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1、2023 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学数学一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合1,2,3,4,5,1,3,1,2,4UAB，则UBA（）A.1,3,5B.1,3C.1,2,4D.1,2,4,5【答案】A【解析】【分析】对集合 B 求补集，应用集合的并运算求结果；【详解】由3,5UB，而1,3A，所以1,3,5UBA.故选：A2.“22ab”是“222abab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要
2、条件【答案】B【解析】【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【详解】由22ab，则ab，当0ab 时222abab不成立，充分性不成立；由222abab，则2()0ab，即ab，显然22ab成立，必要性成立；所以22ab是222abab的必要不充分条件.故选：B3.若0.50.60.51.01,1.01,0.6abc，则,a b c的大小关系为（）A.cabB.cbaC.abcD.bac【答案】D【解析】【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【详解】由1.01xy 在 R 上递增，则0.50.61.011.01ab，由0.5yx在0,)上递增，则0.50.
3、51.010.6ac.所以bac.故选：D4.函数 f x的图象如下图所示，则 f x的解析式可能为（）A.25 ee2xxxB.25sin1xx C.25 ee2xxxD.25cos1xx【答案】D【解析】【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断 B 中函数的奇偶性，再判断 A、C 中函数在(0,)上的函数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于 y 轴对称，其为偶函数，且(2)(2)0ff，由225sin()5sin()11xxxx 且定义域为 R，即 B 中函数为奇函数，排除；当0 x 时25(ee)02xxx、25(ee)02xxx，即 A、C 中(0,)上函数值为正，
4、排除；故选：D5.已知函数 f x的一条对称轴为直线2x，一个周期为 4，则 f x的解析式可能为（）A.sin2xB.cos2xC.sin4xD.cos4x【答案】B【解析】【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在2x 处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：A 选项中242T，B 选项中242T，C 选项中284T，D 选项中284T，排除选项 CD，对于 A 选项，当2x 时，函数值sin202，故2,0是函数的一个对称中心，排除选项 A，对于 B 选项，当2x 时，函数值cos212，故2x 是函数的一条对称轴，故选
5、：B.6.已知 na为等比数列，nS为数列 na的前n项和，122nnaS，则4a的值为（）A.3B.18C.54D.152【答案】C【解析】【分析】由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程组，求解方程组确定首项和公比的值，然后结合等比数列通项公式即可求得4a的值.【详解】由题意可得：当1n 时，2122aa，即1122a qa，当2n 时，31222aaa，即211122a qaa q，联立可得12,3aq，则34154aa q.故选：C.7.调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数0.8245r，下列说法正确的是（）A.花瓣长度和花萼长度没有相关性B.
6、花瓣长度和花萼长度呈现负相关C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245【答案】C【解析】【分析】根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断 ABC 选项，根据相关系数的定义可以判断 D选项.【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A 选项错误散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B 选项错误，C 选项正确；由于0.8245r 是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是0.8245，D 选项错误故选：C8.在三棱锥PABC中，线段PC上的点M满
7、足13PMPC，线段PB上的点N满足23PNPB，则三棱锥PAMN和三棱锥PABC的体积之比为（）A.19B.29C.13D.49【答案】B【解析】【分析】分别过,M C作,MMPA CCPA,垂足分别为,M C.过B作BB平面PAC，垂足为B，连接PB,过N作NNPB,垂足为N.先证NN 平面PAC，则可得到/BBNN，再证/MMCC.由三角形相似得到13MMCC，23NNBB，再由P AMNN PAMP ABCB PACVVVV即可求出体积比.【详解】如图，分别过,M C作,MMPA CCPA,垂足分别为,M C.过B作BB平面PAC，垂足为B，连接PB,过N作NNPB,垂足为N.因为BB
8、平面PAC，BB平面PBB，所以平面PBB平面PAC.又因为平面PBB平面PACPB，NNPB，NN平面PBB，所以NN 平面PAC，且/BBNN.在PCC中，因为,MMPA CCPA，所以/MMCC，所以13PMMMPCCC，在PBB中，因为/BBNN，所以23PNNNPBBB，所以11123231119332PAMP AMNN PAMP ABCB PACPACPA MMNNSNNVVVVSBBPA CCBB.故选：B9.双曲线2222(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12FF、过2F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P 已知22PF，直线1PF的斜率为24，则双曲线的方程为（）A.221
9、84xyB.22148xyC.22142xyD.22124xy【答案】D【解析】【分析】先由点到直线的距离公式求出b，设2POF，由tanbbOPa得到OPa，2OFc.再由三角形的面积公式得到Py，从而得到Px，则可得到2224aa，解出a，代入双曲线的方程即可得到答案.【详解】如图，因为2,0Fc，不妨设渐近线方程为byxa，即0bxay，所以222bcbcPFbcab，所以2b.设2POF,则2tanPFbbOPOPa，所以OPa，所以2OFc.因为1122Pabc y,所以Pabyc，所以tanPPPabybcxxa，所以2Paxc，所以2,aabPcc，因为1,0Fc，所以12222
10、2222424PFababaackaacaaacc，所以2224aa，解得2a，所以双曲线的方程为22124xy故选：D二二、填空题填空题：本大题共本大题共 6 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 30 分分试题中包含两个空的试题中包含两个空的，答对答对 1 个的个的给给3 分，全部答对的给分，全部答对的给 5 分分10.已知i是虚数单位，化简514i23i的结果为_【答案】4i#i4【解析】【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以23i，然后计算其运算结果即可.【详解】由题意可得514i23i514i5213i4i23i23i23i13.故答案为：4i.11.在6312xx的展
11、开式中，2x项的系数为_【答案】60【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式618 41612kkkkkTCx，令1842k确定k的值，然后计算2x项的系数即可.【详解】展开式的通项公式63618 41661C212CkkkkkkkkTxxx，令1842k可得，4k，则2x项的系数为46 44612C4 1560.故答案为：60.12.过原点的一条直线与圆22:(2)3Cxy相切，交曲线22(0)ypx p于点P，若8OP，则p的值为_【答案】6【解析】【分析】根据圆2223xy和曲线22ypx关于x轴对称，不妨设切线方程为ykx，0k，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的
12、位置关系解出【详解】易知圆2223xy和曲线22ypx关于x轴对称，不妨设切线方程为ykx，0k，所以2231kk，解得：3k，由232yxypx解得：00 xy或232 33pxpy，所以2222 348333pppOP，解得：6p=当3k 时，同理可得故答案为：613.甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_【答案】.0.05.35#0.6【解析】【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公
13、式可求出第一空；根据古典概型的概率公式可求出第二个空【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5,4,6nnn，所以总数为15n，所以甲盒中黑球个数为40%52nn，白球个数为3n；甲盒中黑球个数为25%4nn，白球个数为3n；甲盒中黑球个数为50%63nn，白球个数为3n；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，所以，0.4 0.25 0.50.05P A；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B，黑球总共有236nnnn个，白球共有9n个，所以，93155nP Bn故答案为：0.05；3514.在ABC中，60A，1BC，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设
14、,ABa ACb，则AE 可用,a b表示为_；若13BFBC ，则AE AF 的最大值为_【答案】.1142ab.1324【解析】【分析】空 1：根据向量的线性运算，结合E为CD的中点进行求解；空 2：用,a b表示出AF，结合上一空答案，于是AE AF 可由,a b表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【详解】空 1：因为E为CD的中点，则0EDEC ，可得AEEDADAEECAC ，两式相加，可得到2AEADAC，即122AEab，则1142AEab；空 2：因为13BFBC ，则20FBFC ，可得AFFCACAFFBAB ，得到22AFFCAFFBACAB ，即32AFab，即
15、2133AFab.于是2211211252423312abaFbaAE Aa bb .记,ABx ACy，则222222111525225cos602221212122Axxyaa bbxyyxyE AF ，在ABC中，根据余弦定理：222222cos601BCxyxyxyxy，于是1519222122122AExyxxyAFy ，由221xyxy和基本不等式，2212xyxyxyxyxy，故1xy，当且仅当1xy取得等号，则1xy时，AE AF 有最大值1324.故答案为：1142ab；1324.15.若函数 2221f xaxxxax有且仅有两个零点，则a的取值范围为_【答案】,00,11
16、,【解析】【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断a的取值范围【详解】（1）当210 xax 时，0f x 21210axax，即1110axx，若1a 时，=1x，此时210 xax 成立；若1a 时，11xa或=1x，若方程有一根为=1x，则110a，即2a 且1a；若方程有一根为11xa，则2111011aaa ，解得：2a 且1a；若111xa 时，0a，此时110a 成立（2）当210 xax 时，0f x 21210axax，即1110axx，若1a 时，1x，显然210 xax 不成立；若1a 时，1x 或11xa，若方程有一根为1x，则110a
17、，即2a；若方程有一根为11xa，则2111011aaa ，解得：2a ；若111xa时，0a，显然210 xax 不成立；综上，当2a 时，零点为11a，11a；当20a 时，零点为11a，1；当0a 时，只有一个零点1；当01a时，零点为11a，1；当1a 时，只有一个零点1；当12a时，零点为11a，1；当2a 时，零点为1,1所以，当函数有两个零点时，0a 且1a 故答案为：,00,11,【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共
18、75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.在ABC中，角,A B C所对的边分別是,a b c已知39,2,120abA（1）求sinB的值；（2）求c的值；（3）求sin BC【答案】（1）1313（2）5（3）7 326【解析】【分析】（1）根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出sinC，再由平方关系求出cos,cosBC，即可由两角差的正弦公式求出【小问 1 详解】由正弦定理可得，sinsinabAB，即392sin120sinB，解得：13sin13B；【小问 2 详解】由余弦定理可得，2222sin
19、abcbcA，即213942 22cc ，解得：5c 或7c （舍去）【小问 3 详解】由正弦定理可得，sinsinacAC，即395sin120sinC，解得：5 13sin26C，而120A o，所以,B C都为锐角，因此253 39cos15226C，12 39cos11313B，故133 392 395 137 3sinsincoscossin1326132626BCBCBC 17.三棱台111ABCABC-中，若1A A 面111,2,1ABC ABAC ABACAAAC，,M N分别是,BC BA中点.（1）求证：1AN/平面1C MA；（2）求平面1C MA与平面11ACC A所
20、成夹角的余弦值；（3）求点C到平面1C MA的距离【答案】（1）证明见解析（2）23（3）43【解析】【分析】（1）先证明四边形11MNAC是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解【小问 1 详解】连接1,MN C A.由,M N分别是,BC BA的中点，根据中位线性质，MN/AC，且12ACMN，由棱台性质，11AC/AC，于是MN/11AC，由111MNAC可知，四边形11MNAC是平行四边形，则1AN/1MC，又1A N 平面1C MA，1MC
21、 平面1C MA，于是1AN/平面1C MA.【小问 2 详解】过M作MEAC，垂足为E，过E作1EFAC，垂足为F,连接1,MF C E.由ME 面ABC，1A A 面ABC，故1AAME，又MEAC，1ACAAA，1,AC AA 平面11ACC A，则ME 平面11ACC A.由1AC 平面11ACC A，故1MEAC，又1EFAC，MEEFE，,ME EF 平面MEF，于是1AC 平面MEF，由MF 平面MEF，故1ACMF.于是平面1C MA与平面11ACC A所成角即MFE.又12ABME，11cos5CAC，则12sin5CAC，故121 sin5EFCAC，在Rt MEF中，90
22、MEF，则43155MF，于是2cos3EFMFEMF【小问 3 详解】方法一：几何法过1C作1C PAC，垂足为P，作1C QAM，垂足为Q，连接,PQ PM，过P作1PRC Q，垂足为R.由题干数据可得，115C ACC，22115C MC PPM，根据勾股定理，2123 2522C Q，由1C P 平面AMC，AM 平面AMC，则1C PAM，又1C QAM，111C QC PC，11,C Q C P 平面1C PQ，于是AM平面1C PQ.又PR 平面1C PQ，则PRAM，又1PRC Q，1C QAMQ，1,C Q AM 平面1C MA，故PR 平面1C MA.在1Rt C PQ中，
23、11222233 22PCPQPRQC，又2CAPA，故点C到平面1C MA的距离是P到平面1C MA的距离的两倍，即点C到平面1C MA的距离是43.方法二：等体积法辅助线同方法一.设点C到平面1C MA的距离为h.1211112223323CAMCAMCVC PS，111113 2233222C C MAAMChVhSh .由11223CAMCC C MAhVV，即43h.18.设椭圆22221(0)xyabab的左右顶点分别为12,A A，右焦点为F，已知123,1AFA F（1）求椭圆方程及其离心率；（2）已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线2A P交y轴于点Q，若三角形1AP
24、Q的面积是三角形2A FP面积的二倍，求直线2A P的方程【答案】（1）椭圆的方程为22143xy，离心率为12e.（2）622yx.【解析】【分析】（1）由31acac解得2,1ac，从而求出3b，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率.（2）先设直线2A P的方程，与椭圆方程联立，消去y，再由韦达定理可得2APxx，从而得到P点和Q点坐标.由2111 221 22A QAA PQA A PA PFA A PSSSSS得23QPyy，即可得到关于k的方程，解出k，代入直线2A P的方程即可得到答案.【小问 1 详解】如图，由题意得31acac，解得2,1ac，所以22213b，所
25、以椭圆的方程为22143xy，离心率为12cea.【小问 2 详解】由题意得，直线2A P斜率存在，由椭圆的方程为22143xy可得22,0A，设直线2A P的方程为2yk x，联立方程组221432xyyk x，消去y整理得：2222341616120kxk xk，由韦达定理得222161234APkxxk，所以228634Pkxk，所以2228612,3434kkPkk，0,2Qk.所以21142A QAQSy,2112A PFPSy,12142A A PPSy，所以2111 221 22A QAA PQA A PA PFA A PSSSSS，所以23QPyy，即21222334kkk，解
26、得62k ，所以直线2A P的方程为622yx.19.已知 na是等差数列，255316,4aaaa（1）求 na的通项公式和1212nniia（2）已知 nb为等比数列，对于任意*Nk，若1221kkn，则1knkbab，（）当2k 时，求证：2121kkkb；（）求 nb的通项公式及其前n项和【答案】（1）21nan，1212123 2nnniia；（2）()证明见解析；()2nnb，前n项和为122n.【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得13,2ad，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前n项和公式计算可得121212
27、3 2nnniia.(2)()利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当1221kkn时，knba，取12kn，当21221kkn时，nkab，取121kn，即可证得题中的不等式；()结合()中的结论猜想2nnb，然后分别排除2q 和2q 两种情况即可确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前n项和公式即可计算其前n项和.【小问 1 详解】由题意可得2515325624aaadaad，解得132ad，则数列 na的通项公式为1121naandn，注意到1122 2121nnna ，从12na到2 1na共有1121212nnn 项，故11121121122121222122122
28、222322nnnnnnnnnnniia.【小问 2 详解】()由题意可知，当1221kkn时，knba，取12kn，则1122 2121kkkkba ，即21kkb，当21221kkn时，nkab，取121kn，此时11212 21121kkknaa，据此可得21kkb，综上可得：2121kkkb.()由()可知：123413,35,79,1517bbbb，据此猜测2nnb，否则，若数列的公比2q，则1111122nnnnbbqb，注意到112211 2nnn，则12210nn不恒成立，即1221nn不恒成立，此时无法保证21nnb，若数列的公比2q，则1111123 2nnnnbbqb，注
29、意到113 22121nnn，则1210n不恒成立，即13221nn不恒成立，此时无法保证21nnb，综上，数列的公比为2，则数列的通项公式为2nnb，其前n项和为：12122212nnnS.【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前n项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益.20.已知函数 11ln12f xxx（1）求曲线 yf x在2x 处切线的斜率；（2）当0 x 时，证明：1f x；（3）证明：51ln!ln162nnnn【答案】（1）1ln334（2）证明见解
30、析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率；（2）问题化为0 x 时2ln12xxx，构造2()ln12xg xxx，利用导数研究单调性，即可证结论；（3）构造 1()ln!ln2h nnnnn，*Nn，作差法研究函数单调性可得()(1)1h nh，再构造(5)(1)()ln42xxxxx且0 x，应用导数研究其单调性得到(5)(1)ln42xxxx恒成立，对()(1)h nh n作放缩处理，结合累加得到311(1)()ln2 12126hh n，即可证结论.【小问 1 详解】ln(1)ln(1)()2xxf xx，则211ln(1)()(1)2(1)xfxx xxx，所
31、以1ln3(2)34f，故2x 处的切线斜率为1ln334；【小问 2 详解】要证0 x 时 11ln112f xxx，即证2ln12xxx，令2()ln12xg xxx且0 x，则22214()01(2)(1)(2)xg xxxxx，所以()g x在(0,)上递增，则()(0)0g xg，即2ln12xxx.所以0 x 时 1f x.【小问 3 详解】设 1()ln!ln2h nnnnn，*Nn，则 1111(1)()1()ln()ln11()ln(1)222h nh nnnnnnn ，由（2）知：1xn(0,1，则111()()ln(1)12fnnn，所以(1)()0h nh n，故()h
32、 n在*Nn上递减，故()(1)1h nh；下证15ln(!)()ln()26nnnn，令(5)(1)()ln42xxxxx且0 x，则22(1)(1)()(21)xxxxx，当01x时()0 x，()x递增，当1x 时()0 x，()x递减，所以()(1)0 x，故在0,x上(5)(1)ln42xxxx恒成立，则11(6)()1111111()(1)()ln(1)1()1()2224(32)1212(3)nnh nh nnnnnnnnn ，所以11(2)(3)(1)122hh，111(3)(4)()12 23hh，111(1)()()121h nh nnn，累加得：11(2)()(1)12hh nn，而3(2)2ln22h，则113()(1)2ln2122h nn，所以311311(1)()ln2 1(1)ln2 12122126hh nn ，故5()6h n；综上，5()16h n，即 51ln!ln162nnnn.【点睛】关键点点睛：第三问，作差法研究 1()ln!ln2h nnnnn单调性证右侧不等关系，再构造(5)(1)()ln42xxxxx且0 x，导数研究其函数符号得(5)(1)ln42xxxx恒成立，结合放缩、累加得到311(1)()ln2 1(1)212hh nn 为关键.