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1、第五节 椭 圆,1.椭圆的定义 (1)满足条件 在平面内, 点P到两个定点F1，F2的距离之_为定值, 定值大于_. (2)焦点：两定点F1,F2. (3)焦距：两_间的距离.,和,|F1F2|,焦点,【即时应用】 (1)思考：椭圆定义中能去掉“定值大于|F1F2|”吗？ 提示:不能.因为当定值等于|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2, 当定值小于|F1F2|时，点的轨迹不存在.,(2)判断下列点的轨迹是否为椭圆.(请在括号内填“是”或“否”) 平面内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于2的点的轨迹 ( ) 平面内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于4的点的轨迹 ( ) 平面
2、内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于6的点的轨迹 ( ),【解析】由椭圆的定义可知:距离之和小于|AB|，所以点的轨迹不存在；距离之和等于|AB|，点的轨迹是以A、B为端点的一条线段；符合椭圆定义，点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为6的椭圆. 答案:否 否 是,2.椭圆的标准方程和几何性质,-a,a,-b,b,-b,b,-a,a,坐标轴,原点,(-a，0),(a，0),(0，-b),(0，b),(0，-a),(0，a),(-b，0),(b，0),2a,2b,(0，1),a2-b2,2c,【即时应用】 (1)思考:椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系? 提示:因为离心率 ，所以
3、，离心率越接 近于1，b就越接近于0，即短轴的长接近于0，椭圆就越扁；离 心率越接近于0，a、b就越接近，即椭圆的长、短轴长越接近 相等，椭圆就越接近于圆，但永远不会为圆.,(2)已知椭圆 的焦点在y轴上，若椭圆的离心率为 ，则m的值为_. 【解析】 的焦点在y轴上，所以a2=m, b2=2，离心率为 ，又离心率为 ， 所以 ，解得m= . 答案:,(3)已知椭圆的短轴长为6，离心率为 ，则椭圆的一个焦点到 长轴端点的距离为_. 【解析】因为椭圆的短轴长为6，所以b=3 又因为离心率为 ，所以 又因为a2=b2+c2 解组成的方程组得：a=5,c=4. 所以，焦点到长轴端点的距离为：a+c=9
4、或a-c=1. 答案:9或1,热点考向 1 椭圆的定义、标准方程 【方法点睛】 1.椭圆定义应用时的两点注意 利用椭圆的定义解题时，一方面要注意常数2a|F1F2|这一条件；另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系.,2.椭圆的标准方程的理解 (1)当已知椭圆的焦点在x轴上时，其标准方程为 (ab0)；当已知椭圆的焦点在y轴上时，其标准方程为 (2)当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设 为 (m0,n0,mn)，这样可避免讨论和复杂的计算； 也可设为Ax2+By2=1(A0,B0,AB)这种形式,在解题时更简便.,【例1】(1)已知ABC的顶点
5、B、C在椭圆 上，顶点A是 椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的 周长为_. (2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离 分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点， 求椭圆的方程.,【解题指南】(1)注意A为椭圆的一个焦点，且BC边过椭圆的另 一个焦点，因此，可借助于椭圆的定义求ABC的周长.(2)可先 设椭圆的方程为 ，再根据题设条 件求出相应的系数值即可.,【规范解答】(1)因为A为椭圆的一个焦点，且BC边过椭圆的另 一个焦点，设该焦点为F，所以由椭圆的定义得： |BA|+|BF|= ,|CA|+|CF|= , 因此，ABC的周长为
6、. 答案:,(2)设椭圆方程为 ，因为P到两焦 点的距离分别为5、3，所以2a=5+3=8，即a=4，又因为过P且与 长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，所以(2c)2=52-32=16， 所以c2=4， 因此b2=a2-c2=12，所以椭圆方程为：,【互动探究】本例(2)将条件“过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点”改为“点P和两焦点构成的三角形为直角三角形”,结果如何？,【解析】当其中一个焦点为直角顶点时，与例题条件相同， 所以，椭圆方程为 当直角顶点为点P时，则有(2c)2=52+32=34， 所以c2= ，又因为a=4，所以b2=a2-c2= 所以椭圆方程为： 综上可知：所求椭圆
7、方程为： 或,【反思感悟】1.从两个题目求解可以看出，在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时，经常联想到椭圆的定义，进而得出长轴的长； 2.在求椭圆方程时，若已知椭圆上的点到两焦点的距离，可先求出椭圆长轴长，再想法求短轴长，从而得出方程；若已知点的坐标，可先设出椭圆的标准方程，再利用待定系数法求解； 当椭圆的焦点不确定时，应考虑焦点在x轴、在y轴两种情形，无论哪种情形，始终有ab0.,【变式备选】已知F1、F2是椭圆C： (ab0)的两个焦 点，P为椭圆C上的一点，且 .若PF1F2的面积为9，则 b=_. 【解析】设|PF1|=r1,|PF2|=r2, 则 =4a2-4c2=4b2, ,b=3.
8、 答案:3,热点考向 2 椭圆的几何性质及应用 【方法点睛】 1.几何性质中的不等关系 对于椭圆标准方程中x、y的范围，离心率的范围等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值、最小值时，经常用到这些不等关系.,2.利用椭圆几何性质应注意的问题 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系. 3.求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率时，一般是依据题设得出一个关于a、b、c的等式(或不等式)，利用a2=b2+c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.,【提醒】椭圆离心率的范围:0e1.,【例2】(1
9、)若点O和点F分别为椭圆 的中心和左焦点， 点P为椭圆上的任意一点，则 的最大值为( ) (A)2 (B)3 (C)6 (D)8 (2)(2012漳州模拟)设椭圆 (ab0)的两个焦点分别 为F1、F2，点P在椭圆上，且 ，tanPF1F2=2,则该椭圆 的离心率等于_.,【解题指南】(1)关键是将 用点P的坐标表示，再利用点P 在椭圆上，转化成一个变量的函数求最大值，但要注意点P的 坐标的取值范围. (2)由 得F1PF2为直角三角形，再由tanPF1F2=2 得出两直角边的比为2，而斜边长为2c，由勾股定理及椭圆的定 义即可求出离心率.,【规范解答】(1)选C.由椭圆 可得点F(-1，0)
10、，点 O(0，0)，设P(x,y)(-2x2),则 =x2+x+y2= x2+x+3(1- )= x2+x+3= (x+2)2+2, 当且仅当x=2时， 取得最大值6. (2)因为 ，所以PF1PF2，得F1PF2为直角三角形， 又因为tanPF1F2=2，所以可设|PF1|=m，则|PF2|=2m， 2a=3m， 所以离心率 答案:,【反思感悟】1.求解与椭圆几何性质有关的问题时常结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 2.本例(2)是依据题设条件求椭圆的离心率，通过求解过程，我
11、们可以看出，求椭圆的离心率的值，关键是寻找关于a、c的一个等式，或解方程求出离心率，或直接求出离心率；,3.在解方程求椭圆离心率的值时，要注意椭圆离心率的范围，有增根要舍去.,【变式训练】定义：离心率 的椭圆为“黄金椭圆”， 已知E： (ab0)的一个焦点为F(c,0)(c0)，则E为 “黄金椭圆”是“a、b、c成等比数列”的( ) (A)既不充分又不必要条件 (B)充要条件 (C)充分而不必要条件 (D)必要而不充分条件,【解析】选B.若E为黄金椭圆，则 b2=a2-c2 =ac 所以a,b,c成等比数列. 若a、b、c成等比数列，则b2=ac a2-c2=ace2+e-1=0，又0e1,
12、所以 ，故E为黄金椭圆.,【变式备选】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E： (ab0)的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC 为平行四边形，且OAB=30，则椭圆E的离心率等于_.,【解析】依题设知：点C的坐标为( )，又因为点C在椭圆 E上，所以有 ，解得a2=9b2， 因此，a2=9(a2-c2)，即 所以椭圆E的离心率等于 . 答案:,热点考向 3 直线与椭圆的位置关系 【方法点睛】 1.直线与椭圆位置关系的判断 将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判别式的符号确定：当0时，直线与椭圆相交；当=0时
13、，直线与椭圆相切；当0时，直线与椭圆相离.,2.直线被椭圆截得的弦长公式 设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1)、B(x2，y2),则 (k为直线斜率).,3.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法 (1)涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求,利用弦长公式计算弦长； (2)涉及求弦中点的轨迹、求过定点的弦的轨迹和被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求； (3)将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.,【提醒】利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.,【例3】(2012福建高考)如图,椭圆 E: 的左焦点为F
14、1, 右焦点为F2,离心率 过F1的直线 交椭圆于A、B两点,且ABF2的周长为8. (1)求椭圆E的方程; (2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.,【规范解答】方法一：(1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8, 即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8, 又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a, 所以4a=8,a=2. 又因为 所以c=1, 所以 故椭圆E的方程是,(2)由 得(4k2+3)x2+8km
15、x+4m2-12=0. 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0), 所以m0且=0,即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0, 化简得4k2-m2+3=0.(*) 此时 所以 由 得Q(4,4k+m).,假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性可知,点M必在x轴上. 设M(x1,0),则 对满足(*)式的m,k恒成立. 因为 由 得 整理,得 (*),由于(*)式对满足(*)式的m,k恒成立, 所以 解得x1=1. 故存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.,方法二:(1)同方法一. (2)由 得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0. 因为动直
16、线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),所以m0且=0, 即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0, 化简得4k2-m2+3=0(*), 此时 所以,由 得Q(4,4k+m). 假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性可知,点M必在 x轴上. 取k=0, 此时 以PQ为直径的圆为 交x轴于M1(1,0),M2(3,0).取 m=2,此时 以PQ为直径的圆 交x轴于点M3(1,0),M4(4,0),所以若符合条件的点M存在, 则M的坐标必为(1,0).,以下证明M(1,0)就是满足条件的点: 因为M的坐标为(1,0),所以 从而 故恒有 即存在定点M(1,0),使得以PQ为
17、直径的圆恒过点M.,【变式训练】已知椭圆 =1 (ab0)的焦距为 ，离心率为 (1)求椭圆方程； (2)设过椭圆顶点B(0,b)，斜率为k的直线交椭圆于另一点D， 交x轴于点E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求k2的值.,【解析】(1)由已知 解得a=2，c= 所以b2=a2-c2=1， 椭圆的方程为 (2)由(1)得过B点的直线为y=kx+1， 由 得(4k2+1)x2+8kx=0， 所以,依题意k0，k . 因为|BD|，|BE|，|DE|成等比数列， 所以，|BE|2=|BD|DE| 所以b2=(1-yD)|yD|，即(1-yD)|yD|=1， 当yD0时， ，无解， 当y
18、D0时， 解得 所以 ，解得 所以，当|BD|，|BE|，|DE|成等比数列时，,1.(2012 新课标全国卷)设F1,F2是椭圆E： 的左、右焦点，P为直线 上一点，F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则E的离心率为( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选C.设直线 与x轴交于点M，则PF2M=60， 在RtPF2M中，PF2=F1F2=2c，F2M= 故cos60= 解得 故离心率,2.(2012宁德模拟)若椭圆 (ab0)的焦点及短轴端 点都在同一圆上，则椭圆的离心率等于_. 【解析】由题意知b=c,又a2=b2+c2=2b2, 答案:,3.(2013莆田模拟)设F1,F2分别是椭圆E: (0b1)的左、右焦点，过F1的直线与E相交于A,B两点，且|AF2|, |AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|的长为_.,【解析】由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4a, 又a=1,|AF2|+|AB|+|BF2|=4. 由已知|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列, |AF2|+|BF2|=2|AB|. 由解得:|AB|= 答案：,