【小问 2 详解】111,ACAC BCAC BCAC，1RtRtACBACB1BABA，过 B 作1BDAA，交1AA于 D，则D为1AA中点，由直线1AA与1BB距离为 2，所以2BD 11AD，2BD，15ABAB，在RtABC，223BCABAC，延长AC，使ACCM，连接1C M，由1111,CMAC CMAC知四边形11ACMC为平行四边形，11C MAC，1C M平面ABC，又AM 平面ABC，1
24、C MAM则在1RtAC M中，112,AMAC C MAC，2211(2)ACACAC，在11RtABC中，2211(2)ACACAC，113BCBC，2221(2 2)(2)(3)13AB,又A到平面11BCC B距离也为 1，所以1AB与平面11BCC B所成角的正弦值为1131313.19.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将 40 只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X，求X的分布列和数学期望；（2）测得 40 只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）对照组：17.318.420.120.421.523.224.6
25、24.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3实验组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0（i）求 40 只小鼠体重的中位数 m，并完成下面 22 列联表：mm对照组实验组（ii）根据 22 列联表，能否有 95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用参考数据：0k0.100.050.01020P kk2.7063.8416.635【答案】（1）分布列见解析，()1E X（2）（i）23.4m；列联表见解析，（ii）能【解析】【分析
26、】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；（2）（i）根据中位数的定义即可求得23.4m，从而求得列联表；（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【小问 1 详解】依题意，X的可能取值为0,1,2，则022020240C C19(0)C78P X，120224010C C20(1)C39P X，202020240C C19(2)C78P X，所以X的分布列为：X012P197820391978故192019()0121783978E X .【小问 2 详解】（i）依题意，可知这 40 只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第 20 位与第 21 位数据的平
27、均数，由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，可得第 11 位数据为14.4，后续依次为17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,，故第 20 位为23.2，第 21 位数据为23.6，所以23.223.623.42m，故列联表为：mm合计对照组61420实验组14620合计202040（ii）由（i）可得，240(6 6 14 14)6.4003.84120 20 20 20K，所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.20.已知直线210 xy 与抛物线2:2(0)C ypx p交于,A
28、 B两点，且|4 15AB（1）求p；（2）设 C 的焦点为 F，M，N 为 C 上两点，0MF NF，求MNF面积的最小值【答案】（1）2p（2）128 2【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出p；（2）设直线MN：xmyn，1122,M x yN xy利用0MF NF，找到,m n的关系，以及MNF的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值【小问 1 详解】设,AABBA xyB xy，由22102xyypx 可得，2420ypyp，所以4,2ABAByyp y yp，所以2225544 15ABABABABABABxxyyyyyyy y
29、，即2260pp，因为0p，解得：2p【小问 2 详解】因为1,0F，显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：xmyn，1122,M x yN xy，由24yxxmyn可得，2440ymyn，所以，12124,4yym y yn，22161600mnmn，因为0MF NF，所以1212110 xxy y，即1212110mynmyny y，亦即 2212121110my ym nyyn，将12124,4yym y yn 代入得，22461mnn，22410mnn，所以1n，且2610nn，解得32 2n 或32 2n 设点F到直线MN的距离为d，所以211ndm，22222121212111
30、616MNxxyymyymmn2222 1461162 11mnnnmn，所以MNF的面积2221112 111221nSMNdmnnm，而32 2n 或32 2n，所以，当32 2n 时，MNF的面积2min22 2128 2S【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到,m n的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.21.已知3sin(),0,cos2xf xaxxx（1）若8a，讨论()f x的单调性；（2）若()sin2f xx恒成立，求 a 的取值范围【答案】（1）答案见解析.（2）(,3【解析】【分析
31、】（1）求导,然后令2costx,讨论导数的符号即可;（2）构造()()sin2g xf xx,计算()g x的最大值,然后与 0 比较大小,得出a的分界点,再对a讨论即可.【小问 1 详解】326cos cos3sin cossin()cosxxxxxfxax22244cos3sin32coscoscosxxxaaxx令2cos xt,则(0,1)t则2223223()()tattfxg tatt当222823(21)(43)8,()()ttttafxg ttt当10,2t,即,()04 2xfx.当1,12t,即0,()04xfx.所以()f x在0,4上单调递增,在,4 2上单调递减【小
32、问 2 详解】设()()sin2g xf xx22222323()()2cos2()2 2cos12(21)24attg xfxxg txtatttt设223()24tattt322333264262(1)(22+3)()40tttttttttt 所以()(1)3ta.1若(,3a,()()30g xta即()g x在0,2上单调递减,所以()(0)0g xg.所以当(,3,()sin2af xx,符合题意.2若(3,)a当22231110,333tttt ,所以()t.(1)30a.所以0(0,1)t,使得 00t,即00,2x,使得00gx.当0,1,()0ttt,即当00,()0,()x
33、xg xg x单调递增.所以当00,()(0)0 xxg xg,不合题意.综上,a的取值范围为(,3.【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性costx在定义域内是减函数,若00costx,当0,1,()0ttt,对应当00,()0 xxg x.四、选做题四、选做题22.已知(2,1)P，直线2cos:1sinxtlyt（t 为参数），为l的倾斜角，l 与 x 轴，y 轴正半轴交于 A，B 两点，|4PAPB（1）求的值；（2）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 l 的极坐标方程【答案】（1）34（2）cossin30【解析】【分析】（1）根据t的几何意义即可解出
34、；（2）求出直线l的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出【小问 1 详解】因为l与x轴，y轴正半轴交于,A B两点，所以2，令0 x，12cost，令0y，21sint，所以2 1244sincossin2PA PBt t，所以sin21，即22k，解得1,42kkZ，因为2，所以34【小问 2 详解】由（1）可知，直线l的斜率为tan1，且过点2,1，所以直线l的普通方程为：12yx ，即30 xy，由cos,sinxy可得直线l的极坐标方程为cossin3023.已知()2,0f xxaa a（1）求不等式 f xx的解集；（2）若曲线 yf x与坐标轴所围成的图形的面积为 2，求a【答案】（1）,33aa（2）2 63【解析】【分析】（1）分xa和xa讨论即可;（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.【小问 1 详解】若xa,则()22f xaxax,即3xa,解得3ax,即3axa,若xa,则()22f xxaax,解得3xa,即3axa,综上,不等式的解集为,33aa.【小问 2 详解】2,()23,xa xaf xxa xa.画出()f x的草图,则()f x与坐标轴围成ADO与ABCABC的高为3,(0,),0,022aaa DaAB,所以|ABa所以21132224OADABCSSOA aAB aa,解得2 63a