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1、2021年江苏省南京市高考数学三模试卷一、单 选 题（本大题共8小题，共40.（）分）1.已知集合4=x 2*4,B=X|X2-2X-3 0），则亨+:的最小值为（）A.2 B.5 C.|D.Y8.已知a,b,c 均为不等于1 的正实数，S.lna=c ln b,c=n a,则 a,b,c 的大小关系是（）A.c a b B.b c a C.a b c D.a c b二、多 选 题（本大题共4 小题，共 20.0分）9.面对新冠肺炎疫情冲击，我国各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展均取得显著成效.如表显示的是2020年 4 月份到12月份中国社会消费品零售总额数据，其中同比增长率是指和去年同
2、期相比较的增长率，环比增长率是指与上个月份相比较的增长率，则下列说法正确的是（）中国社会消费品零售总额月份零售总额（亿元）同比增长环比增长累计（亿元）428178-7.50%6.53%106758531973-2.80%13.47%138730633526-1.80%4.86%172256732203-1.10%-3.95%2044598335710.50%4.25%2380299352953.30%5.14%27332410385764.30%9.30%31190111395145.00%2.43%35141512405664.60%2.66%391981A.2020年 4 月份到12月份，
3、社会消费品零售总额逐月上升B.2020年 4 月份到12月份，11月份同比增长率最大C.2020年 4 月份到12月份，5 月份环比增长率最大D.第 4 季度的月消费品零售总额相比第2 季度的月消费品零售总额，方差更小10.定义曲线厂9 +*=l 为椭圆C：+=l（a b 0）的伴随曲线，贝 联）A.曲线r 有对称轴 B.曲线r 没有对称中心C.曲线 有且仅有4 条渐近线 D.曲线r 与椭圆c 有公共点11.已知正四棱台的上底面边长为鱼，下底面边长为2或，侧棱长为2,则（）A.棱台的侧面积为6夕B.棱台的体积为1 4 8第 2 页，共 18页C.棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为:D.棱台的侧面
4、与底面所成锐二面角的余弦值为四71 2 .已知函数/(%)=3sin2x+4 c os 2%,g(%)=f(x)+|/(x)|.若存在a 6 R,使得对任意x E R,/(%)/(%0)则()A.任意x G R,f(x+%0)=f(x-%0)B.任意x e R,/(x)0,使得g(x)在(沏,沏+。)上有且仅有2 个零点D.存在。一整，使得g(x)在(%。-碧,沏+9)上单调递减三、单空题(本大题共4小题，共 2 0.0 分)1 3 .(3 产+妥)5 的 展 开 式 中 的 常 数 项 为 .1 4 .写出一个离心率为近，渐近线方程为y =2 x 的 双 曲 线 方 程 为 .1 5 .早
5、在 1 5 世纪，达芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法：如 图 1,先制作三张一 样 的 黄 金 矩 形=与 3，然后从长边C O 的中点E出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即。E=之 力。，再沿着与长边A 8 平行的方向剪出相同的长度,即。尸=0 E,将这三个矩形穿插两两垂直放置，连结所有顶点即可得到一个正二十面体，如图2 若黄金矩形的短边长为4,则按如上制作的正二十面体的表面积为,其 外 接 球 的 表 面 积 为 .图I图21 6 .已知直线 丫 =k x +b与曲线y =/+c os x 相切，则三+b的最大值为四、解答题(本大题共6小题，共 7 0.0 分)1 7 .已知四边形A
6、 B C D 中，4c与 B O 交于点,AB=2BC =2C D =4.(1)若 。C=|TT,AC =3,求c os/CA D；(2)若4 E =CE,BE=2 V 2.求 A B C 的面积.18.已知等差数列 斯 满足：的+3,a3,a4成等差数列，且出，。3,。8成等比数列.(1)求数列 an的通项公式；(2)在任意相邻两项dk与血+式卜=1 2,)之间插入2k个2,使它们和原数列的项构成一个新的数列 b .记及为数列 小 的前项和，求满足%500的n的最大值.19.如图，在四棱锥P-A B C D中，四边形A 8C D为直角梯形，AD/BC,/.ABC=90,AD=2BC=2AB=
7、4,PAD为等边三角形，E为P的中点，直线4 B与CE所成角的大小为45。.(1)求证：平面PAD 1平面ABCD；(2)求平面PA B与平面P C D所成角的正弦值.第4页，共18页2 0.某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学40局接球训练成绩，每局训练时教练连续发100个球，该同学每接球成功得1分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图.(1)同一组数据用该区间的中点值作代表，求该同学40局接球训练成绩的样本平均数L若该同学的接球训练成绩X近似地服从正态分布N(小 100),其中“近似为样本平均数3求P(5 4 X 6 4)的值；(2)为了提高
8、该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛.一局比赛中教练连续发100个球，该同学得分达到80分为获胜，否则教练获胜.若有人获胜达3 局，则比赛结束，记比赛的局数为K 以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求E(y).参考数据：若随机变量f N(R2),则P(ji-f+0.6827,PQi 27 f jU 4-2(T)0.9545,PQi 30 V f 0)的直线/与 C 交于A,8 两点.(1)若t=4,求 AP长度的最小值;(2)设以AB为直径的圆交x 轴于M,N 两点，问是否存在f,使 得 丽 丽=一 4?若存在，求出/的值；若不存在，请说明理由.2 2.已知函数/(x)=于-+a/nx,
9、a E R.(1)若a e,求证：函数f(x)有且仅有1个零点.第6页，共18页答案和解析1 .【答案】D【解析】解：A =x|x 2 ,B =x|-1 x 1,-1 cosx 0,排除 A,故选：C.根据题意，先分析函数的奇偶性，排除BQ,再分析区间+8)上，f(x)的符号，排除A,即可得答案.本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性、函数值的分析，属于基础题.4 .【答案】B【解析】解：根据题意，分 2 步进行分析：学生中不能分配到A社区，则甲有4 种安排方法，剩下的4人安排到其余4个社区，则有川=2 4种分配方法，则有4 X 2 4 =9 6种分配方法，故选：B.根据题意，分2步进行分析
10、：分析甲的安排数目，剩下的4人安排到其余4个社区，由分步计数原理计算可得答案.本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.5.【答案】D【解析】解：由c os(a )=：,得s in(2 a+=s in2(a-+勺6 4 o o Z=cos2(a _ =2cos2(a l=2x 1 =,再由c os(a_=|,得2 c os 26一 勺-1 =：,可得c os?1一)=(,s in(2 a+-)+c os2(-)=-+-=l.6、2 1 2，8 8故选：D.由已知结合诱导公式及倍角公式分别求得s in(2 a+与c os 2 6一 勺，作和得答案.本题考查三角函数的化简求值，考
11、查倍角公式及诱导公式的应用，是基础题.6.【答案】B【解析】解：由题意可知2 0 =1 0应;，解得/=lx lO-i0,由/=/得k =js2=io-】。x 1 52=2.2 5 x 1 0-8,由人耳能听到的最小声强为I O-”，=号=】5。，故选：B.根据题中的条件，列出方程，即可得出的值，再由题中的条件，即可解出.本题考查了函数的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题.7.【答案】C【解析】解：如图所示，以点A为原点，以AS A。所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 1,财4(0,0),B(l,0),C(l,l),D(0,l),第8页，共1 8页则根据中点坐标公式可
12、得。G，设点E的坐标为(1,巾)，则 由 荏=4芯+4 前(4 0).可得(l,m)=4(1,1)+%,-,所以 1 =，+；，贝*+三=W+工)(；1 +三)=2 +-+2 晤=2,2 入八 2 2 A H 2 A 2当且仅当:=*即4 =时取等号，此时1+猫最小值为小故选：C.以点A为原点，以4 B,AO所在直线为X,)轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 1,求出已知点的坐标，然后设出点E的坐标，代入己知关系式，即可求出入的关系式，然后根据基本不等式即可求解.本题考查了平面向量基本定理的应用以及向量的坐标表示，涉及到建立平面直角坐标系的应用以及基本不等式的应用，考查了学生的运算转化能力
13、，属于基础题.8 .【答案】A【解析】解：令(1 =e,贝二 c =e ,代入 1 =c hib得，eblnb-1 =0,Unc=b设f(b)=eblnb-1,则=eblnb+y=eb(lnb+,设九(b)=)b+,&b)=：T=震,当0 b l 时，h(b)l 时;h(b)Q,又 6*1,h(b)的最小值大于1,即1(b)0,./(b)=e，nb-1 为增函数，v /(I)=-1 0,/(I)-/(e)a b.故选：A.举 特殊值，再构造函数/(b)并判断单调性，利用零点存在定理求出人的范围，进而求出c 的范围即可.本题考查函数的零点判定定理的应用，函数的单调性的应用，特殊值法的应用，属于中
14、档题.9 .【答案】B C D【解析】解：选项A：6月到7月为下降，故A错误；由图表中的数据，可以直接判断出选项8、C、。均正确，故选：BC D.利用题中的数据，对选项进行逐个分析，即可作出判断.本题考查了函数模型的实际应用，学生的数据分析能力，数学运算能力，属于基础题.10 .【答案】A C【解析】解：x轴和y轴为伴随曲线的对称轴，故A正确；伴随曲线关于原点对称，故选项B错误；伴随曲线有4条渐近线分别为：x =a,y=+b,故选项C正确；由椭圆中x e -a,a,y&-b,b,而伴随曲线中，x a,x b,y AC=2V 2,V 2=4，A M=|(4 C A C)=1,ArM=V 22 l
15、2=V 3.上底面面积S =(V 2)2=2,下底面面积S =(2V 2)2=8.棱台的体积为V =|-h -(S +，S-S +S，)=：遍 14 =竽H 14 V 3.所以B错；对于C,因为AM为A 4在底面的投影，所以乙4 14 M为侧棱与底面所成角，c os乙=黑=1,所以C对；第10页，共18页对 于。，为侧面与底面所成锐二面角的平面角，cosZ-AM=,A l JLL 7V2所以。对.故选：AC D.A计算棱台侧面积判断：B计算棱台体积判断；C求侧棱与底面成角余弦值判断；。求侧面与底面成角余弦值判断.本题以命题真假判断为载体，考查了棱台的结构特征，考查了棱台的侧面积和体积计算问题，
16、考查了二面角的计算问题，属于中档题.12.【答案】BD-2【解析】解：函数/(%)=3sin2x 4-4cos2x=5sin(2x+(p),其中 为锐角，且c os。=由 题 意 是f (%)的最小值点，所以f (%)关于=X。对称，所以/(冗-%0)H /(t +%o)=f(x +&),故A错误；因为/(X)的最小正周期丁 =3=兀，所以/(X o+9为最大值，所以任意x eR,/(x)/(而+故B正确；因为 与)0,且/(X o+=O,在(沏，&+中，/(%)0,使得g(x)在(%0，殉+0)上有且仅有2个零点，故C错误；取。=一彳，则在(和 一 居,沏+。)内，/(x)单调递减，且/(x
17、)0,所以g(x)=2/X x)单调递减，故。正确.故选：BD.由辅助角公式可得/(x)=5s讥(2x +g),由题意可得与是/(x)的最小值点，/(x)关于x =和对称，由三角函数的性质逐个分析各个选项，即可求得结论.本题主要考查三角函数的性质，辅助角的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题.13.【答案】270【解析】解:二项式(3 M +专)5的通项公式为*+1=Cr (3/)5 7(妥=QT.35-r .炉0-5 1令 10 5 r =0,解得r =2,所以二项式(3#+点户的展开式中的常数项为：盘.3 3 =270.故答案为:270.先求出二项式展开式的通项公式，然后令x的指数为0,即可
18、求出对应的常数项.本题考查了二项式展开式中求常数项的问题，考查了学生的运算能力，属于基础题.14.【答案】乃=14【解析】解：不妨设双曲线方程为马一4=l(a 0,b 0),(1=2 _则由题意可得，p=V s，取a =l,解得 二2，V c2=a2+f a2二 双曲线方程为M 一 =i.4故答案为：X2 =1.4设出双曲线方程，根据题意建立关于“，儿c的方程组，对a赋值，即可求得b,c,进而得到双曲线方程.本题考查双曲线的标准方程及其性质的运用，考查运算能力，属于基础题.15.【答案】80V 3 (40+80V3)T T【解析】解：由题目中的图2可得正二十面体的表面是二十个全等的等边三角形，
19、边长为4,所以表面积为攻x 42 X 20=80V 3;4由盘=写得长边2y =2遥+2,根据对称性可知，外接球球心在所有黄金矩形对角线的交点处，直径就是黄金矩形的对角线长度，即 2R =J 42+(2 遥 +2尸=,40+8层,所以外接球的体积为4兀/?2=4兀x (710+2V 5)2=(40+8圾兀.故答案为：80百；(40+8西)兀.根据图2所示，此正二十面体由20个正三角形构成，由黄金矩形的短边长为4,进而可以求出其表面积；根据对称性可得，此正二十面体外接球的直径就是黄金矩形的对角线长度，则可求出外接球的体积.考查空间想象能力，如果不能从对称性整体考虑，而是构造空间线面关系，必将问题
20、复第1 2页，共1 8页杂化.属于中档题，情境题.16【答案】？【解析】解：y =/(%)=%2+c o s%的导数为f =)=2x-sinx,由于(2%sinxY=2 cosx 0,可得2%si n x 为增函数，当 NO 时,2x sinx 0,则y =/(%)递增,可得f (%)二 f(0)=1,因为y =f(%)为偶函数，可得f(%)在(-8,0)递减，问题转化为2+cosx kx+b 对 G R 恒成立.当“皂 时，包2 2 4当包+b =c时，令1 c)k =o,即卜=兀一1,2 4 N所以入=生出，4此时M+C OSX (jt-1)X +2 ：-,而y =(7T 1)X +失土为
21、/(X)在X =处的切线方程.则合+b 的最大值为Q.24故答案为：4求得y =f(x)=%2+c o s%的导数，判断当 0 时，/(%)的单调性，结合函数的奇偶性，可得问题转化为7+cosx k x +b 对X e R恒成立.当X =狎j,求得/(%)的切线的方程,即可得到所求最大值.本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题.可得 COSNCAD=11-=：7 3 3(2)在 A B C 中，AB=4,BC=2,BE=2五,设4 E =BE=x,Z,AEB=a,乙 C EB=n a,由余弦定理可得c os a=妥4解得=V2,cosa
22、=-*,sina=所以 A B C 的面积为2 x|x 2y/2sina=/2 x 2 V2 x f =V7.【解析】(1)在 A C D 中，运用正弦定理求得s i n 4 C A D,再由同角的平方关系可得所求值；(2)设4 E =B E =x,AAEB=a,/.C EB=n-a,分别在 4 B E 和 B C E 中，运用余弦定理可得x,cosa,sina,再由三角形的面积公式，可得所求值.本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题.1 8.【答案】解：(1)设等差数列 即 的公差为d,由%+3,a3,C I 4 成等差数列，可得2 a3 =%
23、+3 +。4，即为2(%+2 d)=2 al+3 +3 d,可得d =3,的，a3,成等比数列，可得说=&1。8，即为(a1+6)2=。式。1 +2 1),解得%=4,所以 a”=4 +3(n 1)=3n+1 ；(2)由于任意相邻两项以与以+式卜=1 2，)之间有2 个 2,当 =6 时，取 斯 中前6 项，以及(2+4 +8 +1 6 +3 2 +6 4)=1 2 6 个 2,可得&3 2 =1 x 6 X (4 4-1 9)+1 2 6 x 2 =3 2 1 5 0 0.所以 九 中前2 6 1 项去掉倒数5 0 个 2,可得S2 1 1 =5 9 9 -1 0 0 =4 9 9.则满足S
24、n 5 0 0 的n的最大值为2 1 1.第 14页，共 18页【解析】(1)设等差数列 an的公差为“，由等差数列和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，可得所求；(2)由题意可得任意相邻两项以与以+i(/c =1,2,)之间有2 k个2,分别考虑 =6,k =7时，求得工3 2,5 2 6 1，可得所求最大值.本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力,属于中档题.A Z1 9.【答案】(1)证明：取4。中点0,连接/0 C、O P、0E,yK因为四边形A B C。为直角梯形，AD/BC,/：1 /.ABC=9 0 ,AD =2BC =2AB=4,/：
25、I /八所以0 C _ L 4 0,四边形A 8 C 0是边长为2的/：Y /因为P A D为等边三角形，E为P D的中点，n xAD=4,所以。E =2,因为直线A B与C E所成角的大小为4 5。，0C/AB,所以N0 C E =4 5。，又因为0 C =2 =0 E,所以N0 E C。=N0 C E =4 5。，于是。C 1 0 E,因为。E n A D =。，O E、AD u 平面 P A D,所以。C 1 平面 PAD,又因为O C u 平面A B C D,所以平面4 B C D 1平面PAD,故平面P 4 O _ L平面ABC D.(2)解：由(1)知O C、O D、O P两两垂直
26、，建立如图所示的空间直角坐标系,而=(0,2,2 6)，荏=(2,0，0),D P=(0,-2,2 7 3).D C =(2,-2,0).设平面P A B和 平 面 的 法 向 量 分 别 为 而=(x,y,z),n=(u,v,w),m=2y+2 v=m =2 x =0 n=2 v +2 V3 i v n =2 u 2 v =00,令2 =-1,m =(0,V3,-l)-.令w =1,n =(V3,V3,1).设平面P A B与平面P C D所成角大小为0,.八.lin-nl 2 1-r-=|c s O|=而 而=三赤=而 sind=1 -C 0 S2。=所以平面P A B与平面P C D所成
27、角的正弦值为丝.【解析】只须证明平面A8CD内直线0C 垂直于平面PAD即可；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值，进而求解.本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题.20.【答案】解：(1)平均数以=(55 x 0.010+65 x 0.020+75 X 0.045+85 x 0.020+95 x 0.005)x 10=74；由题意知，=I =74,a=10,所以 PQ-a X n +a)=P(64 X 84)，0.6827,P(ji-2 a X pt+2a)=P(54 X 94)=0.9545,所以P(54 X 64)=69545：6827=04359(2)以频率
28、估计概率，则该同学获胜的概率为(0.020+0.005)x 10=0.25=随机变量y 的取值为3,4,5,所以 p(y=3)=铲 +($3 =Z,尸(Y=4)=或 x(；)2.X；+C*2 x 江沪券P =5)=废 X 2 X 2 X；+册 X(令2 X(.2 X；急,所以E。)3c X 7+4 x-4-5-.F 5_ X 27=16128128483128【解析】(1)由平均数的计算方法可得土的值；由题意知，=74,er=1 0,从而得P(64 X 84)和P(54 X 12,当均=271时，|4P|取得最小值2旧；(2)设直线AB的方程为x=my+t,4 不/)，B(x2,y2)，联立1
29、 2 _ 4x 可得y2-4my-4t=0,即有yi+y2 =4m,yry2=4t,设以A 8为直径的圆上任一点Q(x,y),M(尤 3,0)，N(x*0),第1 6页，共18页所以。的轨迹方程为(%-%)(%-2)+(y -y Q(y -丫2)=。，%i +%2 =机(丫 1 +丫 2)+2 =4 7 n 2 +2 t,xrx2 (m%+t)(my2+t)=m2y1y2+y2)+尸=4 m 2 c +4 m 2 t +2 =2,所以。的轨迹方程化为/(4 m2+2 t)x +/+y 2 d my -4 t =。，令y =0,x2 (4 m2+2 t)x 4-12-4 t =0,设上式方程的两
30、根分别为%3,x4,可得%3 X 4 =-4,即有产-4 1 =一 4,解得t =2.所以存在t =2,使 得 丽 丽=一 4.【解析】(1)设4(理,y 0),由两点的距离公式，配方，可得所求最小值；(2)设直线AB的方程为 =小丫+3 与抛物线的方程联立，运用韦达定理，求得圆上任一点。的轨迹方程，代入打+工2,刈外，再令y =o，由韦达定理，结合向量数量积的坐标表示，可判断是否存在.本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题.2 2.【答案】解：(1)/(x)=+alnx,.j(x)=y工当a S1时，令(x)1；令(x)0,得0
31、xl；当1 Q?时，令/(%)0,得：0%1,令(%)0,得仇Q x e 时，Ina 1,/(x)=一”?；,%E (0,1)时,f(x)%W(Q 2 n a)时,f(x)0,%W (I n a,+8)时,/(%)v 0,故/(%)在(0,1)递减，在(1,/Q)递增，在(伍Q,+8)递减，又/(I)=a e +alnl=a -e 0,所以f(%)在(0 1 n a)上无零点，设9(%)=ex-e x,则g (x)=ex-e,则g(x)在(0,1)递减，在(L+8)递增，所以g(%)N g(l)=0,所以靖N e%.取对数，得%N 1 +故仇 (-%)2%2,所以 =2lnyfx 1时，f(x
32、)=+alnx +2ax a +V a2+a即x (a +kF)2时，/(x)(a +V a T a)2 1，故f(2 a +1产)f 0,f(x)的图象在(ma,+8)上连续不间断，所以函数/(x)在(m a,+8)有且仅有1个零点，综合 ，得当a e时，函数/(X)有且仅有1个零点.【解析】(1)求出函数的导数，通过对。分a W 1与1 ae两类讨论，即可求出函数的单调区间；(2)f (x)=广),依题意，易证/(%)在(0,)a)上无零点；再构造函数g(x)=ex-ex,通过求导后利用放缩法可证得/(x)在(m a,+8)有且仅有1个零点，从而可证得结论成立.本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了构造法与放缩法的应用，突出考查了推理能力与数学运算能力，属于难题.第18页，共18页