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1、单元提升卷03 函数-2024年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考通用）单元提升卷03 函数（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1函数的大致图象为（）ABCD2下列函数中，值域为的是（）ABCD3已知函数，且，则实数的值等于（）ABC2D4（ 2023山西临汾统考二模）已知函数是定义在上的连续函数，且满足，.则的值为（）ABCD5已知方程有两个不同的解，则（）ABCD6已知定义域为的函数，若对任意的、，都有，则称函数为“定义域上的函数”，给出以下五个函数：，；，；，；，；，其中是“定义域
2、上的函数”的有（）A个B个C个D个7定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，有（）ABCD8已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的，均有成立，则不等式的解集为（）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9已知函数，则（）ABC的最小值为1D的图象与轴有1个交点10某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：），环境温度为（，单位），物体的温度冷却到（，单位：）需用时t（单位：分钟），推导出函数关系为，k为正的常数现有一壶开水（100）放在室温为20的房间里，根据
3、该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则（）（参考数据：）A函数关系也可作为这壶外水的冷却模型B当时，这壶开水冷却到40大约需要28分钟C若，则D这壶水从100冷却到70所需时间比从70冷却到40所需时间短11已知幂函数对任意且，都满足，若，则（）ABCD12在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示下列结论正确的是（）A甲车出发2h时，两车相遇B乙车出发1.5h时，两车相距170kmC乙车出
4、发2h时，两车相遇D甲车到达C地时，两车相距40km三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13有下列说法：；16的4次方根是； 其中，正确的有_(填序号)14已知函数在上有零点，则实数a的取值范围是_15已知函数是二次函数又是幂函数，函数，函数，则的值为_16已知为定义在R上的奇函数，为偶函数，且对任意的，都有，试写出符合上述条件的一个函数解析式_.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17（1）已知，求.（用表示）（2）已知，求.（用表示）18已知函数.(1)作出函数的图象；(2)就a的取值范围讨论函数的零点的个数19已知是定义在上的奇函数(1
5、)求实数的值；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围20已知函数，且，当的定义域是时，此时值域也是.(1)求的值；(2)若，证明为奇函数，并求不等式的解集.21已知函数是定义在上的奇函数，且当时，(1)求函数的解析式和单调区间；(2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围22已知函数.(1)若在区间上恒成立，求m的取值范围；(2)当时，证明：在区间内至少有2个零点.单元提升卷03 函数（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1函数的大致图象为（）ABCD【答案】D【分析】求出
6、函数的定义域，探讨其奇偶性，再结合时函数值为正即可判断作答.【详解】由，得，即函数的定义域为，显然，即函数是奇函数，其图象关于原点对称，AB不满足；当时，于是，其图象在第一象限，C不满足，D满足.故选：D2下列函数中，值域为的是（）ABCD【答案】B【分析】分别求出每个函数的值域，即可得出答案【详解】对于A：定义域为，值域，故A错误，对于B：定义域为，因为，所以，故B正确；对于C：定义域为，因为，所以，所以，故C错误；对于D：因为，所以，故D错误，故选：B3已知函数，且，则实数的值等于（）ABC2D【答案】D【分析】利用抽象函数定义域求法求解即可；【详解】令，解得或由此解得，故选：D4（ 20
7、23山西临汾统考二模）已知函数是定义在上的连续函数，且满足，.则的值为（）ABCD【答案】D【分析】令，代入原式可得，列出等式，再利用累加法计算即可.【详解】令，因为，得，即，因为，将上述个式子累加得，.故选：D【点睛】求解本题的关键是通过赋值法，令，将原式转化为，列出等式，利用累加法计算即可.5已知方程有两个不同的解，则（）ABCD【答案】D【分析】根据题意，将方程解问题转化为及的图像交点问题，再结合图像列出不等关系，即可得到结果.【详解】由于，即，在同一坐标系下做出函数及的图像，如图所示：由图知在上是减函数，故，由图知，所以，即，化简得，即，故选：D.6已知定义域为的函数，若对任意的、，都
8、有，则称函数为“定义域上的函数”，给出以下五个函数：，；，；，；，；，其中是“定义域上的函数”的有（）A个B个C个D个【答案】C【解析】本题首先可以根据题意得出，然后对题目中给出五个函数依次进行研究，得出它们的和并进行比较，即可得出结果.【详解】，即，：因为，所以，易知恒成立，满足；：因为，所以，当时，不满足；：因为，所以，因为，所以，恒成立，满足；：因为，所以，因为，所以，故恒成立，满足；：因为，所以，因为，所以，故恒成立，满足，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，能否根据题意明确“定义域上的函数”的含义是解决本题的关键，可通过求出函数的和并进行比较来判断函数是否是“定义域上的
9、函数”，考查计算能力，是中档题.7定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，有（）ABCD【答案】B【分析】函数的图象关于直线对称可得，再根据当时，单调递减可得答案.【详解】定义在上的函数的图象关于直线对称，所以，所以，因为当时，为单调递增函数，定义在上的函数的图象关于直线对称，所以当时，单调递减，因为，所以，即.故选：B.8已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的，均有成立，则不等式的解集为（）ABCD【答案】D【分析】构造函数，则在上递增，判断也是是定义在上的奇函数，可得在上递增，分类讨论列不等式求解即可.【详解】因为对任意的，均有成立，不妨设，则，所以，构造函数，则在上递增，因为是定义在上
10、的奇函数，所以也是是定义在上的奇函数，所以在上递增，不等式化为，因为，则，或；时，不合题意；综上不等式的解集为，故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9已知函数，则（）ABC的最小值为1D的图象与轴有1个交点【答案】ACD【分析】利用换元法求出的解析式，然后逐一判断即可.【详解】令，得，则，得，故，A正确，B错误.，所以在上单调递增，的图象与轴只有1个交点，C正确，D正确.故选：ACD10某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：），环境温度为（，单位），物
11、体的温度冷却到（，单位：）需用时t（单位：分钟），推导出函数关系为，k为正的常数现有一壶开水（100）放在室温为20的房间里，根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则（）（参考数据：）A函数关系也可作为这壶外水的冷却模型B当时，这壶开水冷却到40大约需要28分钟C若，则D这壶水从100冷却到70所需时间比从70冷却到40所需时间短【答案】BCD【分析】对A，利用指对互化即可判断A；对B，将数据代入公式即得到；对C，根据，解出值，再代入数据即可判断；对D，分别代入公式计算冷却时间，作差比价大小即可.【详解】对A，由，得，所以，整理得A项错误；对B，由题意可知 ，B项正确；对C，由，得，
12、即，则C项正确；对D，设这壶水从100冷却到70所需时间为分钟，则，设这壶水从70冷却到40所需时间为分钟，则，因为，所以，D项正确故选：BCD11已知幂函数对任意且，都满足，若，则（）ABCD【答案】BD【分析】由已知函数为幂函数可得，再由已知可得此函数在上递增，则，从而可求出函数解析式，然后判断函数奇偶性和单调性，从而可判断选项AB，对于CD，作差比较即可.【详解】因为为幂函数，所以，解得或，因为对任意且，都满足，所以函数在上递增，所以当时，不合题意，当时，所以因为，所以为奇函数，所以由，得，因为在上为增函数，所以，所以，所以A错误，B正确，对于CD，因为，所以，所以，所以C错误，D正确，
13、故选：BD12在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示下列结论正确的是（）A甲车出发2h时，两车相遇B乙车出发1.5h时，两车相距170kmC乙车出发2h时，两车相遇D甲车到达C地时，两车相距40km【答案】BCD【分析】观察函数图象可知，当t2时，两函数图象相交，结合交点代表的意义，即可得出结论A错误；根据速度路程时间分别求出甲、乙两车的速度，再根据时间路程速度和可求出乙车出发1.5h时，两车相
14、距170km，结论B正确；据时间路程速度和可求出乙车出发2h时，两车相遇，结论C正确；结合函数图象可知当甲到C地时，乙车离开C地0.5小时，根据路程速度时间，即可得出结论D正确【详解】观察函数图象可知，当t2时，两函数图象相交，C地位于A、B两地之间，交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论A错误；甲车的速度为240460（km/h），乙车的速度为200（3.51）80（km/h），（240+20060170）（60+80）1.5（h），乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论B正确；，乙车出发时，两车相遇，结论C正确；80（43.5）40（km），甲车到达C地时，两车相距40
15、km，结论D正确；故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13有下列说法：；16的4次方根是； 其中，正确的有_(填序号)【答案】【分析】根据n次方根的定义求解.【详解】n为奇数时，负数的n次方根是一个负数，故错误；16的4次方根有两个，为 ，故正确；因为，故错误；因为是正数，故，故正确故答案为：14已知函数在上有零点，则实数a的取值范围是_【答案】【分析】分和两种情况，根据零点的定义结合分式不等式运算求解.【详解】当时，函数，无零点，不合题意；当时，由，解得，所以，即，解得或；综上所述：实数a的取值范围是.故答案为：.15已知函数是二次函数又是幂函数，函数，函数，则的值为
16、_【答案】82【分析】根据已知得出，在根据函数的解析式得出其定义域，并结合对数运算得出，即可根据函数奇偶性的定义得出函数为奇函数，即可根据奇函数的性质得出，根据已知结合函数的解析式与的奇偶性得出，且，即可根据所求式子的规律得出答案.【详解】函数是二次函数又是幂函数，在上恒成立，函数，定义域为，函数为奇函数，且则，故答案为：82.16已知为定义在R上的奇函数，为偶函数，且对任意的，都有，试写出符合上述条件的一个函数解析式_.【答案】（答案不唯一）【分析】根据给定的奇偶性，推理计算得函数的周期性，再结合单调性求解作答.【详解】因为是定义在R上的奇函数，则，且，又为偶函数，则，即，于是，则，即是以为
17、周期的周期函数，对任意，都有，可得在单调递减，不妨设，由题意，所以，则，当时，因为在上单调递减，且在上单调递增，所以，不妨取，此时.故符合上述条件的一个函数解析式，（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17（1）已知，求.（用表示）（2）已知，求.（用表示）【答案】（1）；（2）【分析】（1）由指数式与对数式的关系可得，结合对数运算公式化简即可；（2）由指数与对数关系可得，利用换底公式和对数运算公式化简可得结论.【详解】（1）因为，所以，所以.（2）因为，所以，所以.18已知函数.(1)作出函数的图象；(2)就a的取
18、值范围讨论函数的零点的个数【答案】(1)作图见解析(2)答案见解析【分析】（1）先作出的图象，然后将其在x轴下方的部分翻折到x轴上方；（2）数形集结合，函数的零点的个数就是函数的图象与直线的交点的个数【详解】（1）先作出的图象，然后将其在x轴下方的部分翻折到x轴上方，原x轴上及其上方的图象及翻折上来的图象便是所要作的图象.（2）由图象易知，函数的零点的个数就是函数的图象与直线的交点的个数.当时，函数的零点的个数为0；当与时，函数的零点的个数为2；当时，函数的零点的个数为4；当时，函数的零点的个数为3.19已知是定义在上的奇函数(1)求实数的值；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】(1
19、)(2)【分析】（1）根据奇函数即可求出结果；（2）根据的奇偶性和单调性即可求出结果.【详解】（1）因为为定义在上的奇函数，所以，所以 此时，经验证，故（2）由（1）可知，任取，则，因为，则，所以所以是上的增函数 由恒成立，得恒成立，则，所以恒成立，因为，所以实数的取值范围为：20已知函数，且，当的定义域是时，此时值域也是.(1)求的值；(2)若，证明为奇函数，并求不等式的解集.【答案】(1)，或，(2)证明见解析，【分析】（1）分以及，根据函数的单调性，列出方程组，即可求出答案；（2）根据已知得出，求出，化简即可得出证明；根据函数的奇偶性以及函数的单调性，列出不等式，求解即可得出答案.【详解
20、】（1）当时，函数单调递减，且.又在上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，所以，解得；当时，函数单调递增，且.又在上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，所以，解得.综上，或，.（2）因为，所以，则，定义域为，且函数在上单调递增.因为，所以为奇函数.则不等式，可化为.又函数在上单调递增，则，即，所以不等式的解集为.21已知函数是定义在上的奇函数，且当时，(1)求函数的解析式和单调区间；(2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围【答案】(1)；单调增区间为，；单调减区间为，(2)【分析】（1）由奇函数求解函数的解析式，并求解单调区间即可；（2）
21、方程有两个不相等的实数根，转化为与的图象有两个不同的交点，画出图象求解即可.【详解】（1）当时，；当时，有，此时故函数的解析式为 当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；由奇函数的性质，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；故函数的单调增区间为，；单调减区间为，；（2）如图：当时，；当时，；当时，；当时，；故22已知函数.(1)若在区间上恒成立，求m的取值范围；(2)当时，证明：在区间内至少有2个零点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设，由已知可得在上恒成立，利用定义判断函数的单调性，结合单调性求其最小值，由此可得m的取值范围；（2）判断函数值的正负，结合零点存在性定理证明结论.【详解】（1）在上恒成立，则，设，则，函数在上恒成立，令，则，在区间2，+）上任取实数，且，. ，在上是增函数.，. 的取值范围为.（2）， ，.， 又在（0，+）上连续由零点存在性定理知函数在，内各至少有一个零点.在内至少有2个零点.