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1、2021年湖南省高考数学联考试卷（4月份）一、选 择 题（每小题5 分）.1.若复数z 满 足 不 至 亍=1-i,则 z 在复平面内对应的点位于（）（1+i ）2A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合4=戈|(x+1)(x-2)WO ,B=xln(x+1)2 1 ,则()A.AH B=BC.A A (CRB)=-1,e-1)3.在a A B C 中，若DBJBC，则 A D=(2 9 0 1 1 A.A B A C B.AB-y ACB.AU B=BD.(CRA)U B=R)3-IC.y A B -A CD.-2f A0B 1A-Co /4 .我国数学家陈景润在哥
2、德巴赫猜想的研究中得到了世界领先的成果.哥德巴赫猜想如下:每个大于2 的偶数都可以表示为两个素数的和，如 20=7+13.在不超过2 0 的素数中,随机选取2 个不同的数，则这2 个数的和是奇数的概率是（）5 .若（心与）展开式中所有项的系数和为6 4,则展开式中第三 项 为（）7 xA.135 B.-5 4 0 C.5 4 0 D.135 x6 .过抛物线V=2p x （p 0）的焦点/作直线与抛物线交于A,B 两点、,与抛物线的准线交于点P,且乐二2而，|8 月=2,则0=（）A.3 B.2 C.4 D.67.兀已知三棱锥P-AB C的四个顶点都在半径为R的球面上，且/B 4 C=W，棱锥
3、P-ABC体积的最大值为返R,则该球的表面积为（）2B C=2,若三6 4兀6 4兀2716 K-98.丹麦数学家琴生（J ensen）是 19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数f （x）在（小b）上的导函数为广（x）,f（x）在（m b）上的导函数为（x）,若 在（a,b）上f（x）0恒成立，则称函数/（无）在（a,b）上 为“凹函数”.已 知/（X）=-z Clwc+x）在（0,2）上 为“凹函数”，则实数/的取值范围是（）A.(-8,-1)B.(-8,-e)C.(-e,+8)D.(-1,+8)二、选择题：本题共4小题，每小题5分
4、，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若p是q的充分不必要条件，q是s的必要条件，是q的必要条件，是s的充分条件,则()A.f是p的必要不充分条件 B.f是q的充要条件C.p是s的充要条件 D.q是s的充要条件x010.已知函数/(x)=(若关于X的方程f(x)=。有且仅有一个实数解，xex,x40,且募函数g(x)=加 在(0,+8)上单调递增，则实数a的取值可能是()A.1 B.C.2 D.eeI I .日本导演竹内亮拍摄的纪录片 后疫情时代是 继 南京抗疫现场、好久不见，武汉之后，又一部以中国抗疫为主题的纪录片力作.
5、该片以南京马拉松比赛、无人配送、网络直播等为切入点，真实记录了中国在疫情防控复工复产方面取得的重大成就，并指出：“在新冠疫情冲击下，中国在全球主要经济体中率先恢复增长，成为世界经济体中的亮点”.片中记录某物流公司引进智能无人配送技术，为疫情期间居家隔离网上购物带来了很大的便利，同时也大大提升了公司的效益.2020年全年总收入与2019年全年总收入相比增长了一倍，同时该公司的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化.如图给出了该公司这两年不同运营成本占全年总成本的比例.已知该公司这两年的年利润率相同，注：年利润率=(全年总收入-全年总成本)/全年总收入.下列说法错误的是()A.该公司2020年
6、原材料费用等于2019年工资金额与研发费用的总和B.该公司2020年研发费用是2019年工资金额、原材料费用、其他费用三项的总和C.该公司2。2。年其他费用占2019年工资金额的1D.该公司2 0 2 0 年设备费用是2 0 1 9 年原材料费用的两倍1 2.如图，矩 形 所 在 平 面 与 正 方 形 A B C。所在平面互相垂直，A D=D E=2,G为线段 AE上的动点，则()A.A E V C FB.多面体A 8 C D E F 的体积为反3C.若 G为线段AE的中点，则 G 8 平面C E 尸D.B G+C G2的最小值为1 1三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1
7、 3 .写 出 一 个 圆 心 在 直 线 3 x+4 y =0 上，且 与 x 轴 相 切 的 圆 的 标 准 方程：.I T TT JT1 4 .已知偶函数/(x)=c o s (a)x+(p -)c o s (a)x+(p 4)(a)0,(p G (0,-)的6 3 2最小正周期为TG则 3 =；(p=.1 5 .若函数/(x)=l o g 2 (N-3 K+2 2)的单调递减区间是(-8,。2),贝 IJ =.2 21 6.已知双曲线C：号 _ 工 万=1 (a 0,。0)的左、焦点分别为F l,F2,过人作直线分别与双曲线C及其一条渐近线交于A,B 两 点,且嬴 二 耐，若 B F
8、i B 是等腰三角形，且|A F i|=|,则双曲线C的离心率为.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.a4+i+an a n+an_ i1 7 .在正项数列”“中，0 =1,“2=2,且-=-(2 2).an-an-l an 4-l -an(1)求 小 的通项公式;(2)求数列3an+an M 的前项和S.1 8.在ABC 中，ZACB=90,ZABC=30,AC=2f。为 3。的中点，E 在线段 AB上.(1)若8E的面积为返，求 cos/C ED；4(2)当1)的周长最小时，求鲤.BE1 9.如图，在多面体ABCDE尸中，四边形4BCD是等腰梯形
9、，AB=8C=1,A O=2,四边形 AQEF 是直角梯形，且 AF=1,DE=2,AFLAD,A F/D E,平面 A8CC_L平面 ACEF.(1)证明：平面8QEJ_平面A8E.(2)线段EF上是否存在一点P,使平面PA8与平面CDE所成锐二面角的余弦值为返？4若存在，请说明P 点的位置；若不存在，请说明理由.20.2021年 3 月 2 4 日，某些国际服装企业因抵制新疆棉花声明在中国互联网上引发热议.对此，中国外交部发言人2 5 日表示，中国光明磊落，中国人民友善开放，但中国民意不可欺、不可违.某记者随机采访了 100名群众，调查群众对此事件的看法，根据统计，抽取 的 100名群众的
10、年龄频率分布直方图如图所示.(1)求 这 100名受访群众年龄的平均数彳和方差S2(同一组数据用该区间的中点值代替).(2)由频率分布直方图可以认为，受访群众的年龄X 服从正态分布N(“，。2),其中U近似为7，。2近似为$2.求 P(33.2X 46.6)；从年龄在 45,55),65,7 5)的受访群众中，按分层抽样的方法，抽出7 人参加访谈节目录制，再从这7 人中随机抽出3 人作为代表发言，设这3 位发言人的年龄落在 45,5 5)内的人数为匕 求变量丫的分布列和数学期望.参考数据：取 百 而=1 3.4,若 XN(H，。2),贝IJP(R-0 X n+o)=0.6827,P(H-2。X
11、 p+2。)=0.9545.频率/组距0.035.0.020.0.015 r.0.010.0.005=1-I I I I I 多0 2 25 35；5 5g 65 8；鼻21.如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光2 2线经过椭圆的另一个焦点.已知 椭 圆 C：9三=1(人0)的左、右焦点分别为Fi,尸 2,左、右顶点分别为4,B,一光线从点尸1 (-1,0)射出经椭圆C 上尸点反射,法线(与椭 圆 C 在 P 处的切线垂直的直线)与X 轴交于点。，已知|PF1|=1,尸1。|=.(1)求椭圆C 的方程；(2)过 后 的直线与椭圆C 交于M,N 两点(均不
12、与A,B 重合)，直线M B 与直线x=4 交于G 点，证明：A,N,G 三点共线.2 2.已知函数/(x)=x2-ax+2lnx-3.(1)讨论f(x)的单调性.(2)若对任意的。日1,2,总存在XI,X2,使得/()4/(X2)=0,证明：Xl+X2、4.参考答案一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足/-i,则 z在复平面内对应的点位于()(1+1)2A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解：；复数z满足72 z 万二1 一、(1+i 尸；.z=(l-i)(l+i)2=i(1 -,)=i+
13、i,2则 z在复平面内对应的点(1,1)位于第一象限.故选：A.2.已知集合4=国(x+1)(x-2)0,B=x ln(x+1)2 1 ,则()A.ADB=B B.AUB=BC.AFI (CRB)=-1,e-1)D.(CRA)UB=R解：由(x+1)(x-2)W O,解 得-1WXW2,A=x|-1 2 ,由 In(x+1)21 得 x e-1,.B=x xe-1,.CRB=x|x2 或 xV-1),4GB=Me-1,AU3=MvW2,4 n (CRB)=-1,e-1),(CRA)U 8=4r 2 或 xWe-1.故选：C.3.在A A B C 中，若D BJBC，则 AD=()A.yAB-A
14、C B.-j-AB-AC C.1-AB-AC D.资卷正解：由 而 蒋 而 可 得：CD-|-CB所以(A B -A C)=另 A B 5 A C，故选：C.4.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中得到了世界领先的成果.哥德巴赫猜想如下:每个大于2 的偶数都可以表示为两个素数的和，如 20=7+13.在不超过2 0 的素数中，随机选取2 个不同的数，则这2 个数的和是奇数的概率是（）A.B.C.D.14 4 8 14解：不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,1 9,共 8 个，在不超过20 的素数中，随机选取2 个不同的数，基本事件总数8,C2 8=2这 2 个数的和是奇数时，
15、必选2,包含的基本事件个数根=C；C；=7,.这2 个数的和是奇数的概率是2=典=二=J.n 28 4故选：B.5.若（心 一 展 开 式 中 所 有 项 的 系 数 和 为 6 4,则展开式中第三项为（）7 xA.135 B.-540 C.540 D.135x解：令 x=l,则（1 -3）”=64,所以=6,则至）6的 展 开 式 的 通 项 为 力*尸 第-3），故展开式中第三项为：C,（-3）2X=135X,故选：D.6.过抛物线y2=2px（p 0）的焦点F 作直线与抛物线交于A,8 两点，与抛物线的准线交于点尸，Ji AP=2 AF（出 尸 1=2,贝 i jp=（）A.3 B.2
16、C.4 D.6解：如图，设准线为/,过 A 作 4 E 垂 直/于 E,过 B 作 BC，/于 C,因 为 屈=2百，所以尸为PA的中点，所以|AF|=|A1=|PF|=2 0,因为|B f=2,所以2 至2,解得p=3.P 2P故选：A.7.已知三棱锥尸-A 8C的四个顶点都在半径为R的球面上，且/胡。=飞-,B C=2,若三棱锥P-A B C体积的最大值为返R,则该球的表面积为()2A.跑9口 32 兀 0 64 兀 口 1 6KD.C.L),9 27 9解：根据题意，当A A B C为正三角形时，底面积最大值，SA.C=X 2 X 2 X返=2 2那么A B C的外接圆半径：2 r=兀=
17、型 亘，s i r r 3可得r=2/a,3_当高通过球心时，最高，三棱锥p-A B C体积的最大值为瓜R,_2 孚!?XV3 xh：得 3R=2 h,由球心与圆心构造勾股定理，可得/?2 =产+(/?-/?)2；解得犬=等；该球的表面积5=47 1配=空 三;9故选：A.8.丹麦数学家琴生(J ensen)是1 9世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数/(X)在(m b)上的导函数为/(x),f (x)在(小 b)上的导函数为/(%),若 在(a,b)上/(x)0 恒成立，则称函数/(X)在(小 b)上 为“凹函数”.已知/(X)=L-
18、t (to+x)在(0,X2)上 为“凹函数”，则实数I 的取值范围是()A.(-oo,-1)B.(-8,-e)C.(-e，+8)D.(-1,+8)解：,*/(x)=-t Unx+x),xG(0,2),x(x-1)ex 1 2 2 1 t.*./(x)=-若t(工 1)，：(x)=x x x x xV/(x)在(0,2)上 是“凹函数”，：.f (x)0 在(0,2)上恒成立，9 9即/(2-x)ev,令 g(x)=(2-x)xE(0,2),X X则 g(x)=.g)d 2)e、.,令 g(x)0,解得：0 c x 1,令 g(x)0,解得：l x 4，.q=/=s,.B,。正确，.q=/=s
19、,且p 是 q 的充分不必要条件，；.p 是 s 的充分不必要条件，f 是 p 的必要不充分条件，正确，C 错误，故选：ABD.产”，x 01 0 .已知函数/(x)=若关于x的方程/(x)=有且仅有一个实数解,xex,xWO,且幕函数g (x)=产 在(0,+8)上单调递增，则实数”的取值可能是()A.1 B.C.2 D.ee解：函数的图形如图，因为f(x)=。有且仅有一个实数解.即(x)的图象与y=a有且仅有一个交点，所以“H e,+8)U 1,0,e又因为g (x)=y在(0,+8)上单调递增，所以 0,所以+8)U 1 .实数。的取值可能是：1,e.故选：AD.I；1 1 .日本导演竹
20、内亮拍摄的纪录片 后疫情时代是 继 南京抗疫现场、好久不见，武汉之后，又一部以中国抗疫为主题的纪录片力作.该片以南京马拉松比赛、无人配送、网络直播等为切入点，真实记录了中国在疫情防控复工复产方面取得的重大成就，并指出：“在新冠疫情冲击下，中国在全球主要经济体中率先恢复增长，成为世界经济体中的亮点”.片中记录某物流公司引进智能无人配送技术，为疫情期间居家隔离网上购物带来了很大的便利，同时也大大提升了公司的效益.2 0 2 0年全年总收入与2 0 1 9年全年总收入相比增长了一倍，同时该公司的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化.如图给出了该公司这两年不同运营成本占全年总成本的比例.已知该公
21、司这两年的年利润率相同，注：年利润率=(全年总收入-全年总成本)/全年总收入.下列说法错误的是（）A.该公司2 0 2 0 年原材料费用等于2 0 1 9 年工资金额与研发费用的总和B.该公司2 0 2 0 年研发费用是2 0 1 9 年工资金额、原材料费用、其他费用三项的总和C.该公司2 0 2 0 年其他费用占2 0 1 9 年工资金额的斗D.该公司2 0 2 0 年设备费用是2 0 1 9 年原材料费用的两倍解：不妨设2 0 1 9 年全年的总成本为t,则 2 0 2 0 年全年的总成本为It,该公司2 0 2 0 年原材料费用为0.3 X 2 f=0.6 f,2 0 1 9 年工资金额
22、与研发费用的和为0 2+O.l f0.3（,故 A错误；该公司2 0 2 0 年研发费用为0.2 5/X 2 r=0.5/,2 0 1 9 年工资金额、原材料费用、其他费用三项的和为 0 2+0.1 5 7+0.1 5 f=0.5/,故 B 正确；该公司2 0 2 0 年其他费用为0.0 5 X 2 f=0.1 r,2 0 1 9 年工资金额为02,故 C错误；该公司2 0 2 0 年设备费用为0.2 X 2 f=0.4 z,2 0 1 9 年原材料费用为0.1 5/,故。错误；故选：A CD.1 2.如图，矩 形 B C E 尸所在平面与正方形A 8 C。所在平面互相垂直，A D=D E=2
23、,G 为线段 A E上的动点，则（）A.A E L C FOB.多面体A B C 0 E F 的体积为管C.若 G 为线段AE的中点，则 G 8 平面C E FD.B S+C G2的最小值为1 1解：如图所示，将几何体A B C O E F 补全成棱长为2的正方体，在正方体中，因为C 尸。D ML AE,所以A E L C R 故 A正确,4 1 A因为VABCDEF=V正 方 体=-2VF-AME=8 -2 X.喈，所以8错误，当 G 为线段4E的中点时，因为平面G B O C E F,所以GB CEF,故 C正确,过G作A。的垂线，垂足为H,连接”B,HC,贝ij BG2+CG2=AB2+
24、AG2+CD2+DG2=8+AG2+DG2S+AH2+DH2+2GH2,因为 AH=GH,所以 B G2+C G2=8+W2+3 A W2=8+(2-4，)2+3AH14AH2-4AH+24(AH-)22+li,2当时，B G 2+C G2取得最小值为1 1,故 正确,故选：ACD.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3 .写出一个圆心在直线3 x+4 y=0上，且与x轴相切的圆的标准方程：(x-4)任(y+3)2=9 (答案不唯一 )解：根据题意，设要求圆的圆心为(m b),其半径r=|例,圆心在直线3 x+4 y=0上，则有3 a+4 8=0,圆心坐标可以为(-4,3
25、),则要求圆的方程可以为(x-4)2+(y+3)2=9；故答案为：(x-4)2+(y+3)2=9.(答案不唯一)兀 兀1 4 .己知偶函数/(x)=c os(a)x+(p-)c os(u)x+(p+-)(a)0,p G (0,6 3最小正周期为H,则 3=1 ；(p=.-12-解：.函数，(x)=c os(a)x+(p-)c os(a)x+(p+-)=c os(a)x+(p-)6 3 6-y)的 兀s,nT-J T(0 i)X+(pH-)3=c os(-3 X-)=-sm6 6 2 3 2F)(2 a)x+2(p冗9 J T(3 0,(p 6(0,)的最小正周期为2则3=1.jr TT c j
26、r,(x)为偶函数，故有2 叩-=配+亏，kwZ,.e.(p =,故答案为：1；(21 5.若函数/(x)=log2 (x2-3 a x+2 2)的单调递减区间是(-8,。2),则 =。或 1 .解：x2-3ax+2 a1=(x-a)(x-2 a),当。=0时，满足条件，当。V 0时，则 24V m此时函数的单调递减区间为(-8,2 a),由2=2 ，得=0或 2,不成立，当。0 时，则 2 小 此时函数的单调递减区间为(-8,。)，由2 =，得。=0或 1,此时。=1,综上a=0或。=1,故答案为：0或 12 21 6.已知双曲线C：号-%=1(。0,6。)的 左、焦点分别为B，死，过人作直
27、线分az bz别与双曲线C及其一条渐近线交于A,B 两 点,且就 二 可，若 8 F F 2 是等腰三角形，且忸月|=蔡，则双曲线c的离心率为空2 32 2解：双曲线C：罔-七=1 (。0,b 0)的左、焦点分别为Q,尸 2,过人作直线分别az bz与双曲线C及其一条渐近线交于A,B两点，且 就 二 可，所以4是 3Q 的中点，|A F i|=-|,所 以|A 8|=|,BF2=c取 AB中点M,连结尸2 时，:|FIF2|=2C,|B B|=2 c,设 B Cm,n),可 m-c)：+n：=4;2,所以产=+返.l(m+c)2+n2=c2 4 -4因为8在渐近线上，所 以 返4 a 4整理可
28、得2 4a2=9 c2,二离心率e=2 逅.3故答案为：空3四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.+an an+an-l1 7.在正项数列 a“中，G =l,s=2,且 上 -=(2 2).an-an rl ard-l-an(1)求。的通项公式；3(2)求数列-7-的前几项和an+an M解：(1)由 上 -=(2 2),an-an-l a 9 醍可得 a+12-。2=。2-4 2=q 2-6Zrt_22=.=32-a=ar-a i2=3,则数列 斯2 是首项为1,公差为3的等差数列，所以斯2=1+3 (n -1)=3n-2,由于 a,?0,可得。=；
29、d3n-2“3n+l=同-年则前 n 项和 S“=y -百+6-74+710-V7+-+V3n+1-V3n-2=V3n+l-L1 8 .在A B C 中，ZA CB=9 0 ,ZA BC=3O ,AC=2,。为 B C 的中点，E 在线段 A B上.(1)若 8 O E的面积为返，求c os/C E Q；4(2)当 C QE的周长最小时，求黑.B E解：(1)ZVlB C 中，ZA C B=9 0 ,ZA BC=30 ,A C=2,所以 A B=4,B D=C D=疵,因为比 的面积S=1BDBEsin30=返 跖=返，24 4所以BE=,因为 D E B A+B E2-2 B D B E c
30、 os3 0 =3+1 -2y X乎=1.所以DE=,同理 CE2=B C2+BE1-2 B C*B c os3 0 =7,所以CE=J T，在C)E 中，由余弦定理得，cosZC E D=,CE2+DE 2-CP jV 7(2 C E-DE 1 4(2)过 C 作 AB的垂线，垂足为H,延长使HF=CH,连接。尸交AB于 E，此时CE+DE取得最小值。尸，即CDE的周长最小,ABC 中，C H=M，C F=2 ,8 尸中，DF1=C F1+CDi1-2CDCFcos600=9,所以。尸=3,则 CQ2+o/=c产，即 DF1,BC,所以 DE/AC,因为。为B C的中点，所以E为A 8的中点
31、，故 绘=1.B E1 9.如图，在多面体ABCDEF中，四边形A8CQ是等腰梯形，A8=BC=1,A D=2,四边形 AO E/是直角梯形，且 AF=1,DE=2,AF1AD,AF/DE,平面 4BCO_L平面 4OEF.(1)证明：平面BOEL平面ABE.(2)线段E尸上是否存在一点P,使平面PAB与平面CDE所成锐二面角的余弦值为返？4若存在，请说明P 点的位置；若不存在，请说明理由.【解答】(1)证明：取 中 点 M,连接BM,因为四边形A8CO是等腰梯形，AB=B C=,A D=2,所以四边形BCQM为菱形,于是8M=MD=AM=A8=1,以4M为半径作G)M,NABO为直径A Z)
32、所对的圆周角，所以 4 B L B Z),因为平面A B C D J _ 平面A D E F,平面A B C O C l平面A D E 尸=A。，A FVA D,所以A F _ L 平面A 8 C C,又因为A F O E,所以。6 _ 1 _ 平面A B C Q,因为A B u 平面A B C D,所以4 B _ L O E,因为 E n B Z)=D,所以A 8 _ L 平面8 D E,又因为A B u 平面A B E,所以平面A B E _ L 平面8 D E,于是平面B Q E J _ 平面A B E.(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系，设黑-t，F EA P=(1+f,2 f,0
33、),杷=(0,-)，D E=(2,o,0),DC=(。，-3，,设平面P A B 与平面C D E 的法向量分别为7=(x,yf z),：=(w,v,w),A P ,m=(l+t)x+2 ty=0 _ _ _ 一 一 1 F ，令 y=-(1+z)M，n=(2 f，-(l+r)e，1+f)，A B .m=y y-*-z=0，.D E *n=2 u=0 _ _,一 一 1 ,令 v=M，=(0,f，1),D C *n=-y v-t-w=0m*n2(l+t)所以平面P A B与平面C D E所成锐二面角的余弦值为I m I*I n I V1 2 t2+4(l+t)2 2整 理 得(1+r)2=9
34、凡 解得，=*,当 P为 E 尸中点时，平 面P A B与平面C D E所成锐二面角的余弦值为返.42 0.2 0 2 1 年 3月 2 4 日，某些国际服装企业因抵制新疆棉花声明在中国互联网上引发热议.对此，中国外交部发言人2 5 日表示，中国光明磊落，中国人民友善开放，但中国民意不可欺、不可违.某记者随机采访了 100名群众，调查群众对此事件的看法，根据统计，抽取 的 100名群众的年龄频率分布直方图如图所示.（1）求 这 100名受访群众年龄的平均数彳和方差s2（同一组数据用该区间的中点值代替）.（2）由频率分布直方图可以认为，受访群众的年龄X 服从正态分布N（卬。2）,其中U近似为7，
35、。2近似为乩求 P（33.2X46.6）；从年龄在 45,55）,65,75）的受访群众中，按分层抽样的方法，抽出7 人参加访谈节目录制，再从这7 人中随机抽出3 人作为代表发言，设这3 位发言人的年龄落在 45,55）内的人数为匕求变量丫的分布列和数学期望.参考数据：取 而=1 3.4,若 X N（H，。2）,则 o X n+o）=0.6827,Px=30 X 0.05+40 X 0.1+50 X 0.15+60 X 0.35+70 X 0.2+80 X 0.15=60,方差 s2=(-30)2 X 0.05+(-20)2 X 0.1+(-10)2X X0.15+102 X 0.2+202
36、X 0.15=180.(2)由(1)知 X N(60,180),：.P(33.2X46.6)=P(fi-2 o X b 0)的左、右焦点分别为a bF i,尸 2,左、右顶点分别为A,B,一光线从点B(-1,0)射出经椭圆C上尸点反射,法 线(与 椭 圆 C在 P处的切线垂直的直线)与X 轴交于点。，已知|P F|=1,FiQ=.(1)求椭圆C的方程；(2)过尸2 的直线与椭圆C交于M,N两点(均不与A,B重 合)，直线M B与直线x=4交于G点，证明：A,N,G三点共线.【解答】解:由 椭 圆 的 定 义 知 1 P B l+|尸 产 2|=2 a,则仍尸2|=2。-1,|PFi I|PF2
37、 I由光学性质可知P Q 是NFiPF2的角平分线，所以I F I Q I I F 2。1 2a-l因为c=l,所 以 1 =，解得4=2,7 2T从而b=M，2 2故椭圆C的方程为三_+，=1.4 3(2)证明：设直线M N的方程为x=m)，+l,M(x i,y i),N(及，”)，联立方程组x=my+l2 2 ,得(3%於+4)y2+6my-9=0,-14 3则 y i+”=-6m9-2，yyi=-o，3m/+4 3m/+4因为直线B的方程为y=不(x-2),X 一/2yl所以令x=4,得G(4,一二),x2因为方=(及+2,y z),筋=(6,2ylx -2又 6 V 2 -2yl 6y
38、2(my1)-2y i(my2+3)(尼+2)X-=-x -2 my -14 m yly2-6yl+y2myl4m(-1)-6(-)_ 3m+4 3m+4=0,myl所以祈/记因为ANCAG=A,所以A,N,G三点共线.2 2.已知函数f (x)=x2-ax+2 lnx-3.(1)讨论/(x)的单调性.(2)若对任意的。日1,2 ,总存在羽，X2,使 得/(即)4/(也)=0,证明：箱+及2 4.解：(1)函数/(x)=x2-ax+2 lwc-3,xE(0,+),f(x)=2 x-a+=x-a x+,X X令 u=2 x2-ax+2,=2-1 6 W0 时，解得时，f(x)2 0,则函数/(x
39、)在(0,+8)上单调递增.=2-1 6 0 时，解得 aV-4,或4,则函数/(x)在(0,+8)上单调递增.由 2/-数+2=0,解得x i=a W a -l G,a+ya2-1 64 4a 0,x i 0,%2 4 时，X|0,X 2 0.函数/（X）在（0,X|）,（X1,+8）上单调递增，在（X,X2）上单调递减.综上可得：时，函数/（x）在（0,+8）上单调递增.。4 时，X|0,X 2 0.函数/（X）在（0,XI）,（X1,+8）上单调递增，在（X,X2）上单调递减.（2）证明：f（X1 ）4/（x 2）=0,Xl 0,X2 0.化为：x j -C JX1+2/x i 一 3+x g 一 -3=0,整理可得：（乂+乂2）2-。（x i+%2）-6=2 r i X2 -2 ln（x i%2）,令 g（x）=2 x-2 lnx,g（x）=2 -=2X,X X可得函数g（X）在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增.:g（x）2 g （1）=2.:（乂+乂2）2-（XI+X2）-6 2 2,即（x i+x?）?”（X1+X2）-8 2 0,令 h（。）=-a（X1+X2）+（町+乂2）2-8,：h（a）在2 上单调递减,：-2 （x i+x 2）+（X+X2）2 -8 2 0,解得：X|+X 2 4.