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1、讲次01 一元二次方程的基础一元二次方程定义及一般形式概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。一般形式：ax2+bx+c=0（a 0）o其中a为二次项系数，Z?为一次项系数,c 为常数项。【注意】1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是2；3）整式方程。一元二次方程的解概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。命题角度元二次方程的概念例题L 下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（）A.ax1+bx+c=Q（a,b,c 为常数）B.x2-x -2=0C.-H
2、-2=0 D.J+2X=X-1x x【解析】A.若a=0,则该方程不是一元二次方程，故A选项错误,B.符合一元二次方程的定义，故8选项正确，C.属于分式方程，不符合一元二次方程的定义，故。选项错误，D.整理后方程为：2x+l=0,不符合一元二次方程的定义，故。选项错误,选8.【小结】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.变 式1.下列方程是一元二次方程的是（）A.*-y=l B.?+2 r-3=0 C.?+=3 D.x-5y=6【解析】根据一元二次方程的定义可以判断选项B的方程是一元二次方
3、程选R变 式2.若关于x的方程（a-2）f -3彳+。=0是一元二次方程，则（）A.Q W2 B.a2 C.a=0 D.a 0【分析】根据一元二次方程的定义求解，即只含有一个未知数，且未知数最高次数 为2的方程叫做一元二次方程（二次项系数不为0）.【解析】由 一 元 二 次 方 程 的 定 义 可 得 可 解 出 故 答 案 为A【小结】一元二次方程的概念是考点，关键点是二次项系数不为0.变式3.关于x的方程（加+l）x*+4x+2=0是一元二次方程，则机的值为（）A.m=-1,机2=1 B.m=C.m=-1 D.无解【分析】根据一元二次方程未知数项的最高次数是2,可 得 川+1 =2且m+1
4、/0,计算即可求解.【解析】因为一元二次方程的最高次数是2,所以1+1=2,解得加=-1或1,又因为2+屏0,即所以m=1,选民【小结】本题主要考查一元二次方程的概念：只含有一个未知数（一元），且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，掌握这个概念是解决此题的关键.变 式4.关于x的 方 程（a-1）卅M-3x+2=o是一元二次方程，则（）A.。丹1 B.a=1 C.a=-1 D.a=l【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案.缶一1 w O【解析】由题意可知：同+1=2解 得。=一1选C.【小结】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于
5、基础题型.命题角度二一元二次方程的一般式例题2.一元二次方程3/-4 k 5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A.3,-4,-5 B.3,-4,5 C.3,4,5 D.3,4,-5【解析】一元二次方程3/-以-5=0的二次项系数是3,一次项系数-4,常数项-5.选A.【小结】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=Q（a,b,c是常数且a W O）,特别要注意aWO的条件.在一般形式中，叫二次项，汝 叫一次项，c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.变式1.将一元二次方程-3?-2=-4x化成一般形式为（）A.-4x+2=0 B.3 X2-4x
6、-2=0 C.3/+4x+2=0 D.3J?+4X-2=0【分析】方程整理为一般形式即可.【解析】方程整理得：3?-4x+2=0,选A.【小结】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形 式 为 云+c=0（存0）.变式2.一元二次方程*22（3尤 一2）+（x+l）=0的一般形式是（）A.X2 5x+5=0 B.X2+5J C5=0 C.J C2+5A:+5=0 D.f+5=0【解析】一元二次方程的一般式为：/+云+c=0（办0）,将原方程去括号为：X2-6X+4+X+1 =0,合并为：f _5x+5=0,所以选 A.变式3.把一元二次方程x(x+l)=3x+2化为一般形式，正确的是()A.
7、W+4x+3=0 B.?-2 x+2=0 C.x2-3x-1=0 D.?-2 x-2=0【解析】一元二次方程的一般形式为x(x+1)=3x+2x2+x-3x-2=0,?-2x-2=0选。.【小结】本题考查一元二次方程的一般形式，难度较小.变式4.关于x 的一元二次方程（机-2）/+5x+2-4=0的常数项是0,则（）A.2=4 B.m=2 C.2=2 或机=-2 0.m=-2【分析】根据常数项为0,可得加2一 4=0,同时还要保证 2 W 0,即可.【解析】由题意得:nr-4=0,且?-2W0,解得：加=-2,选。.【小结】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握a+bx+c=0（a,
8、b,c 是常数且aWO）特别要注意“WO的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中小叫二次项，区叫一次项，c 是常数项.其中a,A c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.命题角度三一元二次方程的解例题3.已知一元二次方程/+依-3=0有一个根为1,则Z的值为（）A.-2 B.2 C.-4 D.4【解析】把x=l代入方程得1+上 3=0,解得仁2.选 B.【小结】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.变式L 机是方程f+x-I =O的根，则式子加+2川+2014的值为（）A.2014 B.2015 C.2016 D.2017【分析
9、】把 代 入*+x-1=0得到川+机-1=0,即 ，+加=,把式子p+2?2+204变形为？（，+m）+/+2014的形式，代入即可求出式子的值.【解析】.,2是方程Phx -1=0的根，.疗+加-=0,gp m2+m=1 ,.,.w3+2/n2+20 1 4=w (/?z2+m)W+2 0 1 m+nr+2 01 4=1 +20 1 4=20 1 5.选 B.【小结】本题考查了一元二次方程的解，代数式中的字母表示的数没有明确告知,而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式机，机的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值.变式2.x =l 是关于x 的一元一次 方 程/+如+乃=0 的解，则2
10、a +4 3=（）A.2 B,3 C.4 D,6【分析】先把X=1 代入方程Y+奴+2 b =0 得。+2 氏-1,然后利用整体代入的方法计算2 a+4b的值【解析】将x=l 代入方程/+以+2 =0,得 a+2 =-l,2 a+4b=2（a+2 Z?）=2 x （-1）=-2,选 A【小结】此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键变式3.如果关于x的一元二次方程（机-3）f+3 x+-9=0 有一个解是0,那么m的值是（）A.-3 B.3 C.+3 O.0 或-3【分析】把X=0代入方程-3）炉+3 x+机2 -9=0中，解关于加的一元二次方程,注意m的取值不能使原方程对二
11、次项系数为0【解析】把x=0代入方程（加-3）尤 之+3 X+tn2-9=0中，得:m2-9=0解得m=-3或 3当m=3时,原方程二次项系数m3=Q,舍去,选A【小结】此题主要考查一元二次方程的定义，难度不大变式4.已知关于x 的一元二次方程O+3）/+5x+，-9=0有一个解是0,则加的值为（）A.-3B.3C.3D.不确定【分析】方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将 户0代入原方程即可求得m的值.【解析】把 户0代入原方程得：疗-9=0；解得：机=3；当机=-3时，原方程为：5尸0,不是一元二次方程，故舍去.所 以 尸3.选B.【小结
12、】考查的是方程的根即方程的解的定义，注意该题说明该方程是一元二次方程，所以?=-3不符合题意，所以机的值是3.讲次0 2解一元二次方程解法一：配方法配方的过程需注意：若方程二次项系数为1 时，“方程两边加一次项系数一半的平方”用配方法解一元二次方程办2+b x+c =0（。工 0）的一般步骤：1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为（x+m）2=（n 0）的形式；【注意】：当 0,方程有两个不相等的实数根；若 8=0,方程有两个相等的实数根）2）若从0,方程无解。解法三：公式法一
13、元二次方程依2+区+。=（）（4#0）根的判别式：=。2 一 4砒1）1 0。方程有两个不相等的实根：=一 土 上处 （/-4 的2 0）2 a2）A =0。方程有两个相等的实根3）A2=1 D,无实根【分析】根据平方根的意义,利用直接开平方法即可进行求解.【解析】（龙+1）2=0,解：x+l=0,所以X/=X2=-1,选8【小结】考查一元二次方程的解法，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的解法.变 式 1.方程（X-2）2 =9 的 解 是（）A.X 1 =5,x2=-1 B.X|=5,x7=1C.工 =11，x2=-7 D.芭=-1 1,x2=7【解析】（x-2=9,故 x 2=3 或
14、 x 2=-3,解得：汨=5,%2=-1故答案选 A.【小结】本题主要考查了解一元二次方程的基本解法，这是很简单的解方程，难度不大.变式2.一元二次方程（x+6/=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是（）A.x 6=-4 3.x 6=4 C.x+6=4 D.x+6=4【解析】将（X+6）2=16两边开平方，得X+6=4,则则另一个一元一次方程是x+6=-4o 选。变 式 3.解方程（5x-1）2=（2x+3）2的最适当方法应是（）A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法【分析】把方程（5x-l）2 =（2X+3）2,两边开方得到
15、5X-1 =（2X+3）,然后解两个一元一次方程即可.【解析】方程（5x-1=（2X+3）2的最适当方法应是直接开平方法，选 A【小结】考查一元二次方程的解法，观察方程选择合适的方法是解题的关键.变式 4.解方程：4(X+3)2=25(X-2)2【解析】4(X+3)2=25(X-2)2,开方得：2(x+3)=5(x-2),解得：%i=y x2=y【小结】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中.命题角度三利用公式法法解一元二次方程例 题3.卡盘 也 出 妇 是 下列哪个一元二次方程的根（）2x3A.3+5尤+1=0 B.3*-5x+1=0 C.
16、3/-5x-1=0 D.3x2+5x-1=0【分析】根据一元二次方程的求根公式进行求解.【解析】一元 二 次 方 程 的 求 根 公 式 是 但 但 三2,对四个选项一一代入求根2a公式，正确的是。【小结】本题的解题关键是掌握一元二次方程求根公式.变 式1.用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定纵 氏C的值.对于方程-4?+3=5x,下列叙述正确的是（）A.a=-4,b=5,c=3 B.a=-4,b=5,c=3C.a=4,b=5,c=3 D.a=4,b=5,c=-3【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式.【解析】-4x?+3=5x,/.-4X2-5X+3=0,或 4d+5
17、X-3=0.a=-4,h=-5,c=3 或 a=4,b=5,c=-3,选 B.【小结】此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般形式.变 式2.若一元二次方程犬+2田?=0中的/-4 a c=0,则这个方程的两根为（）A.心=1,x2=1 B.xi=x2=l C.xi=x2=-1 D.不确定【分析】根据求出2的值，再把求得的机的值代回原方程，然后解一元二次方程即可求出方程的两个根.【解析】-4ac=0,/.4-4/M=0,解得：加=1,.原方程可化为：x2+2x+l=0,（九+1）2=0,.X=X2=1 .选 C.【小结】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法
18、，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.变式3.方程(x-5)(x+2)=l 的解为()A.5C.5 和-2B.-2D.以上结论都不对【解析】；(x-5)(x+2)=1,.A i-S x-l 1=0,Va-,b=-3,c=-1 1,3也小主画，选 D22【小结】考查了公式法解一元二次方程，用到的知识点是一元二次方程的求根公式，当，注意()时，I：工7 ”2a变式4.关于 的方程/一 3 一 4 =0 的一个根是%=3,则它的另一个根马是()-4 4 5A.3 B.C.一 二 D.3 3 3【分析】先将玉=3 代入方程/_/加一4 =0,求
19、出机的值；再解一元二次方程组求出另一个根看即可.【解析】将 =3 代入方一程f 一 mx 4 =0 ,得9 一 3 机一4 =0,解得：w =|将加=|代入原方程：X2-|X-4 =04方法一：解方程组，得：X=3,x2=-y方法二：根据根与系数的关系：N尤,=反可知：%x,=-=-4a1/.3/=-44x2-3选C【小结】本题为考查解一元二次方程的变式题，稍有难度，熟练掌握一元二次方程求解的几种方法是解答本题的关键.命题角度四利用因式分解法解一元二次方程例 题4.一元二次方程x(x 2)=2 x的 根 是()A.-1 B.2 C.1 和 2 Q.-1 和 2【分析】先移项得到x(x-2)+(
20、x-2)=0,然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可.【解析】x(x-2)=2-x nx(x 2)+(x 2)=0=(x-2)(x+l)=0=x-2 =0或 x+l=O =X 1 =2,x9=1,选D变 式1.方程x(x+2)=0的 根 是()A.x=2B.x=0C.x i=O,X2=-2 D.%I=0,X2=2【解析】x(x+2)=0,=4 0 或 x+2=0,解得*=0，X2=-2.选 C变式2.方程/+犷1 2=0 的两个根为()A.Xi=-2,X2=6 B.x 尸 一 6,X2-2 C.x 产-3,x2=4【解析】将d+x-1 2 分解因式成(x+4)(x-3
21、),解x+4=0 或x -3=0 即可得出结论.j+x-1 2=(x+4)(x-3)=0,则 x+4=0,或尤-3=0,D.无 尸-4,X2=3解得：龙尸-4,光 2=3.变式3.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是()A.(2x-2)(3x-4)=0,二 2-2 x=0 或3x-4=0B.(x+3)(x 1)=1,x+3=0或x-l=1C.(x-2)(x-3)=2x3,x-2 =2或x-3=3D.x(x+2)=0,/.x+2=0【分析】用因式分解法时，方程的右边为0,才可以达到化为两个一次方程的目的.因此第二、第三个不对，第四个漏了一个一次方程，应该是x=0,x+2=0.【解析】用因式分解
22、法时，方程的右边为0,才可以达到化为两个一次方程的目的.因此第二、第三个不对，第四个漏了一个一次方程，应该是x=0,x+2=0.所以第一个正确，选A.【小结】此题考查了学生对因式分解方法应用的条件的理解，提高了学生学以致用的能力.变式4.已知一元二次方程f-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰ABC的底边长和腰长，则ABC的周长为()A.13 B.11 或 13 C.11 D.12【解析】J C2-8X+15=0,分解因式得：(x-3)(x-5)=0,可得 x-3=0 或 x-5=0,解得：%i=3,历=5,若 3 为底边，5 为腰时，三边长分别为3,5,5,周长为3+5+5=1 3；若 3
23、为腰，5为底边时，三边长分别为3,3,5,周长为3+3+5=1 1,综上，的周长为1 1 或 1 3.选B.命题角度五利用换元法法解一元二次方程例题5.已知(x 2 +y2)2 _y2=f+6,则f的值是()A.-2 B.3 C.12 或 3 D.2 且 3【解析】根据题意，先移项得(d +y2)2 y2 x 2 6 =o,即 任+力 2 _(/+/_ 6=0,然后根据“十字相乘法”可得(x2+y2+2)(x2+J；2-3)=0 ,由此解得V +产？(舍 去)或/+产=3,选 B.【小结】此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.变
24、式1.我们知道方程f+2 x-3=0 的解是看=1,忿=-3,现给出另一个方程(2 x+3)2+2 (2 x+3)-3=0,它的解是()A.用=1,历=3 B.%I=1 ,应=-3 C.x i=-l,检=3 D.x=-1,M=-3【分析】将X1 =1,X2=-3 代入到方程中，对比前后的方程解的关系，即可列出新的方程.【解析】将修=1，x2=-3代入至!j X2+2X-3=0 得1 2+2 X1-3=0,(-3)2+2 X(-3)-3=0对比方程(2 x+3)2+2(2 x+3)-3=0,可得 2 x+3=l 或-3解得：尤尸-1,光 2=3选 D【小结】此题考查的是方程的解，掌握前后方程解的
25、关系是解决此题的关键.变式2.若实数x、y满足(x +y 3)(x+y)+2 =0,贝D x+y的值为()A.-1 或-2；B.-1 或 2；C.1 或-2；D.1 或 2；解析】t=x+y,则由原方程，得t(t-3)+2=0,整理，得(r-1)Ct-2)=0.解得t=l或t=2,所以x+y的值为1或2.选D命题角度六韦达定理例题6.已知a,p 是一元二次方程W+尤-2=0的两个实数根，则a+p-ap 的值是()A.3 B.1 C.-1 D.-3【分析】根据根与系数的关系得a+(3=-1,ap=-2,求出a+(3和ap的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案.【解析】Va,B是方程f+x-2
26、=0 的两个实数根，a+P=-1,ap=-2,a+P-ap=-1-(-2)1+2=1,选B.【小结】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于-2、两a根之积等于 是解题的关键.a变式L关于x 的一元二次方程寸一4%+m=0 的两实数根分别为占、x2,且%+3=5,则根的值为()777A.-B.-C.-D.04 5 6【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到修+也=4,代入代数式计算即可.【解析】,.,汨+九 2=4,X+3X2=X+X2+2X2-4+2%2-5，把 X2=代入 x2-4x+m=Q 得：（,）2-4X +m=0,7解得：?=：，4选A.【小结】本题考查的是一元二次
27、方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=O（。,0）的根与系数的关系为：X+X2=-汨 应=是解题的关键.a a变式2.若关于x的一元二次方程f-2 x+0有一个解为x=-1,则另一个解为()A.1 B.-3 C.3 D.4【分析】设方程的另一个解为西，根据两根之和等于一2，即可得出关于看的a一元一次方程，解之即可得出结论.【解析】设方程的另一个解为为，根据题意得：-1+即=2,解 得:%i=3,选C.【小结】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于b 两根之积等于c反是解题的关键.a a变 式3.若a,是关于工的一元二次方程f-2 x+初=0的两实根，且1
28、 1 2一+力=一二，则 机 等 于()a p 3A.-2 B.-3 C.2 D.3【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到。+4=2,a b=m,再化简J _ 1 _ a+j3a 3 a/3代入即可求解;【解析】a,，是关于x的 一 元 二 次 方 程2 1+m=0的两实根,:.a+0=2,ab=m,.1 1 _ a+尸_ 2 _ 2 a ap m 3 m=-3；选8【小结】本题考查一元二次方程；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.变式4.已知关于x的一元二次方程/-巾+2加-1 =0的两个实数根的平方和为7,那么机的值是（）A.5 B.-1 C.5 或-1 D.-5 或 1【
29、分析】设方程的两个根为汨、必，则处2+必2=7,根据方程根与系数的关系可知为、X 2的和与积，列出方程即可求出机的值.【解析】设方程的两个根为X I、M，则尤/+应2=7,X i、X2,是方程 x2-/m+2 m-1 =0 的两个根，,冗 1+工2=加，X）x2 m-1,二.（%i+x2）2=X2+x22+2 Xi X2=m2,:.苏 2（2 卜 1 ）-7=0,解得：m=5或加=-1,丁方程Y -加:+2加-1 =0有两个实数根，/.（一6）2-4 （2 6-1）二m 2 8 m+4 2 0,解得加2 4+2 或.加 二5舍去，m=-,选B.【小结】本题考查一元二次方程判别式的性质及根与系数
30、的关系，熟练掌握根与系数的关系和判别式的性质是解题关键.讲次03 一元二次方程与实际问题列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；“列 指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。解 就是求出说列方程的解；答 就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。实际问题的解题思路二 次 方 程,的应川原野 增 长 率）嘀量铜 岩 超 原 量 红kl降率）啼量n 3nm几何图形
31、性质.几何问题口而囱秘国K而毋八十几何图形周长、面积公式传播问题 解题思路：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数嗨每型 方 响 题 物 思 路：找到 单 价 与 措 醒 鹤 鲤销售利润=销售总量X单件销售利润命题角度一传播问题例 题1.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有3 6人患了流感.（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【分析】（1）设平均一人传染了 x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共 有3 6人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可.【解析】（1
32、）设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，根据题意得x+l+（x+l）x=3 6,解得：尤=5或尤=-7 （舍去）.答：每轮传染中平均一个人传染了 5 个人；（2）根据题意得:5 x 3 6=1 8 0 （个）,答：第三轮将又有1 8 0 人被传染.【小结】考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.变式1.“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有1 2 1 人受到感染，（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮
33、后将有多少人受到感染？【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，根据经过两轮传染后共有1 2 1 人受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）将户1 0 代 入（x+1）3 中即可求出结论.【解析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，根据题意得0+1）2=1 2 1解得：X i=1 0,X2=-1 2 （不合题意，应舍去）.答：每轮传染中平均一个人传染了 1 0 个人.（2）当4 1 0 时，（x+1）3=（1 0+1）3=1 3 3 1.答：经过三轮后将有1 3 3 1 人受到感染.【小结】考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元
34、二次方程是解题的关键.变式2.某人参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了 4 5 次，问:共有多少人参加了同学聚会？【分析】先设有x 人参加聚会，根据每两人都握手一次手，所有人共握手4 5 次，列出代数式，求出x的值，再根据x只能取正数，即可得出答案.【解析】有X人参加了同学聚会，根据题意得：y x(x-1)=45,解得：X|=10,X2=-9(舍 去),答：有10人参加了同学聚会.【小结】此题主要考查了一元二次方程的应用，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键，并且要根据实际情况选择合适的答案.命题角度二增长率问题例题2 某公司今年1 月份的生产成本是4
35、 0 0 万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是3 6 1 万元.假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同.（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本.【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2 月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3 月份该公司的生产成本x （1-下降率），即可得出结论.【解析】（1）设每个月生产成本的下降率为尤，根据题意得:4 0 0 （1 -%）2=3 6 1,解得：%|=0.0 5=5%,X2=1.95（不合题意,舍去）.答：每个
36、月生产成本的下降率为5%；（2）3 6 1 x （1 -5%）=3 4 2.9 5 （万元），答：预测4月份该公司的生产成本为3 4 2.9 5 万元.【小结】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算.变式1.2 0 1 6 年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2 5 0 0 元，通过政府产业扶持,发展了养殖业后，到 2 0 1 8 年，家庭年人均纯收入达到了 3 6 0 0 元.(1)求该贫困户2 0 1 6 年到2 0 1 8 年家庭年人均纯收入的年平均增长率;(2)若年平均增长率保持不变，2 0 1 9 年该贫困户的家
37、庭年人均纯收入是否能达到4 2 0 0 元？【分析】(1)设该贫困户2 0 1 6 年到2 0 1 8 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x,根据该该贫困户2 0 1 6 年及2 0 1 8 年家庭年人均纯收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中正值即可得出结论；(2)根据2 0 1 9 年该贫困户的家庭年人均纯收入=2 0 1 8 年该贫困户的家庭年人均纯收入x (1+增长率)，可求出2 0 1 9 年该贫困户的家庭年人均纯收入，再与4 2 0 0 比较后即可得出结论.【解析】(1)设该贫困户2 0 1 6 年到2 0 1 8 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x,依题意，得：2 5
38、0 0(1+X)2=3600,解得：内=0.2=2 0%,%=-2.2(舍去).答：该贫困户2 0 1 6 年到2 0 1 8 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为2 0%.(2)3 6 0 0 x(1 +2 0%)=4 3 2 0(元)，4 3 2 0 4 2 0 0.答：2 0 1 9 年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4 2 0 0 元.【小结】考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.变式2.某地区2 0 1 3 年投入教育经费2 50 0 万元，2 0 15年投入教育经费30 2 5万元.(1)求 2 0 13年至2 0 15年该地区投入教育经费的年平均增
39、长率；(2)根 据(1)所得的年平均增长率，预计2 0 16 年该地区将投入教育经费多少万元.【解析】(1)一般用增长后的量=增长前的量x (1+增长率)，2 0 15年要投入教育经费是2 50 0 (1+x)万元，在 2 0 15年的基础上再增长x,就是2 0 16 年的教育经费数额，即可列出方程求解.(2)利用2 0 16 年的经费x (1+增长率)即可.试题解析：(1)设增长率为x,根据题意2 0 15年为2 50 0 (1+x)万元，2 0 16 年为 2 50 0 (1+x)(1+x)万元.贝 1 2 50 0 (1+无)(1+x)=30 2 5,解得40.1=10%,或 户-2.1
40、(不合题意舍去).答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%.(2)30 2 5x (1+10%)=332 7.5(万元).故根据(1)所得的年平均增长率，预计2 0 17 年该地区将投入教育经费332 7.5万元.命题角度三图形有关的问题例题3.如图，有一块矩形硬纸板，长30 c m,宽2 0 c z.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为Z O O。/?.匚【分析】设剪去正方形的边长为x c m,则做成无盖长方体盒子的底面长为(30-2 x)c m ,宽为(2 0-2X)%2,高为x c m,根
41、据长方体盒子的侧面积为2 0 0 加，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.【解析】设剪去正方形的边长 为 如，则做成无盖长方体盒子的底面长为(30-2 x)c m ,宽为(2 0-2 x)c m,高为 xcm,依题意，得：2 x (30-2 x)+(2 0-2 x)x=2 0 0 ,整理，得：2 f 2 5x+50 =0,解得：石=|,%2 =10,当x =10 时，2 0-2 x =0,不合题意，舍去，*5答：当剪去正方形的边长为g c 相时，所得长方体盒子的侧面积为2 0 0 c M 2.【小结】考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键
42、.变 式L园空地上有一面墙，长度为2 0/”，用长为32加的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示.（1）能围成面积是12 6 f的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由.（2）若篱笆再增加4加，围成的矩形花圃面积能达到17 0病 吗？请说明理由.墙1 DR C【分析】（1）假设能，设A3的长度为x米，则8C的 长 度 为（32-2 x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设A3的长度为y米，则3 c的长度为（36-2 y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【解析】（1）假设能，设AB的长度为x米，则 的 长 度 为（32-2 x）米,
43、根据题意得：x（32 -2 x）=12 6,解得：尤|=7,M=9,.32-2%=18或32-2 414,，假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米.（2）假设能，设A 3的长度为y米，则 的 长 度 为（36 -2 y）米,根据题意得：y（36-2 y）=17 0,整理得：y2-18 y+8 5=0.,?=（-18）2-4x 1x 8 5=-16 0,该方程无解,.假设不成立，即若篱笆再增加4加，围成的矩形花圃面积不能达到17 0 川.变式2.如图，某农场有一块长40 ,宽32 机的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140
44、 八求小路的宽.【分析】设小路的宽为初?，将 4 块种植地平移为一个长方形，长为（40-x）m,宽 为（32-尤）m.根据长方形面积公式即可求出小路的宽.【解析】设小路的宽为x m,依题意有（40-%）（32-%）=1140,整理，得f-7 2 x+140=0.解得修=2,必=7 0 （不合题意，舍去）.答：小路的宽应是力”.【小结】二元一次方程的运用.理解题意，列出方程是关键.命题角度四数字问题例题4.一个两位数，个位数字比十位数字大3,且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？【分析】设个位数字为x，那么十位数字是(/3),这个两位数是 1 0(/3)+幻，然后根据个位数字的
45、平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解.【解析】设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x-3),由题意，得*=1 0(-3)+%.解得汨=6,X2=5.当 x=6 时，x-3=3；当 x=5 时，x-3=2.答：这个两位数是3 6或2 5.变式L读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄)大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；小 个 位 三，个位平方与寿符：巴!巴 变 我 送 少 年 华 属 周 瑜？)【分析】设周瑜逝世时的年龄的个位数字为X,则十位数字为*3.根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论.【解析】设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x
46、-3.由题意得；1 0(x-3)+x =解得：%=5,=6当x=5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x=6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答：周瑜去世的年龄为36岁.【小结】本题是一道数字问题的运用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中理解而立之年是一个人3 0岁的年龄是关键.变式2.一个两位数的个位数字与十位数字的和为9,并且个位数字与十位数字的平方和为4 5,求这个两位数.【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和=4 5,把相关数值代入求得整数解即可.【解析】设个位数字为,则十位数字为9-x.X2+（9-J C）2=45彳 寻 =3,%2 6,这个两位数为36或 63.【小结】考查一元二次方程的应用，用到的知识点为：两位数=10 x十位数字+个位数字，解题的关键是能够表示这个两位数.