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1、考向2.3 一元二次方程例 1.（2019内蒙古呼和浩特中考真题）用配方法求一元二次方程（2 x+3 4 x-6）=16的实数根.解：原方程化为般形式为2X2-9X-34=0,X2-X=17,2x2.2 x +坦=17+巴2 1616/9 v 353(x)4 169 _ ./353x-，4 4所以尸中x9+V35324例 2.（2021内蒙古通辽中考真题）先化简，再求值:餐2x 4-1 +1H 元 +2其中X满足X-。.解：*x2-x-2 =0，x=2 或 x=l(2x4-1X4-1x+2%2+2x4-1+D+z2x4-1 x2-1.x+2=(-+-)+-7x+1 x+1 (X+1)22x+x
2、2.工+2=X+l(X+1)2=伞+2)。+1)2x+l x+2=x(x+1)0,m5,将 M=1代入原方程得：3,又 丁 xi 9X2=2m-1 =5,AX2=5,/n=3；（2）设存在实数”满足（司_。（-1）=白，那么有3 X2-（X|+X,）+1=,rn-5B P （2/n-l）-6 +l=,m-5整理得：8m+12=0,解得力=2 或机=6.由（1）可知帆 0=方程有两个不相等的实数根；（2）=00方程有两个相等的实数根；（3）2 0 0,解得a N 5 盘，a 为整数，,-a 的最小值是6,答：第一次降价至少售出6 件后，方可进行第二次降价.解答应用题的关键是：找出等量关系和不等关
3、系，列出相应的方程和不等式，第一问是典型的的下降率问题，是中考常考题型.建议学生加强此类题型的巩固练习。经典变式练一、单选题1.(2 0 2 1 山东临沂中考真题)方程/-x =5 6的 根 是()A.%=7,9=8 B.x,=7,X j =-8 C.%=-7,x2=8 D.内=-7,x2=-82.(2 0 2 1.内蒙古赤峰.中考真题)一元二次方程*2 一 8 -2 =0,配方后可形为()A.(X-4)2=18 B.(x-4)2 =1 4C.(x-8 f=6 4 D.(X-4)2=13.(2 0 2 1 广西河池中考真题)关于x的一元二次方程V+皿一加一2 =0的根的情况是()A.有两个不相
4、等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.实数根的个数由，的值确定4.（2 0 2 1 贵州遵义中考真题）在解一元二次方程N+p x+q=O时，小红看错了常数项q,得到方程的两个根是-3,1.小明看错了一次项系数P,得到方程的两个根是5,-4,则原来的方程是（）A.x2+2x-3=0 B.x2+2 x -2 0=0 C.x2-2x-2 0=0 D.x2-2x-3=05.（2 0 2 1.山东潍坊中考真题）若菱形两条对角线的长度是方程2-6 x+8=0 的两根，则该菱形的边长为（）A.后 B.4 C.2 5 D.56.（2 0 2 1 广西贵港中考真题）已知关于x的一元二次方程*2 依+
5、&一3=0的两个实数根分别为不当，且x：+x；=5,则 k的 值 是（）A.-2 B.2 C.-1 D.17.（2 0 2 1.四川雅安中考真题）若直角三角形的两边长分别是方程*2 7 x+1 2 =O 的两根，则该直角三角形的面积是（）A.6 B.1 2 C.1 2 或 域 D.6 或应-2 28.（2 0 2 1 山东荷泽中考真题）关于x的方程（2-l），2+（2 Z +l）x+l =0 有实数根，则上的取值范围是（）A.k 且B.且人父1 C.k D.kN 4 4 4 4二、填空题9.（2 0 2 1 四川巴中中考真题）关于x的方程2 x 2+a-4=0 的一根为x=l,则另一根为1 0
6、.（2 0 2 1 江苏南通中考真题）若相，是一元二次方程/+3 _1 =0 的两个实数根，则3 2皿+的值为.一 11 1.（2 0 2 1 四川雅安中考真题）已知一元二次 方 程/+-2 0 2 1 =0 的两根分别为机，n,则+的值为.m n1 2.（2 0 2 1 湖北十堰中考真题）对于任意实数、h,定义一种运算：a b =a2+b2-ab,若1）=3,则 x的值为.1 3.（2 0 2 1 湖南岳阳中考真题）已知关于x的一元二次方程x 2+6 x +%=0 有两个相等的实数根，则实数 的值为.三、解答题1 4.（2 0 2 1 湖北黄石中考真题）已知关于x的一元二次方程f+2皿+*+
7、机=0 有实数根.（1）求机的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为为、与，且 才+考=1 2,求m的值.1 5.（2 0 2 1 黑龙江齐齐哈尔中考真题）解方程：x（x-7）=8（7-x）.1 6.（2 0 2 1 浙江嘉兴中考真题）小敏与小霞两位同学解方程3（x-3）=（x-3）2 的过程如下框:你认为他们的解法是否正确？若 正确请在框内打若错误请在框内打“x”，并写出你的解答过程.小敏：两边同除以（x-3）,得3 =x 3,则 x =6 .小霞：移项，得3（X-3）-（X-3）2=0,提取公因式，得（x 3）（3 X 3）=0.则x-3=0 或3-x-3=0,解得占=3,w=0.1
8、7.（2 0 2 1 山东荷泽中考真题）列 方 程（组）解应用题端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克2 2 元；小李：当销售价为每千克3 8 元时，每天可售出1 6 0 千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加1 2 0 千克.根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3 6 4 0 元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？一、单选题1.（2 0 2 1 山东日照港中学二模）已知关于x 的一元二次方程 2-2 尢-1=0 有两个不相等的实数根，则二次项系数的取值范围是（）A.B.a -2C.a 1
9、且#0D.a -1 且 邦2.（2 0 2 1 河南洛阳二模）对于一元二次方程x2 5 x+c =0 来说，当6 =工 时，方程有两个4相等的实数根，若将。的值在弓2 5的基础上减小，则此时方程根的情况是（）A.没有实数根 B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根 D.只有一个实数根2 0 2 13.（2 0 2 1.江苏建邺.一模）己知双曲线y =丁 与 直 线，=h+。交于矶,）,若 +刍 0,%+%0,则（）A.k 0,b 0 B.k。,b0C.k 0 D.k 0,b 0；方程a%2+/=。的两根为制=-2,X2=0；7 a+c 2 .7.（2 0 2 1 云南昆明市第三中学模拟预
10、测）若关于x 的不等式组 方一”的解集为烂2 无 一 1 010.（2 0 2 1 云南 一模）已知关于X的不等式组 c ，无解，且关于y 的一元二次方程7 -2 x 1阳，+分+1 =0 有两个实数根，则整数机的值可以是11.（2 0 2 1 江苏苏州市立达中学校二模）若关于x 的一元二次方程，+（?+2 +2 =0 的根都是整数，则整数，的最大值是.12.（2 0 2 1浙江萧山一模）如图，在边长为2的菱形A 8 C D 中，N A=6 0。，点 E在 AO 上（不与A、。重合），连接B E,C E,C E交 B D于点、F.当 AE=Q F时，则 A E=.13.（2 0 2 1福建厦门
11、市第九中学二模）若关于x 的一元二次方程62+法+。=。有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是方程*一3 工+2 =0是倍根方程；若（1-2）（的-）=0 是倍根方程,则=4 机 或 =团；若点（P，4）在双曲线y=4的图像上，则关于X的 方 程+3 x+q =0 是倍根方程x14.（2 0 2 1.浙江.绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）小丽在解一个三次方程炉一2 x+l=0 时,发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1,所以原方程可以转化为。-1）（/+版+c）=0.根据这个提示，请 你 写 出 这 个 方 程 的 所
12、有 的 解.三、解答题15.（2 0 2 1重庆八中二模）某文具店去年8月底购进了一批文具116 0 件，预计在9月份进行试销.购进价格为每件10 元.若 售 价 为 12 元/件，则可全部售出.若每涨价1元.销售量就减少2 0 件.（1）求该文具店在9月份销售量不低于110 0 件，则售价应不高于多少元？（2）由于销量好，10 月份该文具进价比8月底的进价每件增加2 0%,该店主增加了进货量,并加强了宣传力度，结 果 10 月份的销售量比9月 份 在（1）的条件下的最低销售量增加了2加,但售价比9月 份 在（1）的条件下的最高售价减少百机.结 果 10 月份利润达到3 16 8元，求，的 值
13、.16.（2 0 2 1辽宁建昌县教师进修学校二模）某儿童玩具店销售一种玩具，每个进价为6 0 元,现以每个1 0 0 元销售，每天可售出2 0 个，为了迎接六一儿童节，店长决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每个玩具每降价1 元，则每天多售出2个.设该玩具的销售单价为x （元），日销售量为V （个）.（1）求y与x 之间的函数关系式.（2）为了增加盈利，减少库存，且日销售利润要达到1 2 0 0 元，销售单价应定为多少元？（3）若销售单价不低于成本价，每个获利不高于成本价的3 0%,将该玩具的销售单价定为多少元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？一、单选题1 .（
14、2 0 2 1,四川巴中中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：RP Ap如图，点尸是线段A B上一点（”8 P）,若满足M=三，则称点尸是A8的黄金分割点.黄AP AB金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好.若舞台长2 0 米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（）A P BA.（2 0-x）2=20X B.N=2 0 （2 0 -X）C.x （2 0-x）=2 0 2 D.以上都不对2.（2 0 2 1.西藏中考真题）已 知 一 元 二 次 方 程 1 0 x+
15、2 4=0 的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（）A.6 B.1 0 C.1 2 D.2 43.（2 0 2 1 辽宁阜新中考真题）在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年1 0 0 万字增加到九年级的每年1 2 1 万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x,根据题意，所列方程正确的是（）A.1 0 0（1+x）2=1 2 1 B.1 0 0 x 2（1+x）=1 2 1C.1 0 0（1 +2 x）=1 2 1 D.1 0 0（l +x）+1 0 0（l +x）2=1 2 14.（2 0 2 1 山东泰安中考真题）已知关于x的一元二次方程标版（2 k-
16、l）x+k-2 =0 有两个不相等的实数根，则实数人的取值范围是（）A.k B.k 且 w 0 D.k /2 D.2 72 +26.（2 02 1 河南中考真题）如 图 1,矩形A B C D 中，点 E 为 B C 的中点，点 P 沿 B C 从点B 运动到点C,设 8,尸两点间的距离为x,P A-P E =y,图 2是点尸运动时V随x 变化的关系图象，则8c的 长 为（）D.77.（2 02 1 四川宜宾中考真题）若m.n是一元二次方程N+3 x -9=0 的两个根，则m2+4m+n的 值 是（）A.4B.5C.6D.1 2二、填空题8.（2 02 1.广东广州.中考真题）一元二次方程/-
17、4 x+m =0 有两个相等的实数根，点A&,凶）、3（孙必）是反比例函数y =三 上的两个点，若占 当0,且该方程的两个实数根的差为2,求，的值.1 9.(2 02 1 湖北十堰中考真题)已知关于x的一元二次方程/-4-2 机+5 =0 有两个不相等的实数根.(1)求实数机的取值范围；(2)若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数，的值.2 0.(2 02 1.辽宁盘锦中考真题)某工厂生产并销售A,B两种型号车床共1 4 台，生产并销售 1 台A型车床可以获利1 0万元；如果生产并销售不超过4台 8 型车床，则每台B型车床可以获利1 7 万元，如果超出4台 B型车床，则每超出1 台，每台B
18、型车床获利将均减少1万元.设生产并销售8 型车床x台.(1)当x 4 时，完成以下两个问题：请补全下面的表格：若生产并销售8 型车床比生产并销售A型车床获得的利润多7 0万元，问：生产并销售B型车床多少台？A型B型车床数量/台X每台车床获利/万元1 0(2)当 0 4,方程有两个不相等实数根.故选A.【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当 ()时，方程有两个不相等的实数根；当=()时，方程有两个相等的实数根：当 0 ,且 k*l,解得，左 二 且七1,4当方程为一元一次方程时，上1,方程有实根综上，4故选：D.【点拨】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程
19、中a工0,熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键.9.xi=-2【分析】设方程的另一根为X 2,根据根与系数的关系可得及=-2,解答出即可.【详解】解：设方程的另一根为X 2,关于X的方程2 _ F+，n r-4=0的 一 根 为,-4则 1 X X 2=3 =-2,解得X2=-2.故答案为：X 2=-2.【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：处，X 2是一元二次方程以2+瓜+片0b c(存0)的两根时，X+X2=-,X*X2=.a a1 0.3【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到+3/?7-1=0,则 3,”-1=-落根据根与系数的关系得出m+n=-3,再将其
20、代入整理后的代数式计算即可.【详解】解：是一元二次方程x 2+3 x-l=O 的根，.m2+3m-=O,3m-m2,，、”是一元二次方程N+3 x-1=0 的两个根，m+n-3,.m3+m2n m2(m+n),.-=-r=(m+)=3,3/n-l-m2故答案为：3.【点拨】本题考查了根与系数的关系：若曾，X 2 是一元二次方程以2+瓜+c=o(a wo)的两h c根时，+x,=-2,x,x2=-.也考查了一元二次方程的解.a aii.-1-2 0 2 1【分析】根据一元二次方程根与系数关系的性质计算，即可得到答案.【详解】,一元二次方程f+x 2 0 2 1=0 的两根分别为m,nm +n=,
21、mn=2 0 2 1.1 1 _ m +n _-1 _ 1m n mn-2 0 2 1 2 0 2 1【点拨】本题考查了 一 元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的性质，从而完成求解.1 2.-1 或 2【分析】根据新定义的运算得到x (x-l)=x2+(x-l)2-x(x-l)=3,整理并求解一元二次方程即可.【详解】解：根据新定义内容可得：x (x-l)=x2+(x-l)?-x(x-l)=3 ,整理可得d*2 =0,解得=-1,X2=2,故答案为：-1 或 2.【点拨】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键.1 3.9【分析】直接利用根
22、的判别式进行判断即可.【详解】解：由题可知：=0”,B P 62-4*=0;%=9；故答案为：9.【点拨】本题考查了用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解决本题的关键是牢记：0 时，该方程有两个不相等的实数根；=()时，该方程有两个相等的实数根；()时,该方程无实数根.1 4.(1);n 0解得：m 0即实数川的取值范围是机工 0.(2)由工：+考=1 2 可 得:(%1 +)2-2XJX2=1 2*.*%+工 2 =-2m；xx2=M +m(-2/n)2-2m2+?)=1 2解得：m=3 或帆=-2V/n =0,提取公因式，得(x 3)3(x 3)=0,去括号，得(+3)=0,贝 iJx-
23、3=0 或 6-x=0,解得玉=3,X2=6.【点拨】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键.17.29 元.【分析】设这种水果每千克降价x(x0)元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程,解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的工的值，即可解题售价.【详解】解：设这种水果每千克降价x(x0)元，则每千克的利润为：(3 8-2 2-x)元，销售量为：(160+40X)千克，(1 6-x)(1 6 0 +40 x)=3 6 40整理得，f-1 2 x-2 7 =0(x-3)(x-9)=0，x =3 或 x =9 ,要尽可能让顾客
24、得到实惠，:.x-9即售价为3 8 9 =2 9 (元)答：这种水果的销售价为每千克2 9 元.【点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关犍.I.D【分析】由关于X 的一元二次方程狈2-2%-1=0 有两个不相等的实数根，即可得判别式 0且二次项系数a 翔，继而可求得“的范围.【详解】解：.一元二次方程a r2-2 x-1=0 有两个不相等的实数根，.*.=(-2)2-4x a x (-1)0,且在0,解得：a -1 且 a#0,故选：D.【点拨】此题考查了 一元二次方程根的判别式的知识.此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得()
25、.2.C【分析】根据根的判别式即可求出答案.【详解】解：由题意可知：4=25-4c,2 5当时，4,2 5 -4c 0,.该方程有两个不相等的实数根，故选：C.【点拨】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型.3.C【分析】根据交点坐标的意义，把问题转化方程，不等式问题判定即可.【详解】由题意得方程区2 +公-2 0 2 1 =0的两根分别为占，%,xb-2 0 2 1i+%2 =_ X,x KKX1 +工2 0-”0,kr0)k、b异号,2 0 2 1 2 0 2 1x=，必二 2 0 2 1 2 0 2 1 2 0 2 1(%+占)y +y之=十 =x x2中
26、22 0 2 1(x,+x2)VyI+y2 0,0,中2*.*Xj+x2 0 ,/.X X2 0,-2 0 2 1八.-0 ,kk 0.故选C【点拨】本题考查了 一次函数与反比例函数的交点问题，元二次方程根与系数关系定理，不等式思想，熟练运用交点坐标的意义，把问题转化为方程问题，不等式问题求解是解题的关键.4.B【分析】由表格可以得到二次函数图象经过点点(-3,1.8 7 5)和 点(1,1.8 7 5),这两点关于对称轴对称，由此得到对称轴直线，设出二次函数顶点式，代入两点，求解出二次函数解析式，得到4,b,C的值，依次代入到中进行判断即可解决.【详 解】解：由表格可以得到，二次函数图象经过
27、点(-3,1.8 7 5)和 点(1,1.8 7 5),.点(-3,1.8 7 5)与 点(1 J 8 7 5)是关于二次函数对称轴对称的,一 3 +1 二次函数的对称轴为宜线X=-y2=-1设二次函数解析式为y=a(x+l)2+/?,代 入 点(-2,3),(2,0)得,a+h=i9a+h=0解得3a=8,278二二次函数的解析式为：丫 =-白a*+1)2?+7=o oy -3,8 4.c =3,.是错误的,o 3b2-4ac=+4 x x 3 0 ,1 6 8.是正确的,3 3方 程 小+灰=0为-/-产0,即为 f+2 x =0 ,X =-2 ,%,=0 ,二是正确的,3 37 +c =
28、7 x(-二)+3 =-0,8 8 是错误的,，是正确的,故选：B.【点 拨】本题考查了二次函数系数特征和二次函数解析式求法，利用待定系数法求解函数解析式是通法，由表格提炼出对称轴的信息，是解题的突破口，此 题，也可以通过二次函数系数特征来解决.5.D【分 析】根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，求得系数的关系，代入代数式，配方法化简求值即可.【详解】解：由方程如2+灰+。=0 有两个不相等的实根为、4b c可得，q w 0,%+/=,XX2 =一a a：X2=2x,可得网=,2x：=,即 2(-2)2 =c i a 3a a化简得94c=2则 4b-9ac
29、=-2b2+4b=-2(b2-2b)=-2(b-I)2+2故劭-9 a c 最大值为2故选D【点拨】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及了配方法求解代数式的最大值，根据一元二次方程根与系数的关系得到系数的关系是解题的关键.6.C【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案.【详解】解：若a+6+c=0,则x=l是方程，+笈+片0 的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：/=一4“*0,故正确；方程*2+c=()有两个不相等的实根，zf=0-4c0,-4ac0则方程 ax2+hx+c=O 的判别式 J
30、=Z?2-4(7C 0,，方程ax2+bx+c=O必有两个不相等的实根，故正确；是 方 程ax2+hx+c=O的一个根，贝(j ac+bc+c-O,.*.(?(ac+b+1)=0,若。=0,等式仍然成立，但 c+b+l=0不一定成立，故不正确；若xo是一元二次方程ax2-hx+c=0的根，则由求根公式可得：回=土扬一4竺,2a；.2 a r o+6=“2 一而。，b2-4ac=(2axo+b)2,故正确.故正确的有，故选：C.【点拨】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键.7.B【分析】求 得 不 等 式 组 的 解 集 可 确 定-3,再根据一元二次方程的定
31、义和判别式的意义得到存09且A=9-4 0,所以且存0,然后找出此范围内的整数即可.4【详解】-2 x x -2解不等式组 3 得,一1 -2,-3,.关于X的 一 元 二 次 方 程-3 X+1 =0有两个不相等的实数根，.A=9-4 a 0 且 a和,9 二 V 且存0,49-3 V a V 且#0,4，符合条件的整数a为-2、-1、1、2共4个.故选：B.【点拨】本题考查了解一元一次不等式组、一元二次方程的定义及其根的判别式，易忽略一元二次方程的二次项系数不为零这个隐含条件.8.x =0或【分析】利用因式分解法解方程即可；【详解】X2=X fx2-x=0 ,x(x-l)=0,x=0 或
32、x=l ；故答案是：X=0BJC X=1.【点拨】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关犍.9.-2【分析】先根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到。+原 0 且乙=fe2-4 x(+l)=0,贝=4,再将代数式8a-2b2+6变 形 后 把 4“=4 代入计算即可.【详解】解：根据题意得。+1并 且 A=-4x(a+1)=0,即 2-40-4=0,b-4a=4,原式=-2 (b2-4a)+6=-2 x 4+6=-2,故答案为-2.【点拨】本题考查了一元二次方程OX2+6X+C=0(存0)的根的判别式 =b2-4ac；当4 0,方程有两个不相等的实数根；当4=0,方程
33、有两个相等的实数根；当4 3,再 根 据 元二次方程的定义和判别式的意义得到#0 且 =4?4仑0,解得，於4 且布翔，所以，”的范围为39?三 4,然后找出此范围内的整数即可.【详解】卜-机 0 0解：-2Xl,解不等式，得 x 优,解不等式，得 x3,关于y 的一元二次方程小y2+4y+i=o 有两个实数根，A=424m0,且 mO,解得m 4目 印0,3ni 时，方程有两个不相等的实数根；当=()时，方程有两个相等的实数根；当 2,不合题意，舍去，:AE=3-旧.故答案为：3-亚【点拨】本题考查/菱形的性质，等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识点，正确
34、的找到相似三角形，建立已知量和未知量的等量关系是解题的关键.1 3.【分析】根据倍根方程定义即可得到方程N+3X+2=0是倍根方程；根据倍根方程的定义得到%.,及，化简可得结论；根据已知条件得到网=2,解方程px2+3x+q=0得到方程的根；【详解】解：炉-3戈+2=0,(x-1)(x-2)=0,X|=l,X2=2,方程/3太+2=0是倍根方程；故正确；解方程(x2)(小)=0,得：xi=2,X2=,mV(x-2)(inx-n)=0 是倍根方程，.c 2，n.2=一 或 4二一,m inB|J m=n 或 n=4mf故正确；2 丁 点(p,q)在反比例函数y二 一的图象上，x:.pq=2,一
35、3+1 1 -3-1 2解方程 底+31+夕=()得：X|=,X2=-?=-,.X2=2X I,故正确；故答案为.【点拨】本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程 的定义是解题的关键.，4-中或【分 析】由(x1)(/+灰+(?)=0变 形 为Y+(匕-l)x2+(c-8)x-c=0,根据-对应的原 则 求 得b、c的值，然后运用因式分解和公式法求解即可.【详 解】解：*.,(%1 )(x2+t o+c)=0,/.X3+(&-1)X2+(C-/J)X-C0,又由题意得：x3-2 x+l=+(f e-l)x2+c-b)x-c,Z -
36、l=0c-b=-2-c=1解得:h=c =-l(x-l)(x2+x-l)=0,x-l=O,x2+x-l=0，.由求根公式得：尢=*叵=士避22则 原 方 程 所 有 的 解#或L故答案为：二 型或1.2【点 拨】本题主要考查了方程的解的定义和公式法求解一元二次方程，解题关键是根据一一对 应 的 关 系 求 出 氏c的值.1 5.(1)售 价 应 不 高 于1 5元；(2)6 0【分 析】(1)设售价应为x元，根据不等关系：该 文 具 店 在9月 份 销 售 量 不 低 于1100件，列出不等式求解即可;(2)先 求 出10月份的进价，再根据等量关系：10月份利润达到3 16 8元，列出方程求解
37、即可.【详 解】解：(1)设 售 价 应 为x元，依题意有116 0-20(x-12)1100,解 得：烂15.答：售价应不高于15元.(2)10 月份的进价：10(1+20%)=12(元),由题意得：1100(1+m%)15(1-Q%)-12=3 16 8,设 m0/o=t,化简得50产-25-3=0,解得：力=0.6,千=-0.1(舍去)，所以m=60.答：的值为6 0.【点拨】此题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的不等关系和等量关系，列出不等式和方程，再求解.16.(1)y =-2x 4-220；(2)销售单价应定为
38、8 0元；(3)销售单价定为7 8 元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大，最大利润是1152元【分析】(1)根据：日销售量=每个玩具的销售单价x 降价后每天的销售数量，可列出y关于x的函数关系式；(2)根据：每天的总利润=每个玩具利润x 降价后每天的销售数量，列方程即可求解；(3)设日销售利润为卬元，根据题意得到二次函数，利用二次函数的性质，结合x的范围可求出最大利润.【详解】解：(1)根据题意，得：y =20+2(10()-x),即 y =-2x+220,A y与 x之间的函数关系式为y =-2x+220；(2)(x-6 0)(-2x+220)=1200,x2-17 0 x+7 200=
39、0.解，得=8(),%=9 0 (不合题意，舍去)，答：销售单价应定为8()元；(3)设日销售利润为w元，根据题意，得卬=(x-6 0)(-2x+220)=-2x2+3 4 0 x-13 200=-2(x-8 5+1250,V a =-2 0,抛物线开口向下，w有最大值，由已知 6 0+6 0 x 3 0%=7 8,6 0 x 7 8,x 8 5时，w随x的增大而增大，x =7 8 时，w有最大值，w=-2(7 8-8 5)2+1250=1152,答：销售单价定为7 8 元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大，最大利润是1152元.【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数以及二次函数的
40、实际应用，求函数的最值时，应注意自变量的取值范围.1.A【分析】RP AP点尸是A 8的黄金分割点，且尸则9=20 x,1=,即可求解.AP AB【详解】解：由题意知，点尸是A 8的黄金分割点，S.PB(),解这两个不等式即可得到k的取值范围.【详解】0解：由题可得：码.2)。解得：k -且女片0；故选：C.【点拨】本题考查/一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式(组)的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求.5.B【分析】2 7设点C的坐标为C(7,0)(m 0),从而可得4 m,3(?
41、,一)，A C =m,BC=-,再根据m mA C+5C =4可得一个关于加的方程，解方程求出用的值，从而可得O C,A B的长，然后利用三角形的面枳公式即可得.【详解】解：设点C的坐标为c(九0)(帆 0),则4?,?),8(?,2),m2A C =m,BC =,mAC+BC=4,2 )tn+一=4,m解得加=2 +/2或加=2 -&，经检验，机=2 +0或机=2-0均为所列方程的根，(I)当机=2 +&时，O C =m =2+42,AB=m-=2y2,m则，。4B的面枳为LAB-0C=1X2应x(2 +正)=2及+2；2 2(2)当,“=2-a时，=m=2-后,48 =2一加=2&，m则。
42、43 的面积为 LAB-OC=LX2&X(2-)=2夜-2；2 2综上，二。4B的面积为20 +2或2a-2，【点拨】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合、解元二次方程，正确求出点C的坐标是解题关键.6.C【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到A B和B E之间的关系以及AE =5,再利用勾股定理求解即可得到B E的值，最后利用中点定义得到B C的值.【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，P A PE=l,即A B BE =1，当P点位于E点时，P A-P E =5,即AE-0=5,则A =5,AB2+BE2=AE2.A（BE+1）2+B2=7 12,即 B
43、E2+BE-20,：B E 0：.BE=3,点E为B C的中点，:.BC=6,故选：C.【点拨】本题考查了学生对函数图像的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图像中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法.7.C【分析】由于m、是一元二次方程/+3 厂9=0 的两个根，根据根与系数的关系可得，+片-3,mn=-9,而 6 是方程的一个根，可得）2+3）9二 0,B|J/n2+3A?=9,那么团2+4?+=加2+3加+m+n,再把m2+3相、m十九的值整体代入计算即可.【详解】解：:根、是一元二次方程/+
44、3 x-9=（）的两个根，w+/i=-3,，=一 9,Vm 是 x2+3x-9=0 的一个根，./7於+3 7 9=0,.m2+3m=9,./n2+4/n+?/=/n2+3/n+/H+/?=9+（？+）=9-3=6.故选：C.【点拨】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程/+/“+=0b c（4声 0）两根 XI、X 2 之间的关系：Xl+X2=-,X*X2=.a a8.【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根则 =（）求出切的取值范围，再由反比例函数函数值的变化规律得出结论.【详解】解：一元二次方程幺-4+?=0 有两个相等的实数根，=（-4）2 4?=0,m=4,.
45、点A（A,，X）、8（孙力）是反比例函数y 上的两个点，X JC,x2%，故填：.【点拨】本题考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程有两个相等的实数根求出团值，再由反比例函数的性质求解.9.0【分析】得到J厅的整数部分即可判断；先判断出正多边形为正六边形，再求出其内切圆半径即可判断；根据直线的平移规律可判断；根据新定义运算列出方程即可判断.【详解】解：16 17 2 5,4 V 17 5,5 4A 2 7-V r7 3万 的整数部分为2,小数部分为5-旧，故错误；外角为6 0。的正多边形的边数为：3 6 0。+6 0。=6这个正多边形是正六边形，设这个正
46、六边形为48 CD E F,如图，。为正六边形的中心，连接。A,过。作。于点：AB=2,ZBAF=20，A G=1,N G A 0=60 O G=G,即外角为60。且边长为2的正多边形的内切圆的半径为 石，故正确；把直线y =2 x-3向左平移1个单位后得到的直线解析式为y =2(x+l)-3=2 x-1 ,故错误；新定义运算：2 -1,，方程-l*x =(-l)x f-2 x 7 =0,H P x2+2 x+l =0,A=22-4x l x l=0.方程-l*x =0有两个相等的实数根，故错误，错误的结论是帮答案为.【点拨】此题主要考查了无理数的估算，正多边形和圆，直线的平移以及根的判别式，
47、熟练掌握以上相关知识是解答此题的关键.1 0.8 或 9【分析】分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况,再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得.【详解】解：由题意，分以下两种情况：(1)当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于x的方程丁-6%+=0的一个根，因此彳J 4 -6x 4+=0 ,解得 =8,则方程为Y-6x+8 =0,解得另一个根为x =2,此时等腰三角形的三边长分别为2,4,4,满足三角形的三边关系定理；(2)当4为等腰三角形的底边长时，则关于x的方程/一6+=0有两个相等的实数根，因此,根的判别式A=36-4=0,解得 =9,则方程为V -6x+9 =0,
48、解得方程的根为*=%=3,此时等腰三角形的三边长分别为3,3.4,满足三角形的：边关系定理；综上，的值为8或9,故答案为：8或9.【点拨】本题考查/一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键.需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理.1 1.3.【分析】先将要求解的式子进行改写整理再利用已知方程进行求解即可.【详解】X V Z2-3/+l =0,z2+l =3r.m i.,1 r +1 _ 3f .则 1 +-3,故答案为：3.【点拨】本题是一元二次方程求对应解的题目，解题的关键是将求解式子进行变形再利用已知方程进行简便运算.【分析】根
49、据非负性求得、。的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得再+4、代入+求解即可.%x2 xx2【详解】解：,实数。、h满足7+k+3|=0,A i z -2=0,8+3=0,解得：a=2,b=-3,X2-2X-3 =0,；一元二次方程f-2%-3=0的两个实数根分别为W、声，$+1 2=2,/x2=-3,1 1 _ X 1 +冗2 2/.十 =-=-,%x2 x1x2 32故答案为：一 .【点拨】本题考查代数式求值、二次根式被开方数的非负性、绝对值的非负性、一元二次方程根与系数，熟练掌握非负性和一元二次方程根与系数关系是解答的关键.1 3.2【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3,求出该
50、方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可.【详解】解：由根与系数的关系可得：为+/=3,XF=k,*.*xi=2X2,/.3X2=3,=1，%=2 ,=1 x 2 =2;故答案为：2.【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对bc于一元二次方 程 加+加+c =0（a*0）,其 两 根 之 和 为 两 根 之 积 为、.14.-2 或 1 7【分析】(1)将a=b代入“2+20=6+2解方程求出“，b 的值，再代入从+26=+2进行验证即可;(2)当 出 占时，求出a+匕+3=0,再 把 通 分 变 形，最后进行整体代入求值即可.a b【详解】解：已知巴