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1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知F=N-2i (i为虚数单位，彳为Z的共辑复数)，则复数二在复平面内对应的点在().A.第一象限
2、B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.过 抛 物 线 丁=2内(0)的焦点F作直线与抛物线在第一象限交于点A,与准线在第三象限交于点5,过点A作AF准线的垂线，垂足为.若t a n Z AFH=2,则 焉 =()BF5 4 3A.-B.-C.-D.24 3 23.已知等差数列 q 的前项和为S“，若 既=16,4=1，则数列 4的公差为()3 3 2 2A.-B.一一 C.-D.一一2 2 3 34.若 向 量 而=(0,-2),3=(6,1),则与2而+3共线的向量可以是()A.B.(-1,6)C.(-6，-1)D.(一1,一 g)(x-2)(x-e*)+3,(x N In 2)5.已
3、知函数/(x)=，当时，f(x)的取值范围为(-8,e +2,则实数m的3-2x,(x In 2)取值范围是()A.(I 一 ,12-g 1 B.(o o,l C.F 2-eD.In 2,16.集合 A=-2,-1,1,8=4,6,8,M =xx=a+b,b B,x B，则集合 M 的真子集的个数是A.1个 B.3个 C.4个 D.7个7.在正方体A G中，E是棱C G的中点，尸是侧面8 C G A内的动点，且A/与平面QA E的垂线垂直，如图所示,下列说法不正确的是()A.点尸的轨迹是一条线段 B.4 尸与8 E 是异面直线C.4 尸与，E 不可能平行 D.三棱锥F-A 5 R的体积为定值8
4、.已知集合A =x|x l ,6 =4/1,则()A.A cB =x|x l B.A uB =x|x e C.ADB =X|X1D.A c8 =x 0 x。)个单位后得到函数g(x)=s i n(2x +R 的图象 则 的最小 值 为()A.3汽B.8C.一25万D.811.如图,在矩形。4 3 C 中的曲线分别是，=5 ,y =c o 近的一部分，AC(0,l),在矩形。钻 C 内随兀4机取一点,若此点取自阴影部分的概率为4,取自非阴影部分的概率为鸟，则()A.片 g C.P1=P2 D.大小关系不能确定LIUUUI L IL U .12.在 Z VU 5C中，点 O是线段 8 c上任意一点
5、，2 A M=A O，B M =A A B +A C ,则义+=()1 1A.B.-2 C.-D.22 2二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。1 3.已知s i n(2a +)=p s i n，t a n(a +)=p t a n a,其中，为正的常数，且工1,则。的值为.14.等差数列仅“(公 差 不 为 0),其 中%,a2,4 成等比数列，则 这 个 等 比 数 列 的 公 比 为.1 5.已知复数z=(l i)(a+i)(i 为虚数单位)为纯虚数，则 实 数 的 值 为.16.春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2 名医生，6
6、 名护士到湖北A、8 两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3 名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有 种选派方法.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12 分)0 卜”,表示?，”中的最大值，如 m a x 3,=,己知函数/(x)=m a x,z 一1,21n x ,g(x)=m a x -x+l n x,-/+(/-x+2 t z2+4a .(1)设/心)=/.。)一3 1 一|(尤一1)2,求函数/z(x)在(0 上的零点个数；(2)试探讨是否存在实数。(-2,+8),使得g(x)60）的左焦点为F,上顶点为A,直线A F与直线i+y-3立=0垂直,
7、垂足为B,且点A 是线段BF的中点.（I）求椭圆C的方程；（II）若 M,N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线x =4交于点Q,且 砺 而=9,求点P的坐标.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】设2=。+历,(a,Z?cR),由?2 i,得 _2i=a-3+2)i=+/N，利用复数相等建立方程组即可.3 3【详解】/2,2 c r+b-设 z=a+Oi,(a,Z?e R),贝II z-2i=a (Z?+2)i=-所以“3，3 0+2=0=在 6 B解得 一 彳，
8、故z=3-2 i，复数二在复平面内对应的点为(3,-2),在第四象限.b=-2 2 2故选：D.【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及到共朝复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.2.C【解析】需结合抛物线第一定义和图形，得 为 等 腰 三 角 形，设准线与x轴的交点为例，过点口作FCJ_A/,再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出忸目=J 丁、,cos(乃一2a)I .ptana四匕;(乃_2 0，结合比值与正切二倍角公式化简即可【详解】.MF n如图，设准线与X轴 的 交 点 为 过 点 尸 作 人 由 抛 物 线 定 义 知|AK=|AH|,所以 ZAHF=ZA
9、FH=a,ZFAH=/r-|CF|C H a _1 sin（万 一 2a）sin（万一 2a）A川 tana tana所以-=-=-=BF tan（乃 一 2a）-tan 2aIK-2a-AOFB,fiF-1-，1 cos（九一 2a）cos（4一 2a）ptanasin（万一2a）_ tan2 6Z-1 _ 32 2故选：c【点睛】本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题3.D【解析】根据等差数列公式直接计算得到答案.【详解】依题意，S =8(q t.).=8(%t.)=6,故/+。6=4,故/=3,故d=一二%=一2 ,故选：D.8 2 2 3 3
10、【点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.4.B【解析】先利用向量坐标运算求出向量2沅+丹，然后利用向量平行的条件判断即可.【详解】.成=(0,-2),而=隔,1)/.2/+无=(退,一3)(=g(6,3)故选B【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定，属于基础题，在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应，切不可错位.5.C【解析】求导分析函数在x 2 l n2时的单调性、极值，可得x N l n2时，/(x)满足题意，再在x 0,则 1112cx1；/,(x)l,函数在(ln2,1)单调递增，在(1,+8)单调递减./.函数/(力 在x=1处取得极大值为 1
11、)=e+2,.xNln2时，/(x)的取值范围为(-00,e+2,；ln2m l又当xln2时，令/(x)=3 2 x e+2,则尤2一，即Wxln2,1 e:.-m ,A-1 1,B=卜上，1 =x|x 0,r.A CJB=X|X0,AD8=X|X x -=.2 2故选：A.【点睛】本题主要考查数量积的运算，属于基础题.10.A【解析】首先求得平移后的函数g(x)=sin(2x+2。一彳)，再根据sin(2x+2Q?)=sin 2x+?)求 的最小值.【详解】根据题意，/(x)的图象向左平移。个单位后，所得图象对应的函数g(x)=sin 2(x+*)-=sin(2x+2 e )=sin(2x
12、+),_ 4J 4 4所以20一一=2七r+,攵e Z,所以=上万+,k e Z .又。0,所以9的最小值为.4 4 4 4故选：A【点睛】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.11.B【解析】先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得.【详解】根据题意，阴影部分的面积的一半为：R co sx-sin r)ac=忘-1，&一1 /厂 于是此点取自阴影部分的概率为夕=之*=4(宜2-1)4(14-1)=_.1-X 2-7-32-2又6=i _q鸟.故 选B.【点睛】本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题.12.A【解 析】设
13、由=k阮,用 丽，衣 表 示 出 丽7，求出九,的值即可得出答案.【详 解】设 丽=女元=女就一女通UUL1U U U U由 2 A M=A D.两=婢+孙-济+萍-拜.1 k kd,1.,.%+=-5.故选：A【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算,需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.二、填空题：本 题 共4小 题，每 小 题5分，共20分。13.y/2+1【解 析】把已知等式变形，展开两角和与差的三角函数，结合已知求得值.【详 解】解：由 sin(2a +4)=p s i n ,得 sinc +(a+/?)=p sin(a+/?)-0,sin(a +/7)c
14、 o s a+c o s(a +/?)sin a =p sin(a +p)c o s a-pcos(a+(3)sin a,即(p-l)sin(a +Q)c o sa =(p +l)c o s(a +/7)sina,(p1)t a n(a +5)=(/?+1)t a n a,又 t a n(a +)=p t a n a,-P 解得：p=l 6p-1夕为正的常数，二0=夜+1.故答案为：、历+1.【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，考查数学转化思想方法，属于中档题.14.4【解析】根据等差数列关系，用首项和公差表示出由2=q a 6,解出首项和公差的关系，即可得解.【详解】设等差数列 4 的公差
15、为d,由题意得：22 =ata6 贝!|(q+4)2=%(。1+54)整理得=3。,4 =。1+4=4。,所 以 虫=4a故答案为：4【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，涉及等比中项，考查基本计算能力.15.-1【解析】利用复数的乘法求解二 再根据纯虚数的定义求解即可.【详解】解：复数 z=(l-/)-(。+0 =4+1+(1-。)i 为纯虚数，=。+1=0,1-。0 0,解得a=-.故答案为：T.【点睛】本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题.1 6.2 4【解析】先求出每地一名医生，3名护士的选派方法的种数，再减去甲乙两名护士到同一地的种数即可.【详解】解：每地一名医生
16、，3名 护 士 的 选 派 方 法 的 种 数 有=4 0 ,若 甲 乙 两 名 护 士 到 同 一 地 的 种 数 有=1 6,则甲乙两名护士不到同一地的种数有4 0 -1 6 =2 4.故答案为：2 4.【点睛】本题考查利用间接法求排列组合问题，正难则反，是基础题.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1)2个；(D存在，(空 二1劣.【解析】试题分析：(1)设F (x)=x2-l-2 h x 对其求导，及最小值，从而得到f(x)的解析式，进一步求值域即可；(1)分别对a W 0和a 0两种情况进行讨论，得到g8的解析式，进一步构造h(力，通过求导得到最
17、值，得到满足条件的a的范围.试题解析：(D 设*x)=f_ _ 2 1 n x,k(x)=2 x _2=2(x l)(x+l).1 分令 尸(x)0,得x l,*x)递增；令 尸(x)0,得0 x 0,即/一Llnx，/(力=/一1.3分设G(x)=31 x-|(X-1)2,结合与G(x)在(0,1 上图象可知，这两个函数的图象在(0 上有两个交点，即(x)在(0,1 上零点的个数为1.5分(或由方程X)=G(x)在(0,1 上有两根可得)(1)假设存在实数ae(-2,+0 0),使得g(x)X+4 a对xw(a +2,+)恒成立，则 Z-x2+a2x+l nx 一3 尤+44。2/_3对 X
18、(+2,+oo)恒成立,x+2。+4。x+4。221 1 )inx x 0设 H(x)=Inx ；x,=！一；二 2 9令W(尤)0,得0 xv2,”(x)递增；令(x)2,H。)递减,6分A H(x)max=/?(2)=ln2-l,n 2 当0a+2 ln2 1,：.a ,V0,4故当aw ：Lo)时,当。+2 2 2即时,:ln(a+2)ga-1Inx4。对%(4+2,+00)恒成立.8.分.“(尢)在(+2,+00)上递减，:.H(x)/(6r+2)=ln(6r+2)-4Z-1.、71 1 0,/.H(a+2)H(0)=ln2-l 0,a+2 2故当aNO时，Inx一一元 o对 4+工饮
19、)恒成立，则“+2 2a2,ae-l,2.11 分由及得，2.故存在实数a e(-2,+oo),使得g(x)=-y+-z =05 5，得Vm ,A.B=-x -y=02 2底x=-y11.z=-2y令y=f,则 得用=卜石,又EB、,0,0,7设 直 线 与 平 面ABD所成的角为凡则卜。，加 丽 后 嵋邛所以直线BE与平面A B D,所成角的正弦值为B6【点睛】利用向量法求解直线和平面所成角时，关键点是恰当建立空间直角坐标系，确定斜线的方向向量和平面的法向量.解题时通过平面的法向量和直线的方向向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角.
20、求解时注意向量的夹角与线面角间的关系.19.(1)五;(2)叵.2【解析】(D将直线的参数方程化为直角坐标方程，由点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，结合垂径定理即可求得的长；(2)将P的极坐标化为直角坐标，将直线方程与圆的方程联立，求得直线与圆的两个交点坐标，由中点坐标公式求得M的坐标，再根据两点间距离公式即可求得|P M|.【详 解】x-t(1)直线/的参数方程为(f为参数)，1 y=t化为直角 坐 标 方 程 为y=x,即x-y =()直 线/与 曲 线C ：(x仔+V=1交 于4B两点.则圆心坐 标 为(1,0),半 径 为1,则由点到直线距离公式可知 =，所 以 陷=2x j 1=
21、6(2)点P的极坐标为(2企，苧 化 为 直 角坐标可得(2,2),y=x直 线/的 方 程 与 曲 线C的 方 程 联 立/2 2，化 简 可 得/一 x=0,(x-1)+y=解 得X =0,X =1,所 以48两 点 坐 标 为(0。)、(1),所 以M|,(2 2；由两点间距离公式可得|P M|=【点睛】本题考查了参数方程与普通方程转化，极坐标与直角坐标的转化，点到直线距离公式应用，两点间距离公式的应用,直线与圆交点坐标求法，属于基础题.2 0.(1)见 解 析；(2)s i n 6 =54【解 析】(1)先由线面垂直的判定定理证明EGL平 面 再 证 明 线 线 垂 直 即 可；(2)
22、建立空间直角坐标系，求 平 面AFH的一个法向量与平面S77的一个法向量，再利用向量数量积运算即可.【详 解】(1)证明：连接A C,由AE,CG平行且相等，可知四边形AEGC为平行四边形，所以EG/AC.由题意易知AC_L3。，A C A.B F,所以EGLBO,E G V B F,因为8。0 8尸=8,所以E G工平面B DH F,又DF u平面B DH F,所以E G k DF.(2)设ACnBO=O,E G C H F =P,由已知可得：平面AO”E/平面BCGE,所以E H F G,同理可得：E F/H G,所以四边形EFG”为平行四边形，所以P为EG的中点，。为AC的中点，所以。R
23、AE平行且相等，从 而 平 面ABC。，又。4_LQB,所以。4,O B,。尸两两垂直，如图，建立空间直角坐标系。一孙z,OP=3,DH =4,由平面几何知识，得B F =2.则 A（2右,0,0）,C（-2,0,0）,网0,2,2）,H（0,-2,4）,所 以 标=（一26,2,2）,#=（26,2,2）,而=（0,4,2）.设平面AFH的法向量为=(x,y,z),由-n=0,可得-n=0-2yf3x+2y+2z 04 y-2 z =0令y=l,则z=2,x=Q,所以3=(6,1,21同理，平面CFH的一个法向量为肩=(一6,1,2设平面A F H与平面C F H所成角为0,y/1 54 本
24、题考查了线面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法，重点考查了空间向量的应用，属中档题.21.（1）（x-3）2+（y-3）2=4；（2）20【解 析】(1)利用=2 8 5。=外 抽。即可得到答案(2)利用直线参数方程的几何意义，|2 4+归却，=彳+匕=&+幻2 2稔.【详解】解：(1)由2 2 =6 2(c o s。+si n6)1 4,得 圆C的直角坐标方程为元2 +丁=6 x+6 y _ i 4,即(x-3)2+(-3)2 =4.(2)将直线/的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得l)2+(*t-3)2=4,即尸一4 0 f +6 =o,设两交点A，B所对应的参数分别为4，t2,从而4=
25、4 他=6贝!)+PBf=彳 +1=&+幻2 2他=3 2-1 2 =2 0.【点睛】本题考查了极坐标方程与普通方程的互化、直线参数方程的几何意义等知识，考查学生的计算能力，是一道容易题.2 22 2.(I)+-=1.4 2(I D PQ,将【解析】(I)写出A尸坐标，利用直线AE与直线x+y-3a=0垂直，得至U/?=c.求出3点的坐标代入龙+y-3挺=0,可 得 到 c的一个关系式，由此求得 c和 的 值，进而求得椭圆方程.(I I)设出P点的坐标，由此写出直线MP的方程，从而求得。点的坐标，代 入 而 而=9,化简可求得P点的坐标.【详解】(I),椭圆的左焦点/(一。,0),上顶点A(0
26、,b),直线A F与直线x+y -30=0垂直直线A F的斜率k =2 =l,即 =c c又点A是线段B F的中点.点B的坐标为B(c,)又点B在直线x+y-3立=0上 c+2b-3&=0由得：h=c=y/2,e-a2=4-)2.椭 圆C的 方 程 为 上 +汇=1.4 2(II)设(%0,%0)由 易 得 顶 点M、N的 坐 标为M(-2,0),N(2,0).直 线MP的方程是：y=(x+2)y=%（x+2）（6yn由 尤o+2，得：Q 4,上 及x=4 I 为+2 2又点尸 在椭 圆 上，故+”=14 2初畋=（x0+2,%）.2,=2（x0+2）+6年 _ -XO2+8XO+2O_-=y2x0+2玉)+2./=1或 _2（舍）%=当（%。）.点P的 坐 标 为P 1,【点 睛】本小题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查两直线垂直的条件，考查向量数量积的运算.属于中档题.在解题过程中，首先阅读清楚题意，题目所叙述的坐标、所叙述的直线是怎么得到的，向量的数量积对应的坐标都有哪一些，应该怎么得到，这些在读题的时候需要分析清楚.