2022年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷.pdf-淘文阁

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1、2022年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（5 分）（20 22江苏二模）已知集合/=x|y =历（x-2）,8 =x|-4x +3W。，则=（）A.1 ,3 B.（2,3 C.1 ,+o o）D.（2,+o o）2.（5 分）（20 22江苏二模）若（2+z）z =i,其中，为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.（5 分）（20 22江苏二模）已知,，B 为单位向量.若|1-2加=岔，则|不+2*|=（）

2、A.V 3 B.7 5 C.y/7 D.54.（5 分）（20 22江苏二模）利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0。9 0。之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到.如表为部分锐角的正弦值，则 t a n 160 0。的值为（）（小数点后保留2 位有效数字）a10 20 30 40 50 60 7 0 8 0 s i n a0.17 360.3420 0.50 0 0 0.6427 0.7 660 0.8 660 0.9 39 7 0.9 8 48A.-0.42 B.-0.36 C.0.36 D.0.425.（5 分）（20 22江苏二模）已知圆锥的顶点和

3、底面圆周均在球。的球面上.若该圆锥的底面半径为2 6,高为6,则球。的表面积为（）A.32 7t B.48 万 C.644 D.8 0 万6.（5 分）（20 22江苏二模）泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出.泊松分布的概率分布列为尸（丫=）=一 6（左=0,1,2,.），其中e 为自然K!对数的底数，2 是泊松分布的均值.已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为 20）的泊松分布.若每周销售1 件该商品与每周销售2 件该商品的概率相等，则两周共销售2 件该商品的概率为（）第1页（共24页）7.（5 分）（20 22江苏二模）已知椭圆C:；+4 =l伍 b

4、 0）的左焦点为F,右顶点为4,a b 上顶点为8,过点尸与x 轴垂直的直线与直线N 8交于点P.若线段0 尸的中点在椭圆C 上,则椭圆C 的离心率为（）.77-1 R 7 7-1 亚-1 n V 5-1A.-B.-C.-D.-2 3 2 38.（5 分）（20 22江苏二模）已知实数 a,Z e（l,+o o）,且 2（“+b）=/+2/b +l,e 为自然对数的底数，则（）A.b a B.a b 2 a C.2 a b e D.ea b e2 a二、多项选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，

5、有选错的得0 分）9.（5 分）（20 22江苏二模）我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高.“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力.2 0 1 7年 2 0 2 1 年某市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年增长率如图所示.根据下面图表，下列说法一定正确的是（）A.该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民B.对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大C.对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大D.2 0 2 1 年该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比2 0 2 0 年有所上升

6、1 0.（5 分）（2 0 2 2 江苏二模）已知抛物线y=4 x 的焦点为尸，过原点。的动直线/交抛物线于另一点尸，交抛物线的准线于点0，下列说法正确的是（）A.若。为线段尸。中点，则 P F =2B.若 P F =4,则O P=2 百C.存在直线/,使得P F 1 Q FD.”尸 0面积的最小值为21 2.（5 分）（2 0 2 2 江苏二模）在四棱锥尸中，底面4 8 c o 是边长为2的正方形，P A L第2页（共24页）平面/8C。，且 P/=2.若点E ,F ,G分别为棱4 8,AD,PC的中点，则（）A.Z G J _平面尸8。B.直线FG和直线N8 所成的角为工4C.当

7、点7 在平面尸8。内，且以+7G =2 时，点 T的轨迹为一个椭圆D.过点E,F ,G的平面与四棱锥尸-Z 5 C D 表面交线的周长为2 近+指三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分）1 3.（5 分）（2 0 2 2 江苏二模）实数a,b 满足/g a=/g（a +2 b）,则成的最小值为.1 4.（5 分）（2 0 2 2 江苏二模）2 0 2 2 年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3 个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼

8、此间隔排列，则不同的排列方法种数为一.（用数字作答）1 5.（5 分）（2 0 2 2 江苏二模）已知定义在R上的奇函数/（x）满足/（l-x）+/（l +x）=2 ,当x e 0,1 时，/（）=2 一/,若/（x）x +6 对一切x e 7?恒成立，则实数6 的最大值为.1 6.（5分）（2 0 2 2 江苏二模）某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径.如图，将三个半径为2 0 a”的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左、右两个小球与中间小球相切.利用“十”字尺测得小球的高度差力为8 c m,则圆弧的半径为 c m.四、解答题（本大题共6 小题，共

9、 70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1 7.（1 0 分）（2 0 2 2 江苏二模）在平面四边形488中，已知=，Z A D C =-,AC3 6平分N B A D .（1）若 N BAD =%,A C =2,求四边形/B C D 的面积；3（2）若 C D =2 石 48,求 t a n N A 4 c 的值.1 8.（1 2 分）（2 0 2 2 江苏二模）已知数列 4 ,当 e 2 T,2 ）时，an=2*,k w N*.记第3页（共24页）数列%的前项和为s”.求；（2）求使得S“2 0 2 2 成立的正整数的最大值.1 9.（1 2 分）（2 0 2 2 江苏二模

10、）如图，在四棱锥P-/8 c。中，四边形Z 8 C D 是边长为2的菱形，AHS是边长为2的等边三角形，P D L A B ,P D =m .（1）求证：平面尸4 8 _ L 平面/8 C。；（2）求平面P Z 8 和平面尸所成锐二面角的大小.2 0.（1 2 分）（2 0 2 2 江苏二模）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为p（0 p 0）元.（1）写出X 的分布列；证明：,（%）0）经过点（百，1）,且渐近a b 线方程为y=x.（1）求 a ,b的值；（2）点/,B,。是双曲线C上不同的三点，且8,。两点关于y 轴对称，的外接圆经过原点O.求证：直线与圆

11、 V+/=1 相切.2 2.（1 2 分）（2 0 2 2 江苏二模）设函数/（x）=a e，+s i n x-3 x-2,e 为自然对数的底数，a eR.第4页（共24页）（1）若“W O,求证：函数/（X）有唯一的零点；（2）若函数/（X）有唯一的零点，求的取值范围.第5页（共24页）2022年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（5 分）（2022江苏二模）已知集合/=x|y=/（x-2）,8=x|V-4x+3W。，则/=（）A.1 ,3 B.（2,3 C

12、.1 ,+00）D.（2,+oo）【考点】并集及其运算【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算【分析】求出集合B,利用并集定义能求出N|j8.【解答】解：集合/=x|y=/（x-2）=x|x2）5=x|x2-4x+3W。=x 1 1W W3,则山8=巾 1 .故选：C.【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2.（5 分）（2022江苏二模）若（2+i）z=i,其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和

13、复数；直观想象【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解.【解答】解：,.（2+i）z=i,i i（2-i）1 2.z=-=I 1，2+z （2+/）（2-0 5 5复数Z在复平面内对应的点6,|）位于第一象限.故选：A.【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握第6页（共24页）公式，属于基础题.3.（5 分）（2022江苏二模）已知万，不为单位向量.若|1-2 在|=下，则|1+2加=（）A.y/3 B./5 C.V7 D.5【考点】向量的概念与向量的模：平面向量数量积的性质及其运算【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；数

15、0。的值为（）（小数点后保留2 位有效数字）a1020304050607080sin a0.17360.34200.50000.64270.76600.86600.93970.9848A.-0.42 B.-0.36 C.0.36 D.0.42【考点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算【分析】利用诱导公式化简可求原式=-地空，即可计算得解.sin 70【解答】解：tan 1600=tan（4 x 360+160）=tan 160=-tan 20=-Sin200 =-in20 =-342 a-0.36.cos 20 sin

16、70 0.9397故选：B.【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题.5.（5 分）（2022江苏二模）已知圆锥的顶点和底面圆周均在球。的球面上.若该圆锥的底第7页（共24页）面半径为2 6，高为6,则球。的表面积为()A.3 2 万 B.4 8 万 C.6 4 万 D.8 0 万【考点】球的体积和表面积【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；球；逻辑推理；数学运算；方程思想【分析】结合条件，利用勾股定理求出球的半径，再根据球的表面积公式求出球。的表面积.【解答】解：设球的半径为R,因为该圆锥的底面半径为26,高为6,所以灭2=(2 我 2#(6 一尺)

17、2 ,解得R=4.故=4 1-4。=6 4万.故选：C.【点评】本题考查的知识要点：球的半径的求法，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.6.(5分)(2 0 2 2 江苏二模)泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出.泊松分布的概率分布列为P(X =%)=e-/=0,1,2,.),其中e 为自然k对数的底数，/I 是泊松分布的均值.已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为 2 0)的泊松分布.若每周销售1 件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2 件该商品的概率为()A.4 B.4 C.4 D.4【考点】离散型随机变量

18、及其分布列【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算【分析】根据已知条件，解方程可得，2 =2,即可求解对应的概率.【解答】解：由题意可得，P(X =1)=P(X =2),即A=解得2 =2,e 2 e2A故 P(X=%)=R2,7O 1 O,?2 9P(J T =0)=-0!e-2=4-P(=l)=-e-2=-v，P(Z =2)=4-e-2=4e-1!e-2!e第8页(共24页)故两周销售2件的概率；.*+呜)故选：D.【点评】本题主要考查概率的求解，考查转化能力，属于基础题.r2 v27.(5分)(2 0 2 2 江苏二模)已知椭圆C:y +4T=l(a b 0)的左焦点为F,右顶点为

19、/,a b上顶点为8,过点尸与x 轴垂直的直线与直线Z8 交于点尸.若线段。尸的中点在椭圆C上,则椭圆C的离心率为（）AV 7-1 D V 7-1A.-B.-2 3 Dc亚铝-1,2【考点】椭圆的性质【专题】方程思想；转化法：圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理【分析】根据题意可得尸(-c,0),过点尸作x 轴的垂线，则垂线的方程为x =-c,写出直线的方程为-6 =_ 纥，联立.,by b=xax=-c得 P点的坐标，进而可得OP中点坐标，代入椭圆的方程，即可得出答案.【解答】解：根据题意可得F(-c,0),过点尸作x 轴的垂线，则垂线的方程为x =-c,又因为 4Q 0),B(0,b),所

20、以直线的方程为歹-人=一2一a联立，-,=一 1b，x=-c P(-c,+b),a所以。尸中点为(-,业处)，2 2a又中点在椭圆上，C2-(4+0)2所以g+2=晨a b所以 d +/+2ac+c2=4a2,所以 2 c 2+2 a c =32,第9页(共24页)所以2/+2 e-3=0，所以八立二1或0=毡二1(舍去)，2 2故选：A.【点评】本题考查椭圆的性质，解题中需要理清思路，属于中档题.8.(5 分)(20 22江苏二模)已知实数 a,6 e(l,+o o),且 2(q +b)=/+2/b+l,e 为自然对数的底数，则()A.ba B.ab2a C.2a bea D.ea b

21、0 ,函数(x)在 x e (0,+o o)上单调递增,M(X)=e*x 1 w(0)=0 ,即 e*-x-1 0 .令 f(x)=ex-x+,f(2a)=e2a-2a+；令 h(x)=2ex-2x,h(lnb)=2elnh-2lnb=2b-llnb,x 1 时，hx)-f(x)=ex-x-1 0 ,:.h(x)f(x),当，(2a)=帅b)时,2a Inb,即 6 1 时，tn(x)-f(x)=e2 x-2 ex+l=(ex-I)2 0,hx)时，a lnb ,即 eb.综上，可得eb 0 ,所以尸尸与F0不垂直，故 C错误：%理=。尸卜|力一场|=葭冈/+3=田+：2,当且仅当|a

22、|=L，即a =l时取等号，所以A P 尸。面积的最小值为2,故。正确.故选：A D .【点评】本题考查抛物线的几何性质，以及运算求解能力，属中档题.1 2.(5 分)(2 0 2 2 江苏二模)在四棱锥中，底面4 8 c。是边长为2的正方形，P 4 1平面/8 C。，且尸/=2.若点,F ,G分别为棱4 8,AD ,PC的中点，则()A./G _ L 平面?8 3B.直线尸G和直线4 8所成的角为工4C.当点7在平面尸8。内，且+7 G =2 时，点7 的轨迹为一个椭圆D.过点E,F ,G的平面与四棱锥P-/8 c。表面交线的周长为2 近+6【考点】轨迹方程；直线与平面垂直；棱

23、锥的结构特征；异面直线及其所成的角【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离：逻辑推理；数学运算第13页(共24页)【分析】将该四棱锥补成正方体后可判断正误；结合椭圆的定义可判断C 的正误；结合空间中垂直关系的转化可判断。的正误.【解答】解：将该正四棱锥补成正方体，可知/G 位于其体对角线上，则 NG，平面PB。，故/正确；设尸8 中点为H,则 F G/4”,且=故 8 正确；4-.T A+T G =2,:.T在空间中的轨迹为椭圆绕其长轴旋转而成的椭球，又平面尸 5。与其长轴垂直，截面为圆，故C 错误；设平面EFG与P 8,尸。交于点M,N,连接尸E,E C,P F ,F C,E M ,M

24、G,G N,N F ,P A=BC,AE =BE,N P AE =N CBE ,P AE =ACBE ,P E =CE ,而尸G=G C,故 E G _L P C,同理 FGJLPC,而尸G0|EG=G,P C E F G ,而 EA/u 平面 E F G,则尸C_LM,第14页（共24页）PN _L 平面 N8C。，8。j2,2:.交线长为EF+EM+MG+GN+FN=2无+娓,故。正确.故选：ABD.【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力，是中档题.三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分）13.（5 分）（20

25、22江苏二模）实数 a,b满足Iga+Igb=lg（a+2b）,则“6 的最小值为8.【考点】对数的运算性质；基本不等式及其应用【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用：不等式的解法及应用；数学运算【分析】由已知结合对数的运算性质及基本不等式可求.【解答】解：由题意得，Igab=/g（a+2b）,a0,b0,所以ab=a+2除2小小，当且仅当a=2%时取等号，此时b=2,a=4,解得，湖2 8,即M 的最小值为8.故答案为：8.【点评】本题主要考查了对数的运算性质及基本不等式的应用，属于基础题.14.（5 分）（2022江苏二模）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪

26、容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有4 个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3 个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为 144.（用数字作答）【考点】排列、组合及简单计数问题【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；数学运算【分析】根据题意，“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，先排3 个不同造型的“雪容融”,第15页（共24页）再将4 个不同造型的“冰墩墩”依次安排在雪容融的空位中，由分步乘法计数原理求解即可.【解答】解：根据题意，冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，先排3个不同造型的“雪容融”，再将4

27、个不同造型的“冰墩墩”依次安排在雪容融的空位中，有耳团=1 44种排法.故答案为：1 44.【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步乘法计数原理的应用，属于基础题.1 5.(5 分)(2 0 2 2 江苏二模)已知定义在R上的奇函数/(x)满足/(l-x)+/(l +x)=2,当x e 0 ,1 时，f(x)=2 x-x2,若/(x)x +6对一切x e R恒成立，则实数6的最大值为4-【考点】函数恒成立问题【专题】计算题；综合法；函数的性质及应用；数学运算；转化思想【分析】根据题设条件画出函数的图象，结合可知只需当x w -l,0 I F f,f(x)=x2+2 xx+b即可，然后求出实

28、数6的最大值.【解答】解：因为/(l +x)+/(l-x)=2,所以x)的图象关于(1,1)中心对称，当 x w -l,0 时，f(x)=-f(-x)=x2+2 x,故/(x)的图象如图所示：第16页(共24页)结合图象，可知只需当x w -1,0 时、/（x）=%2+2x 2x +6 即可,即b 氢x+-）2-；，故能-；，所以b的最大值为-1.4故答案为：-1.4【点评】本题考查了函数的奇偶性和不等式的恒成立问题，属于中档题.16.（5分）（2022江苏二模）某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径.如图，将三个半径为20cv n 的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左、右两个

29、小球与中间小球相切.利用“十”字尺测得小球的高度差力为8c/n,则圆弧的半径为 120 c m.【考点】球的体积和表面积【专题】计算题；整体思想；综合法；球；数学运算【分析】根据0。与圆Q相切，得到$访。=器=1 陛，再根据 =8 代入即可求解.【解答】解：如图所示，设圆弧圆心为。，半径为R,三个小球的球心自左至右分别为。2，O.,且第17页（共24页）h=O2M-20=O2M-O、N=O2P =O O2-O O,co s 26 =(7?-20)-(7?-20)co s 20=2(/?-20)s i n2 0即 2（7?-20）s i n26 =8,o n所以 2（R-20）（上一 y =

30、8,解得 R =120,7?-20故答案为：120.【点评】本题考查圆的切线问题，属于中档题.四、解答题（本大题共6 小题，共 70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）（2022江苏二模）在平面四边形N 8 C D 中，已知乙4 8C =二，Z A D C =-,AC3 6平分N B A D .（1）若N BAD =%,A C =2,求四边形/8 C A 的面积；3（2）若 CD =2 6 4 B ,求 t an/8/C 的值.【考点】三角形中的几何计算；正弦定理【专题】计算题；对应思想；分析法；解三角形；数学运算【分析】（1）根据正弦定理与面积公式求解（2）根据

31、正弦定理有关知识求解【解答】解：(1)N D A C =N B4C=L N B A D =%,则。C =/C =2,N/C O =也，2 6 3在 A 4 8 C 中，由正弦定理可知 =,则=smZACB s i n Z ABC 6则 SABCD =SABC+S/CD=TXX2XT+X2X2X-（2）设N A 4 C =/D 4 C =a,在 A 4 8 C 中，由正弦定理可知ABACs i n ZA CB s i n /ABC即 _空_=半，即空=s i n(&-a),s i n(f-a)百 A C 也 3CD在 A 4 C Q 中，由正弦定理可知，即-ACs i n Z.D AC s i

32、 n Z.AD Cpn2 y/3AB A C 曰0 2布AB.TI即-=-j,即-=2s i n a,贝 U 2s l i 1(-a)=s i n a,s i n a A C 32co s a ；s i n a)=s i n a,第18页（共24页）G c o s a =2 s i n a，解得 t an a=.2【点评】本题考查正余弦定理的应用，考查学生的运算能力，属于中档题.18.（12 分）（2022江苏二模）已知数列 ,当 e 2 T,2）时，an=2*,k w N*.记数列%的前项和为.（1 ）求心，。2 0 ；（2）求使得S“2 0 2 2 成立的正整数的最大值.【考点】

33、数列的求和【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】（1）利用给定定义直接计算作答；（2）根据给定定义，对于左值确定出为=2 的所有值，再分析S,时，q=2 ,当”e 2 ，2?）时，a2=a,=22,当 2,2）时，4=%=%=2,，当 2 ,24）时，as=a,=al5=24,当 e 2 4,2$）时,%6=al=-=31=25当 2 5 ,2 6）时,%2 =%3=.=%3=2 6,第19页（共24页）而 g=2+2 x2?+4 x2,+8 x2*+1 6 x2 =2 +2 3+2$+2,+2=6 8 2,又S$3 =2 +2 x2?+4 x2 +8 x2“+

34、1 6 x 2 5 +3 2 x 2,=2 +2 3+2,+2,+2。+2 2 0 2 2 ,则有 S“2 0 2 2 时，3 1 6 3,由 S“=Si+(n-3 1)-26=6 8 2 +(n-3 1)-26 2 0 2 2 W：”3 1 +理=5 1 ”,1 6 1 6而于是得明“*=5 1,所以使得S,J3x+2y+V3z=0设平面PAB和平面PCZ所成锐二面角的平面角为e,则平面P4 8和平面PC。所成锐二面角的余弦值为MD-m y/3 _y/2M D-m y/3-42 2COS0=平面PAB和平面PCD所成锐二面角的的大小为-.4【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考

35、查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题.20.（12分）（2022江苏二模）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为M 0 P 0)元.(1)写出X的分布列；证明：1(%)-;P(2)某公司意向投资该产品.若p =0.2 5,且试验成功则获利5 a元，则该公司如何决策投资，并说明理由.【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算【分析】(1)由题意可得，X=l,2,3,1 0,求出对应的概率，即可求解.根据已知条件，结合期望公式，以及错位相加减法，即可求解.(2)由(1)可知

36、，(X)-=4,即可求解.P【解答】解：(1)由题意可得，X =,2,3,，1 0,故P(X =/)=p(l-p严，k=l,2,，9,P(X =1 0)=(l-p)9,故X的分布列如下：X1234567891 0P P p(l-p)P(l-P)2 p(l-p)3p(l-p)P(l-p(l-p)p(l-p)8Q-P)9证明：E(X)=p(-p)+2 p(l -PY+3 P(1 p)2 +9 p(l -p F +1 0(1 -p)9,记 S =(1 -p)n+2(1-p)+3(1 -o f +9(1-0?,(1 p)S=(1 p)+2(1 p)+3(1 p)，H 1-9(1 p)9,两式作差

37、可得，pS =(1-p)+(1 -p)1+(1 -p)2 +(1 _-9(1-p)9 =-1)-_ 9(1-p)9 .P故E(X)=p S +1 0(1 -p)9 =-(j)即得证.p p(2)由(1)可知，E(X)-=4,P故试验成本的期望小于4a,又获利“大于成本的期望，则应该投资.【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题.第22页(共24页)2 1.（1 2 分）（2 0 2 2 江苏二模）双曲线C:=-4=l（a。力0）经过点（百，1）,且渐近a b线方程为y=x.（1）求a ,b的值；（2）点/,B,。是双曲线C上不同的三点，且8,。两

38、点关于y 轴对称，&4 8。的外接圆经过原点O.求证：直线与圆 x?+/=1 相切.【考点】双曲线的性质【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理;数学运算【分析】（1）运用代入法，结合双曲线的渐近线方程进行求解即可；（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，根据一元二次方程根与系数的关系，结合圆的性质进行求解即可.;3 _9 1 =【解答】（1）解：a?解得 a =b =6 ,则 C:x 2-V=2；a =b（2）证明:易知直线AB 一定不为水平直线，设为x=+，设 2a，必），B（x2,y2）D（-x2,%），联立/,整理得（J -1

39、）歹 2 +2 加砂+/?-2 =0 ,贝 1 凹为二，X=my+n m 1由于外接圆过原点且关于y 轴对称，设为/+/+或=0,则卜j+可+切=,x2+y2+E y2=0则%（X：+y：）=（+2）=h（2 父+2）,则M%=1 ,2 O则 y2 =1/2 =6 2 +,m-1则原点到直线Z8的距离d =J?=1,即证.lm2+1【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，圆的几何性质等知识，属于中等题.22.（12分）（20 22江苏二模）设函数/（x）=a e*+s i n x-3x-2,e为自然对数的底数，a e R .（1）若a W O，求证：函数/（x）有唯一的零点；（2）若函数/（X）

40、有唯一的零点，求a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的极值第23页（共24页）【专题】计算题；分类讨论；综合法；导数的综合应用；数学运算【分析】(1)根据导数判断函数的单调性，再根据零点存在定理判断零点个数；(2)构造函数，根据函数的单调性及最值情况求参数值.【解答】(1)证明：当aWO时，/(x)=ae+c o sx-3 0 恒成立，所以，(x)单调递减，a a_.又 y(0)=a-2 aeY-3(y-l)-3 =ar-a 0 ,所以存在唯一的 -1,0),使得/)=0,命题得证；解：(2)由(1)可知，当aWO时，/(x)有唯一零点，当 a 0 时，f(x)=-(S in X

41、3 x2+a),ex设g(x)=sm x 3x 2+*则 gQ)有唯一零点，e，/、cosx-sinx+3x-lg M =-;-，eA(x)=cosx-sinx4-3x-l,则 l(x)=-cosx-sinx+30,所以/?(x)单调递增，又(0)=0,列表可知，g(x)在(-*0)单调递减，在(0,+oo)单调递增,即 g(R)加 =g()=。一 2,当。2 时，g(x)0恒成立，无零点，即。2 不符题意，当a=2 时，g(x)OTat=g(0)=0,即g(x)仅有一个零点x=0,即a=2 符合题意，当 0 。2 时，g(x)而“=g(0)0,g(1)aea-3(1)-3=a(ea-0,a a a所以存在 e(-l,0),x2 e(0,2 1),使得 g.)=g(x)=0,即 a w (0,2)不符题意，a综上，。的取值范围为(-8,0U2【点评】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.第24页(共24页)

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