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1、2021年新高考地区综合模拟数 学 命 题 卷(03)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共4()分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4 =3 =-2,1,0,则4口5=()A.-2,-1,0,1 B.-1,0,1 C.-1,0 D.-2,-1,0)【答案】Cx-1 f(x l)(x+2)0【解析】因为一4 0等价于 -八 等价于-2 x 41,x+2 x +2#0所以 A =x|2 A,导线截面为z m 7 r,则电压损失百分数U%=2也 .”据此可知，对于一条长z度为10 km,高压为10人丫的输电线路，若当导线截面为5 0加2,电流为30 A时的电压
2、损失百分数为U.4%,当导线截面为40 2,电流为3 5 A时的电压损失百分数为。2%，则 才=（）U 24035A.B.21242421C.D.3540【答案】c【解析】本题考查高压输电线路电压损失估算口诀的应用，由题知，q%=O 6 x,：x 3 0%=A%180.6*1035%金,所以 二 条 二 注2 40 4 U2 21 354故选：C.5.如图，在平行四边形A8CD中，M是边C O的中点，N是A M的一个三等 分 点（|?W|W|）,若存在实数，和，使 得 丽=2通+而，则义+=()【答案】C【解析】因为N是A M的一个三等分点(|/W|x0=g(6%+x,)-_1()7,1+4公
3、山点D在直线AB上，得 +2kjcQ=2=x0=-1 +2攵2 10所以丁亏=/,1 +2女 741+4公,3 2024r-25%+6=0=4=三或上8*3 ,故选：C.8.已知函数满足/（一%）=一/（%），且对任意的X1,X,G 0,+3（入一1010）的工的取值范围是（）A.尤 2021 B.x 2020C.x1011 D.x1010【答案】B 解析）/（%）3可化为（/（*2）-3/）（/&）-3石）0,所以 x）-3 x在 o,y）匕为增X2 一%X2 X函数，又/（f）=/（X），所以“X）为奇函数，所以 x）-3x为奇函数，所以/（X）3x在R上一为增函数.因为f（x 2019）
4、3（x7010）,所以/（x-2O19）-3（x 2019）/3x1,所以4-2 0 1 9 1,即x2020故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共2（）分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在复平面内，下列说法正确的是（）A.若复数z=上 三（i为虚数单位），则z3=l1-1B.若复数z 满足z 2 G R,则 z e RC.若复数z =a+b i(a,b c R),则 z 为纯虚数的充要条件是。=()D.若复数z 满 足 目=1,则复数z 对应点的集合是以原点。为圆心，以 1 为半径的圆【答案】A D【解析】解
5、：对于A:=i2=-1,Z4=l,所以23=严=产 7+2=,故1-1 (l-z)(l +z)A 正确；对于 B：设2=。+方，a,b G R ,所以 z?=(。+从 J?=/一？+2昉，若 z?R,则 2。=0,则4 =0,Z?W。或/?=0,a#0或。=/?=0 ,当 b =0 时 Z ER,故 B 错误；复数z=a+初(a,0 e R),则 z 为纯虚数的充要条件是a =0艮 0 ,故 C错误；若复数z 满足回=1,则复数z对应点的集合是以原点。为圆心，以 1 为半径的圆，故 D 正确；故选：A D1 0.某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为 60,
6、7 0),7 0,80),80,90),90,1 0 0 .若不低于80 分的人数是3 5人，且同一组中的数据用该组区间的中点值代表，则下列说法中正确的是()A.该班的学生人数是50C.估计该班成绩的平均分为85【答案】A C DB.成绩在 80,90)的学生人数是1 2D.估计该班成绩的方差为1 0 0【解析】由题图可知a =0.1 -0.0 1 0.0 2 0.0 4 =0.0 3,从而不低于80 分的频率为3 5(0.0 3 +0.0 4)x1 0 =0.7,所以该班的学生人数是石=5 0,所以A 选项正确；成绩在 80,90）的频率为（）.3,所以成绩在 80,90）的学生人数是50
7、x0.3=15,所以B选项不正确；因为嚏=65 x 0.1+75 x 0.2+85 x 0.3+95 x 0.4=85 所以 C 选项正确；因为=o 1x（65-85）2 +02x（75-85）2 +。3x（85 85）之 +0.4x（95-85）2=100,所以 D 选项正确.故选：ACD.11.己知。且。6=4,则（）A.2ab 1 B.log2 a-log2 b 1C.2+2方8 D.log2a log2Z?0,且ab=4,对A,a b 0,所以2所”2=1，故A正确；对B,取a=,。=万，所以1082。1082 6=1082=1082与 2lT+h 2 7?=8）当且仅当a=b取等号，
8、因为。匕 0，所以不能取等号，故C正确；对D,当a l b 0,log2a0,log2b 0,所以log2a-log2力 1,log2a0,log2b0,所以log?a log,b 4械2a；幅）=（!空 =i,当且仅当a=b取等号，因为。匕 0,所以不能取等号，故D正确.故选：ACD.12.已知5,是数列4 的前项和，且4=。2=1，。=41+24_2（2 3）,则下列结论正确的是（）A.数列 q1T+4 为等比数列 B.数列 4阳-2%为等比数列C.%=2+：（T）D.S20=|（4-l）【答案】ABD（解析】因为 q =a T+2,2（3）,所以 a“+%=24T+2 a-2=+-2），
9、乂 4+/=2/0,所以 a.+%+J是等比数列，A正确;同理4 物 I=an-+2a2 24 T =an-+2aA 2=一(i 2at i)而出 2al=-1,所以。，出一 2。是等比数列，B正确：若一丁,则丝T=3，但4=1 0 3 ,C 错；由A a”+a,i 是等比数列，且公比为2,因此数列4+外,4+。4，。5+。6,仍然是等比数列，公比为4,2“一4 1 2所以邑0 =(“I+)+(。3 +4)-1-1-(,9+4 20)=-=一(4 -1).D 正确.1 4 3故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3.如图，将某圆形工件(厚度忽略不计)放置在水平面MN
10、上，与MN交于点A,在圆周上取一点B,作24N B 4N的平分线A C,交圆周于点。，连接B C并延长交MN于点。.若A C =3,4 8=彳，则该圆形工件的半径为.【答案】|2【解析】解：由弦A C平分N&4 T),可得N 5 A C =N D 4C,又因为N C A O =N 6,所以NB=NBAC,24 4 7 t则 4 c =3。=3,则 4 8=28。(：0 5 8=6以%8 =,所以 c os 8 =.因为 0 84,所以5 5 2s i n B=V1-COS2B=|,因为圆形工件是口A5C的外接圆，所以由正弦定理得圆形工件的半径DA C 3 5一 2sin 8,乂 3 一万.N
11、X 5故答案为：21 4.某中学为了 了解学生学习物理的情况，抽取了 100名物理成绩在60 口 9()分(满分为100分)之间的学生进行调查，将 这100名学生的物理成绩分成了六段：60,65),65,70),70,75),75,80),80,85),85,90,绘成频率分布直方图，如图所示.从成绩在70,80)的学生中任抽取2人，则成绩在75,80)的学生恰好有一人的概率为24【答案】49【解析】从频率分布直方图中可知，成绩在70,75)的人数为0.04x5x100=20人,成绩在 75,80)的人数为0.06x 5 x 100=30人.成绩在75,80)的学生恰好有一人的概率为P=窄二
12、=故答案为：.491 5.已知函数/(%)=+2e-*,g(x)=x a,若关于的不等式/(x)-iz|g(x)+l|在R上恒成立,求实数a的取值范围是.【答案】ln 2-l a 0,/z(x)单调递增.又g(x)=x-a,则 g(x)+l =x a+l ,当|g(x)+l|=x-a +l时-，若直线y =x-a +l与y =(x)相切时，设切点为-a +l),贝U=ex-2ex=1,解得 =I n 2,又(x j =e*i +2 *-1 =%一 a+1,所以*2+2 e/2 i =i n2 a +1，解得此时纵截距为1 -a =2 -I n 2,故当纵截距l-a 4 2 l n2时，可以使/
13、(x)1 2|g(x)+l|恒成立，即a N l n2 l；当|g(x)+l|=-x+l时，若直线y =x+aT与y =/z(x)相切时，设切点为(，一马+-1),则(w)=e 2 2 e=1,解得/=0，Z (赴)=e*2 +2 A：1 =X j +6(1,所以 e +2?-1 =0 +a 1 1解得此时纵截距为a-1 =2,故当纵截距a 1 2时，可以使/(x)l N|g(x)+l|恒成立，即“4 3；由已知对V x e R,都有x)l N|g(x)+l|,需l n2-1 4 a W 3.故答案为：l n2-l a 0,所以7JZ T2T3 Tn-Tn+1 2-1 8.在6 s i n 3
14、 +c s i n C二hsinC+as i n Ac o s?C+s i n Bs i n C=s i n2 B+c o s2 A；72。=2acos C+c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在口4 3。中，角A、B、。所对的边分别是。、b、c,.（1）求角A；（2）若a=10,lABC的面积为8 6，求口4 8。的周长.71【答案】（I）条件选择见解析，A =-；（2）24.【解析】（1）选择：因为 bsinB+csinC=（2bsinC +a sin A,所以由正弦定理可得从+。2 =（丝bsinC+a。，即从十。2 一/=撞 加 足。，I 3）3则由余弦定理可得2bcco
15、s A=冬 叵 sinC，所以sinCcos A=-sin4sinC .3 3,/C e（0,则 sin C 0,所以 cos A=sin A，tan A =A/3,因为A（0 9）,所以A =W；选择：由 cos?C+sin Bsin C=sin2 B+cos2 A，得 l-sin?C+sin Bsin C=sin2 B+l-sin2 A，即 sin2 B+sin2 C-sin2 A=sin 5sin C，由正弦定理得b1+cz-a1=b c，由余弦定理得cos A=+丁”=1.2bc 2因为A （O,），所以A=（；选择：由2Z;=2 cosC+c,结合正弦定理得25指8=25皿4以光。+
16、5抽。.因为 A+3+C=;r,所以sin 5=sin；r-（A+C）=sin（A+C）,则 2sin（A+C）=2（sin Acos C+cos Asin C）=2sin Acos C+sinC,所以 2 cos AsinC=sin C .因为所以sin C 0,故cosA=；.jr因为A e（0,），所以A=；71（2）由（1）知 4=一.3因为 5AAsc=gcsin A=gz?csin（=8 6，所以 be=32.由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos A=（Z?+c）2-3 b c,即（8+c f=q2+3bc=l（）（）+3x32=1 9 6,所以。+c=14,所以口 A B
17、C的周长为a+6+c=24.1 9.区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后下一代颠覆性的核心技术.区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式.某5G科技公司对2020年1月份至6月份某款5G产品的销售量及销售单价进行了调查，销售单价X和销售量了之间的一组数据如下表所示：月份123456月销售单价X（百元）98.88.68.48.28月销售量y（万件）687580838490（1）由散点图可知变量X,y具有线性相关关系，根 据1至6月份的数据，求出关于X的回归直线方程;（2）预计在今后的销售中，月销售量与月销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种产品的成本是350元/
18、件，那么该产品的月销售单价应定为多少元才能获得最大月利润？（注：利润=销售收入一成本）6/7.Z0参考公式和数据：Z（x，7）（y-y）=T 4,=鼠+1其中匕=上1/=1【答案】（1）y=20 x+250；（2）800 元.2 0.如图，四棱锥尸一ABCD中，PA L面ABC。，ABCO是直角梯形,A B =A D =-D C =,PA =AB.设 平 面 与 平 面PD C的交线为/.2D C广 目 卜 广 亍）-，旌川=1AD L D C,AB/D C,（I）若E为尸。的中点，在直线/上找一点/使得E FJ面M E,确定尸的位置并证明你的结论;（II）。为/上的点，求平面Q8C与平面PA
19、O所成二面角的正弦值的最小值.【答案】（I）尸在直线/上距离P为1,证明见解析；（II）变.2【解析】解：（I）因为PA，面ABC。，AB ffl A B C D,所以PA _L A 3,又四边形ABC。是直角梯形，A D V D C.A B II D C ,所以 A O LA B，因为 A D,P4u 面PAO,A D r P A =A.因此A3 d.面PAO.因为 A 3/C O,A 8（z 面 PC。，C O u 面 PC。，所以 A B/面P C D.又 ABi 面P A 8,面 PABc 面 PCD=/,所以/A3.以A为坐标原点，分别以 而，A B，而 的 方向为,）,z轴的正方向
20、，建立空间直角坐标系,设A（0,0,0）,B（0,l,0）,C（l,2,0）,P（0,0,l）,七 仁，：尸(O,a,l),AB=(0,l,0),=若存在一点F使得族”A B E,则|竺,竺=即J 1 z、1八I 2 2）E F A E =0,+（-1）+-=0,i 1 4 4解得。=1,尸的坐标为（0,1,1）,则 尸在直线/上且与点P之间的距离为I.（H）由（I）知A（）,（）,0）,5（0,1,0）,C（l,2,0）,D（1,0,0）,尸（0,0,1）,0（0也 1）,品=（1,1,0）,苑=（0/-1,1）.通=（0,1,0）是平面PA。的一个法向量.-,、n-B C =0,f（x,y
21、,z）-（l,l,O）=O,设 =x,y,z是平面Q8C的法向量，则 即:二 二 一、八）n-B Q =0,a，y,z）（O,b-l,l）=O,得x+y=0,_/、处T+z=。可取=（1一，1），设平面与平面PAD所成二面角为6,所以向福力卜需二;一17?则 sin2 =1-cos2 8=1-1廿 2b+3 1又62-28+3=(8-1)2+2 2 2,所以sin2(9=l-Z?2-2/7+3 1-=.因为sin。2 0,所以2 2sin6-,所以平面Q B C与平面P A D所成二面角的正弦值的最小值为也.2,221.已知椭圆=l（a 80）的左焦点为凡过F的直线x-4 3 y +j3=。与
22、椭圆在第一象限交于M点，。为坐标原点，三角形M F0的面积为且4（1）求椭圆的方程;（2）若ABC的三个顶点A,B,C都在椭圆上，且0为口4 3。的重心，判断口人3。的面积是否为定值,并说明理由.【答案】（1）2X4+y2=l；（2）是定 值 铝，理由见解析.2【解析】（1）直线x 4 G y+G =0过左焦点F,则有尸（6,0）,所以c=若 且右焦点尸（石,（），人 S&OMF=；x 6 x y M&得 以,=1，代入直线方程有XM=6,所以“4 2/.F M F 为直角三角形且N MF F=90,由椭圆定义，知：2a=|MF|+|M.|=；+J12+；=4,即a=2,2.椭圆的方程 为 三
23、+丁=1.4-（2）当直线8 c的斜率不存在时，设直线BC的方程为 =%,若则C（x，-y）,3 。为口4 5。的重心,可知4-2%,0）,代入椭圆方程,得x；=l,y：=“即有16cl=2|乂|=6,A到BC的距离为d=3,c _ 1 _ 1 A a _ 3 cS A B C =-B C-d=-X yj3x3=-当内线BC的斜率存在时，设直线8C的方程为=履+“，设8（%,乂），。（,必），由 X 2=14+)一，得(l+4Z?)x2+8攵3+4/?-4 =0,显然A0,y-kx+m-8km%+%=4/+，玉/4m2-4必2+1则 X+%=女(玉+)+2/=J：4/C+1.。为tlABC的重
24、心,可知48kHi4r+1 2m y4A2 +1,由A在椭圆上，得!4-2m4k2+2I =1,化*,|BC|=-Ji+k2-xi-x21=4jl+%2.1;+1G 等通逅|加|简得4那=4左2 +1,、V2+,31 m|由重心的性质知：A到直线5 c的距离d等于。到立线BC距离的3倍，即d=/,J+k2 Q _ 1 I I ；_ 3百,S A 8C =/1 BC =综上得，A 3C的面积为定值座.22 2.己知函数/(%)=,g(x)=COSX（I）求曲线/（X）在（-1 J（-1）处的切线方程;(II)上的单调区间;（III）证明：对任意的实数占，%2 G71 712,4,王，都有/（%）
25、/（玉）2g（%）2g（x2）恒成立.7T 7T【答案】（I）x-y +2=0；（II）单调递增区间是（一5，-,单调递减区间是（一 丁万，工方、;I 4 2）(III)证明见解析.【解析】(1 )由题意可知，/(-1)=1,.f(x)=e+1,所 以(一 l)=e=l,所以/(x)在(一 1(一 1)处的切线方程为丁一1 =%-(-1),即x-y+2 =0.(I I)g*(x)=-ex(c o s x+s i n x)=41ex s i n *+f，当g，(x)0；当时，g(x)2 g(x)2 g(w)可化为/(w)+2 g(w).f&)+2 g a).设(x)=/(x)+2 g(x)=e*
26、i +2 e-c o s x,2 4上是增函数,即证 (x)=eT-2 eT(c o s2 4上恒成立,即证e+i 2 j 5s i n x+N O在（一工，工匕恒成立.I 4）I 2 4；令（x）=e*_（x+l）,则/（x）=e*-l,（）在（一,0）上单调递减，在（）,+。）上单调递增，”（x）mj n =（。）=。，所以“（X）O,即 e*x+l.(jr jr因为X E -1，/)，所以/所以要证 e2 M-2 j J s i n(x-只需证 2 x+2 -2 /2 s i n (x 1/令u(x)=x+l-应s i n x+则 M(x)=1 一&c o s(x+?当3十 多。)时，v (x)o所以丫(力,=丫()=，所以 2 x+2 2 1/s i n (冗+%即“(x)=一 (c o s x1+1 2%+2-2 0成立，4；-l 0.4J工X，勾4J 1 2,4 j，),y(x)单调递减；,v(x)单调递增,4。，+s i n x)20在|一不二)上恒成立，即证.