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1、第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司2024成都石室阳安高三数学（理科）入学考试2024成都石室阳安高三数学（理科）入学考试一、单选题一、单选题1.设集合1|2Sx x，31|21xTx，则ST=A.B.1|2x x C.1|3x x D.11|23xx2.在复平面内，复数z对应点的坐标为2,1，则iz（）A.12i B.2i C.12i D.2i3.走路是最简单优良的锻炼方式，它可以增强心肺功能，血管弹性，肌肉力量等，甲、乙两人利用手机记录了去年下半年每个月的走路里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（）A.甲走路里程的极差等于10B.乙走
2、路里程的中位数是26C.甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数D.甲下半年每月走路里程的标准差小于乙下半年每月走路里程的标准差4.若实数 x，y 满足约束条件10240230yxyxy，则3zyx的最大值为（）A.12B.2C.5D.85.下列命题正确的是（）A.命题“pq”为假命题，则命题p与命题q都是假命题B.命题“若xy，则sinsinxy”的逆否命题为真命题C.若0 x使得函数 f x的导函数00fx，则0 x为函数 f x的极值点；的第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司D.命题“0 xR，使得20010 xx”的否定是：“x R，均有210 xx”6
3、.已知中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线的离心率为5，则它的渐近线方程为（）A.2yx B.52yx C.12yx D.6yx 7.把一个铁制的底面半径为4，侧面积为163的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的表面积为（）A.16B.12C.24D.98.从分别写有 1，2，3，4，55 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A.25B.35C.12D.139.已知函数 yf x是定义在R上奇函数，且满足 20f xf x，当0,1x时，21xf x，则112f（）A.8 21B.2 21C.21D.1210.已知12,
4、F F是双曲线 C 的两个焦点，P 为 C 上一点，且121260,3FPFPFPF，则 C 的离心率为（）A.72B.132C.7D.1311.设38a，0.5log0.2b，4log 24c，则（）A.acbB.abcC.bacD.b c a12.过点1,2可作三条直线与曲线3()3f xxxa相切，则实数 a 的取值范围为（）A.1,2B.2,3C.3,4D.4,5二、填空题二、填空题13.若直线220(,0)axbya b始终平分圆224280 xyxy的周长，则12ab的最小值为的的第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司14.已知直线1:10lxmy 过定点 A，直线2:3
5、0lmxym过定点B，1l与2l相交于点P，则22PAPB_15.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：cm）服从正态分布2100,10N，若测量 10000 株水稻，株高在80,90的约有_（若2,XN，0.6827,220.9545PXPX）16.现有如下命题：若13nxnx xN的展开式中含有常数项，且 n 的最小值为 10；1211d2xx；若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的 6 个小球，其中红球有 2 个，白球有 4 个，每次取一个，取后放回，连续取三次，设随机变量表示取出白球的次数，则 2E；若定义在 R 上的函数 f x满足 22f xf x，则 f
6、x的最小正周期为 8则正确论断有_（填写序号）三、解答题三、解答题17.为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，已知所有学生的成绩均位于区间60,100，从中随机抽取 1000 名学生的竞赛成绩作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图（1）若此次活动中获奖的学生占参赛总人数30%，试估计获奖分数线；（2）采用比例分配分层随机抽样方法，从成绩不低于 80 的学生中随机抽取 7 人，再从这 7 人中随机抽取 2 人，记成绩在90,100的人数为，求的分布列和数学期望18.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形，E 为 AB 的中点，,1,3,13PDCE AEPDP
7、C的第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：AD 平面 PCD.（2）求 DA 与平面 PCE 所成角的正弦值.19.已知函数 22lnf xxaxb在1x 处取得极值 1.（1）求a，b值；（2）求 f x在1,ee上的最大值和最小值.20.设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，点2,0Dp，过F的直线交C于M，N两点当直线MD 垂直于x轴时，5MF（1）求C的方程；（2）在x轴上是否存在一定点Q，使得_？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由从点N关于x轴的对称点N与M，Q三点共线；x轴平分MQN这两个条件中选一个，补充在题目中“_”处并作答注：如果选择
8、两个条件分别解答，则按第一个解答计分21.已知函数()lnxaf xxx.（1）讨论函数()f x的单调性；（2）证明：当0 x 时，1ln(1)11xxx22.在平面直角坐标系xOy中，曲线1cos:1 sinxCy （为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2cos（1）写出曲线1C的极坐标方程，曲线2C的直角坐标方程；（2）设点 M 的极坐标为(2,0)M，射线0,04与曲线1C、2C分别交于 A、B 两点（异于极点），当4AMB时，求线段AB的长的第 5 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司23.设()34f xxx（1）解不等式()2f
9、 x；（2）已知实数 x、y、z 满足222236(0)xyza a，且xyz的最大值是 1，求 a 的值第 1 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司成都石室阳安高三数学（理科）入学考试成都石室阳安高三数学（理科）入学考试一、单选题一、单选题1.设集合1|2Sx x，31|21xTx，则ST=A.B.1|2x x C.1|3x x D.11|23xx【答案】D【解析】【分析】先解出集合 T,然后集合 T 与集合 S 取交集即可.【详解】313101|21|22|310|3xxTxxxxx x,集合12Sx x，则11|23STxx故选 D【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.在
10、复平面内，复数z对应的点的坐标为2,1，则iz（）A.12i B.2i C.12i D.2i【答案】C【解析】【分析】根据复数对应点坐标得z的值，再利用复数的除法可得结果.【详解】复数z对应的点的坐标为2,1，则2iz ，所以222i2ii12iiiiz .故选：C.3.走路是最简单优良的锻炼方式，它可以增强心肺功能，血管弹性，肌肉力量等，甲、乙两人利用手机记录了去年下半年每个月的走路里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（）第 2 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司A.甲走路里程的极差等于10B.乙走路里程的中位数是26C.甲下半年每月走路里程
11、的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数D.甲下半年每月走路里程的标准差小于乙下半年每月走路里程的标准差【答案】C【解析】【分析】根据折线图，得到甲、乙下半年的走路历程数据，根据极差、中位数、平均数以及标准差与数据稳定性之间的关系求解.【详解】对于 A 选项，7 12月甲走路的里程为：31、25、21、24、20、30，甲走路里程的极差为31 2011公里，A 错；对于 B 选项，7 12月乙走路的里程为：29、28、26、28、25、26，由小到大排列分别为：25、26、26、28、28、29，所以，乙走路里程的中位数是2628272，B 对；对于 C 选项，甲下半年每月走路里程的平均数31
12、252124203015166，乙下半年每月走路里程的平均数为2928262825261622766，所以，甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数，C 对；对于 D 选项，由图可知，甲下半年走路里程数据波动性大于乙下半年走路里程数据，所以甲下半年每月走路里程的标准差大于乙下半年每月走路里程的标准差，D 错.故选：C.4.若实数 x，y 满足约束条件10240230yxyxy，则3zyx的最大值为（）A.12B.2C.5D.8第 3 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司【答案】C【解析】【分析】作出可行域，根据目标函数的几何意义，平移目标函数即可求解.【详解】画出可行
13、域如图所示，由230240 xyxy解得12xy，设 A(1,2)，则目标函数3zyx，经过点 A(1,2)时在 y 轴上的截距最大，所以在点 A(1,2)处z取得最大值最大值为3 2 15z .故选：C.5.下列命题正确的是（）A.命题“pq”为假命题，则命题p与命题q都是假命题B.命题“若xy，则sinsinxy”的逆否命题为真命题C.若0 x使得函数 f x的导函数00fx，则0 x为函数 f x的极值点；D.命题“0 xR，使得20010 xx”的否定是：“x R，均有210 xx”【答案】B【解析】【分析】根据复合命题的真假判断 A，根据四种命题的关系判断 B，根据极值的定义判断 C
14、，根据命题的否定判断 D【详解】对于 A：命题“pq”为假命题，则命题p与命题q至少有一个假命题，故 A 错误；对于 B：命题“若xy，则sinsinxy”显然为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，故 B 正确；对于 C：若0 x使得函数 f x的导函数00fx，第 4 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司如果两侧的导函数的符号相反，则0 x为函数 f x的极值点；否则，0 x不是函数 f x的极值点，故 C 错误；对于 D：命题“存在0Rx，使得20010 xx”的否定是：“对任意Rx，均有210 xx”故D 错误.故选：B6.已知中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线的离心率为5，则它
15、的渐近线方程为（）A.2yx B.52yx C.12yx D.6yx【答案】C【解析】【分析】根据离心率求出ba，再根据双曲线的渐近线方程即可得解.【详解】设双曲线的方程为222210,0yxabab，因为2215cbaa，所以224ba，则2ba，所以渐近线方程为12ayxxb .故选：C.7.把一个铁制的底面半径为4，侧面积为163的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的表面积为（）A.16B.12C.24D.9【答案】A【解析】【分析】先求出圆柱的高，由圆柱和球的体积相等即可得出球的半径，再利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】设实心圆柱的高为h，因为实心圆柱的底面半径为4，侧面积为1
16、6243h，解得23h，第 5 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司则圆柱的体积为2232433V，设球的半径为R，则343233R，解得2R，因此，该铁球的表面积为2244216R.故选：A.8.从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A.25B.35C.12D.13【答案】A【解析】【分析】利用树图列举基本事件总数，再找出第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数，代入古典概型的公式求解.【详解】从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图：基本事件总
17、数为 25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10，故所求概率102255P.故选：A.9.已知函数 yf x是定义在R上的奇函数，且满足 20f xf x，当0,1x时，21xf x，则112f（）A.8 21B.2 21C.21D.12【答案】C【解析】【分析】结合已知条件 20f xf x，可以得到函数的周期性，再结合奇偶性可以将112缩小到0,1的区间内，从而求出函数值【详解】因为 20f xf x，所以 2f xf x，所以 42f xf xf x，所第 6 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司以 yf x是周期为 4 的函数，所以11113142222ffff，
18、因为 yf x是奇函数，所以112122ff，所以11212f故选：C10.已知12,F F是双曲线 C 的两个焦点，P 为 C 上一点，且121260,3FPFPFPF，则 C 的离心率为（）A.72B.132C.7D.13【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PFPF，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PFPF，由双曲线的定义可得12222PFPFPFa，所以2PFa，13PFa；因为1260FPF,由余弦定理可得222492 3cos60caaaa ，整理可得2247ca，所以22274ace，即72e.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余
19、弦定理建立,a c间的等量关系是求解的关键.11.设38a，0.5log0.2b，4log 24c，则（）A.acbB.abcC.bacD.b c a【答案】A【解析】【分析】利用指对互算、对数的运算性质和对数函数的单调性即可比较大小.【详解】33log 8log 92a，20.52442log 5log0.2log 5log 25log 24log 2bc，而44log 24log 162，则acb，故选：A.第 7 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司12.过点1,2可作三条直线与曲线3()3f xxxa相切，则实数 a 的取值范围为（）A.1,2B.2,3C.3,4D.4,5【答案
20、】D【解析】【分 析】求 导 得 到 导 函 数，设 切 点 为3000,3x xxa，得 到 切 线 方 程，代 入 点 坐 标 得 到3200235axx，设32()235g xxx，计算函数的极值，得到答案.【详解】3()3f xxxa，2()33fxx，设切点为3000,3x xxa，则切线方程为 320000333(yxxaxx x，切线过点(1,2)，3200002333 1xxaxx，整理得到3200235axx，方程有三个不等根.令32()235g xxx，则2()66g xxx，令()0g x，则0 x 或1x，当0 x 或1x 时，()0g x，函数单调递增；当01x时，(
21、)0g x，函数单调递减，极大值(0)5g，极小值4(1)g，函数ya与3200235yxx有三个交点，则45a，a的取值范围为(4,5).故选：D二、填空题二、填空题13.若直线220(,0)axbya b始终平分圆224280 xyxy的周长，则12ab的最小值为 【答案】【解析】【详解】由题意1,0aba b，所以12122233232 2babaababababab，当且仅当21,22ab时等号成立.第 8 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司14.已知直线1:10lxmy 过定点 A，直线2:30lmxym过定点B，1l与2l相交于点P，则22PAPB_【答案】13【解析】【分
22、析】根据题意求点,A B的坐标，再结合垂直关系运算求解.【详解】对于直线1:10lxmy，即10 xmy，令0y，则10 x，则10 xy，可得直线1l过定点1,0A，对于直线2:30lmxym，即 130m xy，令10 x，则30y，则13xy，可得直线2l过定点1,3B，因为110mm ，则12ll，即PAPB，所以222221 13013PAPBAB .故答案为：13.15.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：cm）服从正态分布2100,10N，若测量 10000 株水稻，株高在80,90的约有_（若2,XN，0.6827,220.9545PXPX）【答案】135
23、9 株【解析】【分析】由正态分布及其对称性求得(8090)PX，即可求得结果.【详解】由题意，100,10=，由正态分布的对称性可得第 9 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司10.95450.6827(8090)(1002010020)(100 10100 10)0.139522PXPXPX故株高在80,90的约有10000(8090)1395PX株.故答案为：1359 株.16.现有如下命题：若13nxnx xN的展开式中含有常数项，且 n 的最小值为 10；1211d2xx；若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的 6 个小球，其中红球有 2 个，白球有 4 个，每次取一个，取后
24、放回，连续取三次，设随机变量表示取出白球的次数，则 2E；若定义在 R 上的函数 f x满足 22f xf x，则 f x的最小正周期为 8则正确论断有_（填写序号）【答案】【解析】【分析】根据二项式的通项公式得到通项为523rnrn rnxC，根据展开式中含有常数项得到52nr，即可得到n的最小值；根据积分的几何意义计算即可；根据二项分布求期望的公式计算即可；根据 22f xf x 得到 4f xf x即可得到 4 是 f x的一个周期，即 8 不是最小正周期.【详解】二项式13nxx x的通项为52133rrnn rrrn rnnxxx xCC，因为展开式中含有常数项，所以502nr，即5
25、2nr，所以当2r 时，n最小，最小为 5，故错；函数21yx的图象如下所示：根据1211dxx的几何意义可得21211122xxd，故正确；第 10 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司由题意得23,3B，所以 2323E，故正确；由 22f xf x 可得 42222f xf xf xf x，所以 4 是 f x的一个周期，则 f x的最小正周期不是 8，故错.故答案为：.三、解答题三、解答题17.为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，已知所有学生的成绩均位于区间60,100，从中随机抽取 1000 名学生的竞赛成绩作为样本，绘制如图所示的频率分布直方
26、图（1）若此次活动中获奖的学生占参赛总人数30%，试估计获奖分数线；（2）采用比例分配分层随机抽样的方法，从成绩不低于 80 的学生中随机抽取 7 人，再从这 7 人中随机抽取 2 人，记成绩在90,100的人数为，求的分布列和数学期望【答案】（1）82 （2）分布列见解析，47【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图先判断出获奖的分数线所在的区间，设为x，则成绩在,100 x的概率为0.3，列出方程即可得解；（2）先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，从而可得分布列，再根据期望的计算公式计算期望即可.【小问 1 详解】根据直方图可知，成绩在80,100的频率为0.0250.010100
27、.35，大于 0.3，成绩90,100的频率为 0.1，小于 0.2，因此获奖的分数线应该介于80,90之间，第 11 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司设分数线为80,90 x，使得成绩在,100 x的概率为 0.3，即900.0250.010 100.3x，可得82x，所以获奖分数线划定为 82；【小问 2 详解】成绩在80,90的人数有0.025750.0250.010人，成绩在90,100的人数为752人，则的可能取值为 0，1，2，205227C C10(0)C21P，115227C C101C21()P，025227C C1(2)C21P，的分布列为012P10211021
28、121数学期望1010140122121217()E 18.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形，E 为 AB 的中点，,1,3,13PDCE AEPDPC （1）证明：AD 平面 PCD.（2）求 DA 与平面 PCE 所成角正弦值.的第 12 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）证明见解析（2）3 6161【解析】【分析】（1）通过证明PDAD，ADCD即可证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量方法求解线面角的正弦值.【详解】（1）证明：因为 E 为 AB 的中点，1AE，所以2CDAB，所以222CDPDPC，从而PDCD.又PDCE，CDCEC，所以
29、PD 底面 ABCD，所以PDAD.因为四边形 ABCD 是正方形，所以ADCD.又CDPDD，所以AD 平面 PCD.（2）解：以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，则2,0,0A，0,0,3P，2,1,0E，0,2,0C，所以2,1,3PE ，2,1,0EC ，2,0,0DA .设平面 PCE 的法向量为,nx y z，则0PE nEC n ，即23020 xyzxy，令3x，得3,6,4n.3 61cos,61|n DAn DAn DA ，故 DA 与平面 PCE 所成角的正弦值为3 6161.【点睛】此题考查证明线面垂直，求直线与平面所成角的正弦值，关键在于熟练掌握
30、线面垂直的判定定理，熟记向量法求线面角的方法.19.已知函数 22lnf xxaxb在1x 处取得极值 1.第 13 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司（1）求a，b值；（2）求 f x在1,ee上的最大值和最小值.【答案】（1）1a ，2b；（2）最大值为 1，最小值为24e【解析】【分析】（1）求导后，根据 10f，11f，可得1a ，2b，再检验所求值即可；（2）根据当x在1,ee上变化时，f x，fx的变化情况表可得结果.【详解】（1）因为 22lnf xxaxb，所以 22fxaxx.依题意得 10f，11f，即2201aab.解得1a ，2b，经检验，1a ，2b 符合题意
31、.所以1a ，2b（2）由（1）可知 22ln2f xxx，所以 2 1122xxfxxxx.令 0fx，得=1x，1x.当x在1,ee上变化时，f x，fx的变化情况如下表：x1e1,1e11,ee fx0 f x2e单调递增极大值 1单调递减24e又224ee，所以 f x在1,ee上的最大值为 1，最小值为24e.【点睛】本题考查了根据函数的极值求参数，要注意检验所求参数是否符合题意，考查了利用导数求函数的最大、最小值，属于基础题.20.设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，点2,0Dp，过F的直线交C于M，N两点当直线的第 14 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司MD
32、垂直于x轴时，5MF（1）求C的方程；（2）在x轴上是否存在一定点Q，使得_？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由从点N关于x轴的对称点N与M，Q三点共线；x轴平分MQN这两个条件中选一个，补充在题目中“_”处并作答注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分【答案】（1）24yx （2）答案见解析【解析】【分析】（1）当直线MD 垂直于x轴时，点M的横坐标为2p，根据抛物线的定义，252pMFp，则 C 的方程可求；（2）若选，设直线MN的方程为：1xmy，与抛物线方程联立，结合韦达定理求得直线MN的斜率，得直线MN的方程即可判断；若选，设直线MN的方程为：1xmy，与抛物线方程
33、联立，设,0Q t，由题意0MQNQkk，结合韦达定理得410m t 对任意的Rm恒成立，则1t ，得出答案【小问 1 详解】当直线MD 垂直于x轴时，点M的横坐标为2p根据抛物线的定义，252pMFp，2p则抛物线方程为：24yx【小问 2 详解】若选，若直线MNy轴，则该直线与曲线C只有一个交点，不合题意，1,0F，设直线MN方程为：1xmy，设11,M x y，22,N xy，22,Nxy联立214xmyyx，得2440ymy，216160m恒成立得124yym，124y y 的第 15 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司直线MN的斜率1212121212111444444MNy
34、yymmkxxxxm yyyyy直线MN的方程为1112144yyyxxy由2114yx，化简得121414yyxy直线MN过定点1,0，存在1,0Q 若选，若直线MNy轴，则该直线与曲线C只有一个交点，不合题意，1,0F，设直线MN的方程为：1xmy设11,M x y，22,N xy，设,0Q t联立214xmyyx，得2440ymy，216160m恒成立得124yym，124y y x轴平分MQN1212121211MQNQyyyykkxtxtmytmyt 122112121212112(1)1111ymytymytmy ytyymytmytmytmyt 1284(1)011mmtmytm
35、yt 84(1)0mmt，即410m t 对任意的Rm恒成立，则1t 存在1,0Q 21 已知函数()lnxaf xxx.（1）讨论函数()f x的单调性；（2）证明：当0 x 时，1ln(1)11xxx【答案】（1）当0a 时，函数()f x在0,上单调递增；当a0时，函数()f x 在0,a上单调递减，.第 16 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司在,a上单调递增.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导后，分类讨论a，根据导数的符号可得结果；（2）将所证不等式等价变形后，利用（1）中的单调性可证1ln(1)1xxx成立；作差构造函数，利用导数可证ln(1)1xx成立.【小问 1 详解】函数()f x的定义域为0,，因为221()()xxaxafxxxx，当0a 时，()0fx，所以函数()f x在0,上单调递增；当a4x时，不等式即342xx，解得.544.54,xx；综合上述，不等式的解集为|2.54.5xx.【小问 2 详解】由柯西不等式可得：2222222111236236xyzxyz，因为2222360 xyza a，故2axyz，而xyz的最大值是 1，故1a，当且仅当2361xyz时等号成立，故1a.