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1、单元提升卷08 数列-2024年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考通用）单元提升卷08 数列（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1数列中，则（）ABCD2已知公差不为零的等差数列的前项和为，则（）A17B34C48D513已知数列的前项和为，且，则（）A210B110C50D554已知等差数列的前n项和为，则（）ABCD5赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，光洁美观，已被列为全国十一大优势农产品之一，荣获“中华名果”等称号.某脐橙种植户为成立一个果园注入了启动资金800万元，已知每年可获利，但由
2、于竞争激烈，每年年底需要从利润中取出100万元进行技术改造和广告投入，方能保持原有的利润率，则至少经过（）年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标？（参考数据：，）A7B8C9D106已如公比不为1的等比数列中，存在，满足，则的最小值为（）ABCD7已知是等比数列的前项和，且，则（）ABCD8已知，设，为数列的前项和，则（）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9已知等差数列的公差为d，前项和为，且，则（）ABCD当或2时，取得最小值10已知数列为等比数列，为数
3、列的前n项和，则（）A为等比数列B为等比数列C为等比数列D不为等比数列11提丢斯-波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一个经验公式来表示，即数列：，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离（以天文单位为单位）.现将数列的各项乘以10后再减4，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（）A数列的通项公式为B数列的第20项为C数列的前10项和为157.3D数列的前项和12斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列
4、”斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，记是数列的前项和，则（）ABCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13等比数列满足，数列满足，时，则数列的通项公式为_.14已知公差不为零的等差数列满足，、成等比数列，为数列的前项和，则的最小值为 _15首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，现有下列4个命题：若，则；若，则；若，则中最大；若，则使的的最大值为11其中所有真命题的序号是_16设数列的前n项和为，若存在实数A，使得对于任意的，都有，则称数列为“T数列”则以下为“T数列”的是_数列是等差数列，且，公差；数列是等比数列，且公比q满足；若
5、，四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17在等差数列中，前n项和为Sn，.(1)求d的值；(2)求的值.18设等差数列的前n项和为，已知，是公差为的等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.19已知数列为正项等差数列，数列为递增的正项等比数列，.(1)求数列，的通项公式；(2)数列满足，求数列的前2n项的和.20已知正项数列满足，且，.(1)已知，求的通项公式；(2)求数列的前2023项和.21已知数列满足以下三个条件，从中任选一个.条件：为数列的前项和，且；条件：数列是首项为1的等比数列，且成等差数列；数列的各项均为正数，为其前项和，且
6、，数列满足；条件：数列满足，且.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：.22设是等差数列，其前项和为（），为等比数列，公比大于1已知，(1)求和的通项公式；(2)设，求的前项和；(3)设，求证：单元提升卷08 数列（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1数列中，则（）ABCD【答案】B【分析】根据递推关系式可证得数列是以为周期的周期数列，由可求得结果.【详解】由，知：；由得：，即，即数列是以为周期的周期数列，.故选：B.2已知公差不为零的等差数列的前项和为，则（）A17B3
7、4C48D51【答案】D【分析】设公差为，则由已知条件可得，然后求解，再代入中化简可得答案.【详解】设公差为，则，则.故选：D.3已知数列的前项和为，且，则（）A210B110C50D55【答案】A【分析】写出时，与已知式相减得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为2，再由求得，然后再利用等差数列的求和公式即可求得本题答案.【详解】因为，所以当时，两式相减得，由，可得，进而，所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为2，又，而，所以， 故选：A4已知等差数列的前n项和为，则（）ABCD【答案】A【分析】根据条件求出的通项公式，再运用裂项相消法求和.【详解】设等差数列的公差为d，因为，所
8、以，又，即 ， ，代入，解得，则，所以 ；故选：A.5赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，光洁美观，已被列为全国十一大优势农产品之一，荣获“中华名果”等称号.某脐橙种植户为成立一个果园注入了启动资金800万元，已知每年可获利，但由于竞争激烈，每年年底需要从利润中取出100万元进行技术改造和广告投入，方能保持原有的利润率，则至少经过（）年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标？（参考数据：，）A7B8C9D10【答案】D【分析】首先根据条件找到关于果园资金的递推公式，再根据递推公式求通项公式，再根据，结合对数不等式，即可求解.【详解】设经过年之后，该果园的资金为万元，由题意知，又，
9、可知，数列为首项为，公比为的等比数列，即，令，可得，.故选：D.6已如公比不为1的等比数列中，存在，满足，则的最小值为（）ABCD【答案】B【分析】由等比数列的通项公式可得，从而可知，所求式子即可变形为，结合基本不等式即可求出最小值.【详解】设等比数列的公比为，因为，可得，即，可得，且，由，因为，所以，则，得到，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为，故选：B.7已知是等比数列的前项和，且，则（）ABCD【答案】A【分析】由与的关系求出数列的通项公式，推导出数列为等比数列，确定其首项和公比，结合等比数列求和公式可求得所求代数式的值.【详解】因为，所以，又是等比数列，所以，即，解得，所以当时，又
10、满足，所以，故数列是公比为，首项为的等比数列，所以故选：A.8已知，设，为数列的前项和，则（）ABCD【答案】B【分析】在等式两边同时除以得，推导出，结合放缩法可判断B选项；利用的值可判断AD选项；利用的值可判断C选项.【详解】由以及，可知，以此类推可知，对任意的，在等式两边同除得，即，则，因为，则，所以当时，所以，B对，因为以及，则，所以，所以，不满足AD选项，不满足C选项，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9已知等差数列的公差为d，前项和为，且，则（）ABCD当或2时，取得
11、最小值【答案】ABD【分析】对于A：根据题意列式求解可得，即可得结果；对于B：根据等差数列的通项公式分析判断；对于C：根据通项公式运算求解；对于D：先根据等差数列的求和公式求出，再结合二次函数的对称性分析判断.【详解】由题意可得，解得，故A正确；所以，故B正确；所以，故C错误；所以因为，所以当或时，取得最小值，故D正确故选：ABD10已知数列为等比数列，为数列的前n项和，则（）A为等比数列B为等比数列C为等比数列D不为等比数列【答案】BCD【分析】根据等比数列的定义，验证各选项中的数列是否正确.【详解】设等比数列的公比为q，当时，不是等比数列，故A错误；因为，故是公比为的等比数列，故B正确；，
12、故是公比为的等比数列，故C正确；若为等比数列，则有，即，化简得，不合题意，所以不为等比数列，故D正确.故选：BCD11提丢斯-波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一个经验公式来表示，即数列：，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离（以天文单位为单位）.现将数列的各项乘以10后再减4，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（）A数列的通项公式为B数列的第20项为C数列的前10项和为157.3D数列的前项和【答案】CD【分析】由题意先求出，即可判断选项A；由和的
13、关系，求出，求出，即可判断选项B；由的通项公式，由分组求和结合等差数列和等比数列的求和公式求解，从而判断选项C，利用错位相减法求出，即可判断选项D【详解】数列各项乘以10后再减4得到数列，故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以，故A错误；从而，所以，故B错误；数列的前10项和为，C正确；因为，所以当时，当时，所以，所以，又当时，也满足上式，所以，故D正确.故选：CD.12斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，记是数列的前项和，则（）ABCD【答案】AB
14、D【分析】利用递推公式逐项计算可得的值，可判断A；推导出，分别令取偶数，奇数和正整数，结合累加法求解，可判断BCD【详解】，故A正确；对任意的，则，当取偶数时，得，相加得则，又，则，故B正确；对任意的，则，当取奇数时，得，相加得则，故C错误；对任意的，则，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13等比数列满足，数列满足，时，则数列的通项公式为 .【答案】【分析】由题意列方程组可求得，继而可得时，利用累加法以及等比数列的前n项和公式，即可求得答案.【详解】根据题意得，解得，故，故时，故，显然n=1时也满足上式.故答案为：14已知公差不为零的等差数列满足，、成等比数
15、列，为数列的前项和，则的最小值为 【答案】【分析】根据条件可求出，从而得出，然后即可求出的最小值【详解】设等差数列的公差为，成等比数列，解得，或15时，取最小值故答案为：15首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，现有下列4个命题：若，则；若，则；若，则中最大；若，则使的的最大值为11其中所有真命题的序号是 【答案】【分析】由题意可以推出，不能推出，判断错误；由题意可得，判断出正确；由题意可得，判断出正确；由题意可得，进而，判断出正确【详解】若，则，不能推出，即不能推出，故错误；若，则，即，则，故正确；若，则，所以，则中最大，故正确；若，则，即，因为首项为正数，则公差小于0，则，则，则使
16、的的最大值为11，故正确故答案为：16设数列的前n项和为，若存在实数A，使得对于任意的，都有，则称数列为“T数列”则以下为“T数列”的是 数列是等差数列，且，公差；数列是等比数列，且公比q满足；若，【答案】【分析】对于中的数列，分别求前项和，判断是否存在实数，使得对任意的，都有，即可判断该数列是否为“数列”，即可得正确答案.【详解】对于：是等差数列，且，公差，由等差数列的前项和公式可得：，当无限大时，也无限大，所以数列不是 “数列”，故不正确；对于：若是等比数列，且公比满足；所以，满足“数列”的定义，故正确；对于：，所以，则数列是“数列”，故正确；对于：在数列中，当是奇数时，数列中的奇数项构成
17、常数列，且各项都是，当是偶数时，即任意两个连续偶数和为，当时，所以不是“数列”，综上所述为“数列”的是：，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17在等差数列中，前n项和为Sn，.(1)求d的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列通项之间的关系即可求公差d的值；（2）利用等差数列的求和公式直接计算即可.【详解】（1）为等差数列，公差为因为，所以.解得（2）18设等差数列的前n项和为，已知，是公差为的等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得，可求出，则可出公差，
18、从而可求出的通项公式；（2）由（1）得，然后利用裂项相消求和法可求得结果.【详解】（1）因为是公差为的等差数列，所以.又因为，所以. 设的公差为d，则.故.（2）因为，所以.19已知数列为正项等差数列，数列为递增的正项等比数列，.(1)求数列，的通项公式；(2)数列满足，求数列的前2n项的和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，然后根据已知条件列方程组可求出，从而可求出数列，的通项公式；（2）由（1）得，然后利用分组求和法可求得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，因为，所以得，解得或，因为数列为正项数列，为正项递增数列，所以解
19、得，所以，（2）由（1）得，所以数列的前2项和为 .20已知正项数列满足，且，.(1)已知，求的通项公式；(2)求数列的前2023项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由可得，从而得到，进而得到是以为首项，公比为的等比数列，再根据等比数列的通项公式即可求解；（2）由可得，从而有，得到数列偶数项具有周期性，最后根据分组求和即可.【详解】（1），即，即，是以为首项，公比为的等比数列，.（2），又，即，即数列偶数项具有周期性，所以21已知数列满足以下三个条件，从中任选一个.条件：为数列的前项和，且；条件：数列是首项为1的等比数列，且成等差数列；数列的各项均为正数，为其前项和，且，数列满足；条件：数
20、列满足，且.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）若选条件，则由，得，两式相减化简可得数列的奇数项、偶数项分别是以1，2为首项，2为公差的等差数列，从而可求出，进而可求出，若选条件，则由已知条件列方程可求出公比，则可求出，再由，得，两式相减化简可得为等差数列，从而可求出，进而可求出，若选条件，则可得，令，再利用累加法可得，再利用累加法得，进而可求出，（2）由（1）得，利用错位相减法可求出，然后通过判断的单调性可证得结论.【详解】（1）若选条件：因为，所以，两式相减，得.因为，所以.又，所以，所以数列的奇数项、偶数项分别是以1，2为首
21、项，2为公差的等差数列.当时，；当时，.综上所述，.所以.若选条件：设数列的公比为，因为是首项为1的等比数列，且满足成等差数列，所以，且，即，解得，所以.因为数列的各项均为正数，为其前项和，且满足，所以当时，则，因为，所以，两式相减得，即.因为，故，所以.所以数列为等差数列，故.所以.若选条件：由，得.令，则.当时，又满足上式，所以，即.所以当时，.又满足上式，所以，所以.（2）证明：由（1）知，则，所以.-可得：.所以.因为，所以.又，所以是递增数列.所以，故.22设是等差数列，其前项和为（），为等比数列，公比大于1已知，(1)求和的通项公式；(2)设，求的前项和；(3)设，求证：【答案】(1)，(2)(3)证明见解析【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意得到方程组，求出、，即可得解；（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得；（3）由（1）可得，即可得到，利用放缩法及等边数列求和公式计算可得.【详解】（1）依题意设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，又，所以，解得或（舍去），所以，.（2）由（1）可得，设的前项和为，所以.（3）因为，所以，所以，所以.