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1、2023 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学一、选择题一、选择题1.设252i1 iiz，则z（）A.12iB.12iC.2iD.2i【答案】B【解析】【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得252i 2i2i2i2i 11 2i1 ii1 1 ii1z ，则12iz.故选：B.2.设集合U R，集合1Mx x，12Nxx，则2x x（）A.UMNB.UNMC.UMND.UMN【答案】A【解析】【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为|2x x 即可.【详解】由题意可得|2MNx x，则|2U
2、MNx x，选项 A 正确；|1UMx x，则|1UNMx x，选项 B 错误；|11MNxx，则|1UMNx x 或1x，选项 C 错误；|1UNx x 或2x，则UMN|1x x 或2x，选项 D 错误；故选：A.3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该零件的表面积为（）A.24B.26C.28D.30【答案】D【解析】【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.【详解】如图所示，在长方体1111ABCDABC D中，2ABBC，13AA，点,H I J K为所在棱上靠近点1111,B C D A的三等分点，,
3、O L M N为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCDABC D去掉长方体11ONICLMHB之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少 2 个边长为 1 的正方形，其表面积为：22 242 321 130 .故选：D.4.已知e()e1xaxxf x 是偶函数，则a（）A.2B.1C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为 ee1xaxxf x 为偶函数，则 1eeee0e1e1e1axxxxaxaxaxxxxf xfx，又因为x不恒为 0，可得1ee0axx，即1eeaxx，则1xax，即11a，解得2a.故选：D
4、.5.设 O 为平面坐标系的坐标原点，在区域22,14x yxy内随机取一点，记该点为 A，则直线 OA的倾斜角不大于4的概率为（）A.18B.16C.14D.12【答案】C【解析】【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详解】因为区域22,|14x yxy表示以0,0O圆心，外圆半径2R，内圆半径1r 的圆环，则直线OA的倾斜角不大于4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角4MON，结合对称性可得所求概率21424P.故选：C.6.已知函数()sin()f xx在区间 2,63单调递增，直线6x 和23x 为函数 yf x的图像的两条对称轴，则512f（）A.32B
5、.12C.12D.32【答案】D【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入512x 即可得到答案.【详解】因为()sin()f xx在区间 2,63单调递增，所以22362T，且0，则T，22wT，当6x 时，f x取得最小值，则22 62k，Zk，则52 6k，Zk，不妨取0k，则 5sin 26f xx，则553sin1232f，故选：D.7.甲乙两位同学从 6 种课外读物中各自选读 2 种，则这两人选读的课外读物中恰有 1 种相同的选法共有（）A.30 种B.60 种C.120 种D.240 种【答案】C【解析】【分析】相同读物有 6 种情况，剩余两种读物的选择
6、再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【详解】首先确定相同得读物，共有16C种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的 5 种读物里，选出两种进行排列，共有25A种，根据分步乘法公式则共有1265C A120种，故选：C.8.已知圆锥 PO 的底面半径为3，O 为底面圆心，PA，PB 为圆锥的母线，120AOB，若PAB的面积等于9 34，则该圆锥的体积为（）A.B.6C.3D.3 6【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.【详 解】在AOB中，120AOBo，而3OAOB，取AC中 点C，连 接,OC PC，有
7、,OCAB PCAB，如图，30ABO，3,232OCABBC，由PAB的面积为9 34，得19 3324PC，解得3 32PC，于是22223 33()()622POPCOC，所以圆锥的体积2211(3)6633VOAPO.故选：B9.已知ABC为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD为等边三角形，若二面角CABD为150，则直线 CD 与平面 ABC 所成角的正切值为（）A.15B.25C.35D.25【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取AB的中点E，连接,CE DE，因为ABC是等腰直角三角形，且AB为斜边，则有CEAB，又A
8、BD是等边三角形，则DEAB，从而CED为二面角CABD的平面角，即150CED，显然,CEDEE CE DE平面CDE，于是AB平面CDE，又AB平面ABC，因此平面CDE 平面ABC，显然平面CDE平面ABCCE，直线CD 平面CDE，则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE，从而DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令2AB，则1,3CEDE，在CDE中，由余弦定理得：2232cos1 32 13()72CDCEDECE DECED ，由正弦定理得sinsinDECDDCECED，即3sin1503sin72 7DCE，显然DCE是锐角，2235cos1 sin1()2 72 7DCED
9、CE，所以直线CD与平面ABC所成的角的正切为35.故选：C10.已知等差数列 na的公差为23，集合*cosNnSa n，若,Sa b，则ab（）A.1B.12C.0D.12【答案】B【解析】【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列na中，11222(1)()333naanna，显 然 函 数122cos()33yna的 周 期 为 3，而Nn，即cosna最 多 3 个 不 同 取 值，又cos|N ,nana b，则在123cos,cos,cosaaa中，123coscoscosaaa或123coscosc
10、osaaa，于是有2coscos()3，即有2()2,Z3kk，解得,Z3kk，所以Zk，241cos()cos()cos()cos coscos333332abkkkkk .故选：B11.设 A，B 为双曲线2219yx 上两点，下列四个点中，可为线段 AB 中点的是（）A.1,1B.()1,2-C.1,3D.1,4【答案】D【解析】【分析】根据点差法分析可得9ABkk，对于 A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于 C：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设1122,A x yB x y，则AB的中点1212,22xxyyM，可得1212121212122,2AByyyyy
11、ykkxxxxxx，因为,A B在双曲线上，则221122221919yxyx，两式相减得2222121209yyxx，所以221222129AByykkxx.对于选项 A：可得1,9ABkk，则:98AB yx，联立方程229819yxyx，消去 y 得2722 72730 xx，此时22 724 72 732880 ，所以直线 AB 与双曲线没有交点，故 A 错误；对于选项 B：可得92,2ABkk ，则95:22AB yx，联立方程22952219yxyx，消去 y 得2452 45610 xx，此时22 454 45 614 45 160 ，所以直线 AB 与双曲线没有交点，故 B 错
12、误；对于选项 C：可得3,3ABkk，则:3AB yx由双曲线方程可得1,3ab，则:3AB yx为双曲线的渐近线，所以直线 AB 与双曲线没有交点，故 C 错误；对于选项 D：94,4ABkk，则97:44AB yx，联立方程22974419yxyx，消去 y 得2631261930 xx，此时21264 63 1930 ，故直线 AB 与双曲线有交两个交点，故 D 正确；故选：D.12.已知O的半径为 1，直线 PA 与O相切于点 A，直线 PB 与O交于 B，C 两点，D 为 BC 的中点，若2PO，则PA PD 的最大值为（）A.122+B.12 22C.12D.22【答案】A【解析】
13、【分 析】由 题 意 作 出 示 意 图，然 后 分 类 讨 论，利 用 平 面 向 量 的 数 量 积 定 义 可 得PA PD 12sin 2224，或PA PD 12sin 2224然后结合三角函数的性质即可确定PA PD 的最大值.【详解】如图所示，1,2OAOP，则由题意可知:45APO，由勾股定理可得221PAOPOA当点,A D位于直线PO异侧时，设=,04OPC，则：PA PD =|cos4PAPD 12coscos4 222coscossin222cossincos1cos21sin22212sin 222404，则2444当244 时，PA PD 有最大值1.当点,A D位
14、于直线PO同侧时，设=,04OPC，则：PA PD =|cos4PAPD 12coscos4 222coscossin222cossincos1cos21sin22212sin 222404，则2442当242时，PA PD 有最大值122+.综上可得，PA PD 的最大值为122+.故选：A.【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.二、填空题二、填空题13.已知点1,5A在抛物线 C：22ypx上，则 A 到 C 的准线的距离为_.【答案】94【解析】【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，
15、然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为54x ，最后利用点的坐标和准线方程计算点A到C的准线的距离即可.【详解】由题意可得：2521p，则25p，抛物线的方程为25yx，准线方程为54x ，点A到C的准线的距离为59144.故答案为：94.14.若 x，y 满足约束条件312937xyxyxy，则2zxy的最大值为_.【答案】8【解析】【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.【详解】作出可行域如下图所示：2zxy，移项得2yxz，联立有3129xyxy，解得52xy，设5,2A，显然平移直线2yx使其经过点A，此时截距z最小，则z最大，代入得8z，故答案为：8.15.已知 na为等比数列，
16、24536a a aa a，9108a a，则7a _.【答案】2【解析】【分析】根据等比数列公式对24536a a aa a化简得11a q，联立9108a a 求出32q ，最后得55712aa q qq.【详解】设 na的公比为0q q，则3252456aqaa q aa aa，显然0na，则24aq，即321a qq，则11a q，因为9108a a，则89118a qa q，则3315582qq ，则32q ，则55712aa q qq，故答案为：2.16.设0,1a，若函数 1xxf xaa在0,上单调递增，则 a 的取值范围是_.【答案】51,12【解析】【分析】原问题等价于 l
17、n1ln 10 xxfxaaaa恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得1lnln 1xaaaa，由右侧函数的单调性可得实数a的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数a的取值范围.【详解】由函数的解析式可得 ln1ln 10 xxfxaaaa在区间0,上恒成立，则1ln 1lnxxaaaa，即1lnln 1xaaaa 在区间0,上恒成立，故01ln1ln 1aaaa ，而11,2a，故ln 10a，故ln1ln01aaa 即1101a aa，故5112a，结合题意可得实数a的取值范围是51,12.故答案为：51,12.三、解答题三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效
18、应，进行 10 次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为ix，iy（1,2,10i），试验结果如下试验序号 i12345678910伸缩率ix545533551522575544541568596548伸缩率iy536527543530560533522550576536记(1,2,10)iiizxy i，记1z，2z，10z的样本平均数为z，样本方差为2s，（1）求z，2s；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著
19、提高（如果2210sz，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.【答案】（1）11z，261s；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】【分析】（1）直接利用平均数公式即可计算出,x y，再得到所有的iz值，最后计算出方差即可；（2）根据公式计算出2210s的值，和z比较大小即可.【小问 1 详解】545533 551 522575544541 568596548552.310 x，536527543 530560533 522550576536541.310y，552.3541
20、.311zxy，iiizxy的值分别为:9,6,8,8,15,11,19,18,20,12，故2222222222(9 11)(6 11)(8 11)(8 11)(15 11)0(19 11)(18 11)(20 11)(12 11)6110s 【小问 2 详解】由（1）知:11z，222 6.124.410s，故有2210sz,所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.在ABC中，已知120BAC，2AB，1AC.（1）求sinABC；（2）若 D 为 BC 上一点，且90BAD，求ADC的面积.【答案】（1）2114；（2）310.【解析】【分
21、析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为7BC，然后由余弦定理可得5 7cos14B，最后由同角三角函数基本关系可得21sin14B；(2)由题意可得4ABDACDSS，则15ACDABCSS，据此即可求得ADC的面积.【小问 1 详解】由余弦定理可得：22222cosBCabcbcA4 12 2 1 cos1207 ，则7BC，22274 15 7cos2142 27acbBac，22521sin1 cos12814BB.【小问 2 详解】由三角形面积公式可得1sin90241sin302ABDACDABADSSACAD，则11132 1 sin12055210ACDABCSS .19.如
22、图，在三棱锥PABC中，ABBC，2AB，2 2BC，6PBPC，BP，AP，BC 的中点分别为 D，E，O，5ADDO，点 F 在 AC 上，BFAO.（1）证明：/EF平面ADO；（2）证明：平面ADO 平面 BEF；（3）求二面角DAOC的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）22.【解析】【分析】（1）根据给定条件，证明四边形ODEF为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.（2）由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.（3）由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.【小问 1 详解】连接,DE O
23、F，设AFtAC，则(1)BFBAAFt BAtBC ，12AOBABC ，BFAO，则2211(1)()(1)4(1)4022BF AOt BAtBCBABCtBAtBCtt ，解得12t，则F为AC的中点，由,D E O F分别为,PB PA BC AC的中点，于是11/,/,2 2DEAB DEAB OFAB OFAB，即,/DEOF DEOF，则四边形ODEF为平行四边形，,/EFDO EFDO，又EF 平面,ADO DO 平面ADO，所以/EF平面ADO.【小问 2 详解】由（1）可知/EFOD，则66,2AODO，得3052ADDO，因此222152ODAOAD，则ODAO，有EF
24、AO，又,AOBF BFEFF，,BF EF 平面BEF，则有AO 平面BEF，又AO平面ADO，所以平面ADO 平面BEF.【小问 3 详解】过点O作/OHBF交AC于点H，设ADBEG，由AOBF，得HOAO，且1 3FHAH，又由（2）知，ODAO，则DOH为二面角DAOC的平面角，因为,D E分别为,PB PA的中点，因此G为PAB的重心，即有11,33DGAD GEBE，又1 3FHAH，即有32DHGF，231544622cos62 262 22PAABD ，解得14PA，同理得62BE，于是2223BEEFBF，即有BEEF，则22216653223GF，从而153GF，3151
25、5232DH，在DOH中，13615,2222OHBFODDH，于是63152444cos263222DOH，222sin122DOH，所以二面角DAOC的正弦值为22.20.已知椭圆 C：222210yxabab的离心率为53，点2,0A 在 C 上.（1）求 C 的方程；（2）过点2,3的直线交 C 于点 P，Q 两点，直线 AP，AQ 与 y 轴的交点分别为 M，N，证明：线段 MN的中点为定点.【答案】（1）22194yx（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意列式求解,a b c，进而可得结果；（2）设直线PQ的方程，进而可求点,M N的坐标，结合韦达定理验证2MNyy为定值即
26、可.【小问 1 详解】由题意可得222253babccea，解得325abc，所以椭圆方程为22194yx.【小问 2 详解】由题意可知：直线PQ的斜率存在，设1122:23,PQ yk xP x yQ xy，联立方程2223194yk xyx，消去 y 得：222498231630kxkkxkk，则2222642364 49317280kkkkkk，解得0k，可得2121222163823,4949kkkkxxx xkk，因为2,0A，则直线11:22yAP yxx，令0 x，解得1122yyx，即1120,2yMx,同理可得2220,2yNx，则1212121222232322222yyk
27、 xk xxxxx 12211223223222kxkxkxkxxx121212122434 2324kx xkxxkx xxx222222323843234 231084949336163162344949k kkkkkkkkkkkkkk，所以线段PQ的中点是定点0,3.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论21.已知函数1()ln(1)f xaxx.（1）当1a 时，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程
28、；（2）是否存在 a，b，使得曲线1yfx关于直线xb对称，若存在，求 a，b 的值，若不存在，说明理由.（3）若 f x在0,存在极值，求 a 的取值范围.【答案】（1）ln2ln20 xy；（2）存在11,22ab 满足题意，理由见解析.（3）10,2.【解析】【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数a的方程，解方程可得实数a的值，最后检验所得的,a b是否正确即可；(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新
29、函数 2=1 ln1g xaxxxx，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论0a，12a 和102a三中情况即可求得实数a的取值范围.【小问 1 详解】当1a 时，11 ln1fxxx，则 2111ln111xfxxxx，据此可得 10,1ln2ff，函数在 1,1f处的切线方程为0ln21yx，即ln2ln20 xy.【小问 2 详解】由函数的解析式可得11ln1fxaxx，函数的定义域满足1110 xxx，即函数的定义域为,10,，定义域关于直线12x 对称，由题意可得12b ，由对称性可知111222fmfmm，取32m 可得 12ff，即11 ln22 ln2aa，则1
30、2aa，解得12a，经检验11,22ab 满足题意，故11,22ab.即存在11,22ab 满足题意.【小问 3 详解】由函数的解析式可得 2111ln11fxxaxxx，由 f x在区间0,存在极值点，则 fx在区间0,上存在变号零点;令2111ln101xaxxx，则21 ln10 xxxax，令 2=1 ln1g xaxxxx，f x在区间0,存在极值点，等价于 g x在区间0,上存在变号零点，12ln1,21gxaxxgxax当0a 时，0gx，g x在区间0,上单调递减，此时 00g xg，g x在区间0,上无零点，不合题意;当12a，21a 时，由于111x，所以 0,gxgx在区
31、间0,上单调递增，所以 00gxg，g x在区间0,上单调递增，00g xg，所以 g x在区间0,上无零点，不符合题意；当102a时，由 1201gxax可得1=12xa，当10,12xa时，0gx，gx单调递减，当11,2xa时，0gx，gx单调递增，故 gx的最小值为1112ln22gaaa，令 1ln01m xxxx，则 10 xm xx，函数 m x在定义域内单调递增，10m xm，据此可得1ln0 xx恒成立，则1112ln202gaaa，令 2ln0h xxxx x，则 221xxh xx，当0,1x时，0,h xh x单调递增，当1,x时，0,h xh x单调递减，故 10h
32、xh，即2ln xxx(取等条件为1x)，所以 222ln12112gxaxxaxxxaxxx，22122121210gaaaaa，且注意到 00g，根据零点存在性定理可知:gx在区间0,上存在唯一零点0 x.当00,xx时，0gx，g x单调减，当0,xx时，0gx，g x单调递增，所以 000g xg.令 11ln2n xxxx，则 22211111022xn xxxx，则 n x单调递减，注意到 10n，故当1,x时，11ln02xxx，从而有11ln2xxx，所以 2=1 ln1g xaxxxx2111121axxxxx21122ax，令211022ax得2112xa，所以1012ga
33、，所以函数 g x在区间0,上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数a得取值范围是10,2.【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：列式:根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.四、选做题四、选做题【选修【选修 4-4】（10 分）分）22.在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x
34、轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为2sin 42，曲线2C：2cos2sinxy（为参数，2）.（1）写出1C的直角坐标方程；（2）若直线yxm既与1C没有公共点，也与2C没有公共点，求 m 的取值范围.【答案】（1）2211,0,1,1,2xyxy（2）,02 2,【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意,x y的取值范围；（2）根据曲线12,C C的方程，结合图形通过平移直线yxm分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.【小问 1 详解】因为2sin，即22 sin，可得222xyy，整理得2211xy，表示以0,1为圆心，半径为
35、1 的圆，又因为2cos2sincossin2,sin2sin1 cos2xy，且42，则22，则sin20,1,1 cos21,2xy，故221:11,0,1,1,2Cxyxy.【小问 2 详解】因为22cos:2sinxCy（为参数，2），整理得224xy，表示圆心为0,0O，半径为 2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线yxm过1,1，则1 1 m，解得0m；若直线yxm，即0 xym与2C相切，则220mm，解得2 2m，若直线yxm与12,C C均没有公共点，则2 2m 或0m，即实数m的取值范围,02 2,.【选修【选修 4-5】（10 分）分）23.已知 22f xxx.（1
36、）求不等式 6f xx的解集；（2）在直角坐标系 xOy 中，求不等式组()60f xyxy所确定的平面区域的面积.【答案】（1）2,2；（2）6.【解析】【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答.（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.【小问 1 详解】依题意，32,2()2,0232,0 xxf xxxxx，不等式()6f xx化为：2326xxx或0226xxx或0326xxx，解2326xxx，得无解；解0226xxx，得02x，解0326xxx，得20 x，因此22x，所以原不等式的解集为：2,2【小问 2 详解】作出不等式组()60f xyxy表示的平面区域，如图中阴影ABC，由326yxxy，解得(2,8)A，由26yxxy,解得(2,4)C，又(0,2),(0,6)BD，所以ABC的面积11|62|2(2)|822ABCCASBDxx.