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1、索引第八章 平面解析几何第5节椭圆1.理解理解椭圆的定的定义、几何、几何图形、形、标准方程准方程.2.掌握掌握椭圆的的简单几何性几何性质(范范围、对称性、称性、顶点、离心率点、离心率).3.掌握掌握椭圆的的简单应用用.考试要求知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断 基础夯实1 1索引1.椭圆的定义椭圆的定义(1)平平面面内内与与两两个个定定点点F1，F2的的距距离离的的和和等等于于常常数数(大大于于|F1F2|)的的点点的的轨迹迹叫叫做做_.这两两个个定定点点叫叫做做椭圆的的_，两两焦焦点点间的的距距离离叫叫做做椭圆
2、的的_，焦距的一半称焦距的一半称为半焦距半焦距.(2)其其数数学学表表达达式式：集集合合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其其中中a0，c0，且，且a，c为常数：常数：若若_，则集合集合P为椭圆；若若_，则集合集合P为线段；段；若若_，则集合集合P为空集空集.知识梳理椭圆椭圆焦点焦点焦距焦距acacac索引2.椭圆的标准方程和几何性质椭圆的标准方程和几何性质索引2a2b2c(0，1)a2b2索引常用结论索引索引1.思考辨析思考辨析(在括号内打在括号内打“”“”或或“”“”)诊断自测索引解解析析(1)由由椭圆的的定定义知知，当当该常常数数大大于于|F1F2|时，其其轨迹迹才才是是椭圆
3、，而而常常数数等等于于|F1F2|时，其，其轨迹迹为线段段F1F2，常数小于，常数小于|F1F2|时，不存在，不存在这样的的图形形.索引2.(选修一修一P115习题3.1T6改改编)如如图，圆O的半径的半径为定定长r，A是是圆O内一个定点，内一个定点，P是是圆上任意一点，上任意一点，线段段AP的的垂垂直直平分平分线l和半径和半径OP相交于点相交于点Q，当点，当点P在在圆上运上运动时，点点Q的的轨迹是迹是()A.椭圆 B.双曲双曲线C.抛物抛物线 D.圆解析解析连接接QA(图略略).由已知得由已知得|QA|QP|，所以所以|QO|QA|QO|QP|OP|r.又因又因为点点A在在圆内，所以内，所以
4、|OA|OP|，根据根据椭圆的定的定义知，点知，点Q的的轨迹是以迹是以O，A为焦点，焦点，r为长轴长的的椭圆.A索引又又2a2(2b)，即即a2b，则有有a2b23b2c23，解解得得a24，b21，索引K A O D I A N T U P O T I X I N G P O U X I考点突破 题型剖析2 2索引考点一椭圆的定义及应用C索引(2)已知两已知两圆C1：(x4)2y2169,C2：(x4)2y29,动圆M在在圆C1内部且内部且和和圆C1相内切，和相内切，和圆C2相外切，相外切，则动圆圆心心M的的轨迹方程迹方程为_.解析解析设圆M的半径的半径为r，则|MC1|MC2|(13r)(
5、3r)168|C1C2|，所以所以M的的轨迹是以迹是以C1，C2为焦点的焦点的椭圆，且且2a16，2c8，索引椭圆定定义的的应用技巧用技巧(1)椭圆定定义的的应用用主主要要有有：求求椭圆的的标准准方方程程，求求焦焦点点三三角角形形的的周周长、面面积及弦及弦长、最、最值和离心率等和离心率等.(2)通常将定通常将定义和余弦定理和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周合使用求解关于焦点三角形的周长和面和面积问题.感悟提升索引C得得|MF1|MF2|236，当且当且仅当当|MF1|MF2|3时等号成立等号成立.索引(2)若若ABC的两个的两个顶点点为A(3，0)，B(3，0)，ABC周周长为16，则顶
6、点点C的的轨迹方程迹方程为_.解析解析由由题知点知点C到到A，B两点的距离之和两点的距离之和为10，故故C的的轨迹迹为以以A(3，0)，B(3，0)为焦点，焦点，长轴长为10的的椭圆，故故2a10，c3，b2a2c216.又又A，B，C三点不能共三点不能共线，索引考点二椭圆的标准方程例例2 求求满足下列各条件的足下列各条件的椭圆的的标准方程：准方程：(1)长轴是短是短轴的的3倍且倍且经过点点A(3，0)；解解若焦点在若焦点在x轴上，上，椭圆过点点A(3，0)，2a32b，b1，索引 若焦点在若焦点在y轴上，上，椭圆过点点A(3，0)，又又2a32b，a9，索引 索引 解解设方程方程为mx2ny
7、21(m0，n0，mn)，索引 索引 索引求求椭圆方程的方法：方程的方法：(1)定定义法：根据法：根据题目所目所给条件确定条件确定动点的点的轨迹是否迹是否满足足椭圆的定的定义.(2)待待定定系系数数法法：根根据据题目目所所给的的条条件件确确定定椭圆中中的的a，b.当当不不知知焦焦点点在在哪哪一一个个坐坐标轴上上时，一一般般可可设所所求求椭圆的的方方程程为mx2ny21(m0，n0，mn)，不必考，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出焦点位置，用待定系数法求出m，n的的值即可即可.感悟提升索引BCD解析解析依依题意，当意，当A为上上顶点，点，F为右焦点右焦点时，B为左左顶点，点，则|AF|a3，a
8、c5，c2，又又a2b2c2，b25，索引 当当A为右右顶点，点，F为右焦点，右焦点，B为左左顶点点时，|BF|ac5，|AF|ac3，当当B为上上顶点，点，F为右焦点，右焦点，A为右右顶点点时，|BF|a5，|AF|ac3，索引 索引考点三椭圆的简单几何性质角度1离心率A索引 易知易知|AF1|F1F2|2c，在，在AF1F2中，中，又又|AF2|2a|AF1|2a2c，索引 解析解析PF1F2为直角三角形，直角三角形，PF1F1F2，又又|PF1|F1F2|2c，索引角度2与椭圆几何性质有关的最值、范围问题C索引 解析解析若若椭圆上存在点上存在点P，使得，使得PF1PF2，则以原点以原点为
9、圆心，心，F1F2为直径的直径的圆与与椭圆必有交点，必有交点，索引感悟提升索引索引 D索引索引 解析解析设左焦点左焦点F0，连接接F0A，F0B，则四四边形形AFBF0为平行四平行四边形形.|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.索引解析解析由由题知知圆E的的圆心心为E(1，0)，半径，半径为1.直直线MN与与圆E相切于点相切于点N，NEMN，且，且|NE|1.设M(x0，y0)，FENCENGJINGLIAN GONGGUTISHENG分层精练 巩固提升3 3索引索引12345678910 11 12 13 14 15 161.已已知知F1，F2是是定定点点，|F1F2|6.若若动点点M
10、满足足|MF1|MF2|6，则动点点M的的轨迹迹是是()A.直直线 B.线段段 C.圆 D.椭圆解解析析动点点M到到F1，F2两两点点的的距距离离之之和和等等于于6，而而6正正好好等等于于两两定定点点F1，F2的的距距离离,则动点点M的的轨迹是以迹是以F1，F2为端点的端点的线段段.B【A级 基础巩固】索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16D索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16B索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16B所以所求所以所求椭圆的焦点在的焦点在y轴上，且上，且c2945，索引索引1234567891
11、0 11 12 13 14 15 16C由由题可知可知a2，即，即A(2，0).又又|NA|1，NAB60，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16 C索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16CDPF1F2的周的周长为2a2c426，故，故B不正确；不正确；索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16在在PF1F2中，当中，当P点移点移动到到椭圆C的短的短轴端点端点处时，F1PF2最大，最大，F1PF26090，故，故C正确；正确；ac|PF1|ac，1|PF1|3，故，故D正确正确.索引索引12345678910 11
12、 12 13 14 15 16(1，2)所以所以3kk10，解得解得1k2.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16因因为点点F2为线段段AB的中点，的中点，所以所以ABF1F2，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16解析解析设椭圆C的右焦点的右焦点为F，由由椭圆的定的定义，得，得|MF|MF|2a4，所以所以|MF|4|MF|，所以所以|MN|MF|MN|MF|4|NF|4，当且当且仅当当M，N，F三点共三点共线时等号成立，等号成立，则由由题意，知此意，知此时|NF|46，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16
13、解解|AF1|AF2|a，且且F1AF290，|F1F2|2c，2a24c2，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16解解由由题知知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16即即a23b2，a23b23(a2c2)，2a23c2，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16(2)如如图，若若直直线l与与椭圆相相交交于于A，B，且且AB是是圆M：(x1)2(y1)25的一条直径，求的一条直径，求椭圆E的的标准方程准方程.易易知知直直线l的的斜斜率率存存在在，设其其方方程程为yk(
14、x1)1，A(x1，y1)，B(x2，y2).(3k21)x26k(k1)x3(k1)23b20.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16C【B级 能力提升】解析解析连接接OP，当，当P不不为椭圆的上、下的上、下顶点点时，设直直线PA，PB分分别与与圆O切于点切于点A，B，OPA，存在存在M，N使得使得MPN120，APB120，即，即60，又又90，sin sin 60，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16
15、ACD解析解析由由题意，知意，知F1(c，0)，F2(c，0)，B(0，b)，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16所以所以d1d2，PF1平分平分BF1F2，D正确正确.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16设P(x0，y0)，直，直线PA，PB的斜率分的斜率分别为k1，k2，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16解解由由y216x，得，得p8，抛物，抛物线的焦点到准的焦点到准线的距离的距离为8，则椭圆的的长轴长2a8，a4，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16