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1、3.1.1函数的概念本节课选自一般高中课程标准数学教科书-必修一人教 A 版第三章函数的概念与性质，本节课是第 1 课时。函数的根本学问是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和高中数学.对于高一学生来说，函数不是一个生疏的概念。但是，由于局限初中阶段学生的认知水平；学生又善未学习集合的概念，只是用运动变化的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻.高一学生学习集合的概念之后，进一步运用集合与对应的观点来刻画函数，突出了函数是两个集合之间的对应关系，领悟集合思想、对应思想和模型思想。所以把第一课时的重点放在函数的概
2、念理解，通过生活中的实际事例，引出函数的定义，懂得数学与人类生活的亲热联系，通过对函数三要素剖析，进一步理解充实函数的内涵。所以在教学过程中分别设计了不同问题来理解函数的定义域、对应法则、函数图象的特征、两个一样函数的条件等问题.学生在初中阶段，已经知道函数的定义域是使函数解析式有意义、实际问题要符合实际意义的自变量的范围，所以在教学中进一步强调定义域的集合表示.课程目标A. 通过丰富的买例进一步体会函数是描述变量之间的依靠关系的重要数学模型;B. 用集合与对应的思想理解函数的概念;C. 理解函数的三要素及函数符号的深刻含义;D. 会求函数的定义域。学科素养1. 数学抽象：函数符号 yf (x
3、) 的含义；2. 规律推理：函数的概念；3. 数学运算：求函数的定义域；4. 直观想象：由具体例子概括函数的概念。1. 教学重点：函数的概念，函数的三要素；2. 教学难点：函数的概念及符号 yf (x) 的理解。多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、复习回忆，温故知1. 初中学习的函数的定义是什么？【答案】设在一个变化过程中有两个变量x 和 y，假设对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说 y 是 x 的函数.其中x 叫自变量，y 叫因变量.2. 回忆初中学过哪些函数？（1） 一次函数（2） 正比例函数（3） 反比例函数（4） 二次函数二、探究知探究一函数的概念问题 1. 某
4、“复兴号”高速列车到 350km/h 后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S单位：km与运行时间t单位： h的关系可以表示为S=350t。1. 思考：依据对应关系 S=350t，这趟列车加速到 350km/h 后，运行1h 就前进了 350km，这个说法正确吗？通过复习初中所学函数的定义及根本初等函数，为进一步学习函数的概念打根底，建立学问间的联系。【答案】不正确。对应关系应为S=350t，其中t A1= t | 0 t 0.5, s B1= s | 0 s 175，问题 2 某电气修理告知要求工人每周工作至少1 天，至多不超过 6 天。假设公司确定的工资标准是每人每天350 元，
5、而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w单位：元是他工作天数d 的函数吗？【答案】是函数，对应关系为w=350d,其中d A2= 1,2,3,4,5,6,w B= 350,700,1050,1400,1750,2100 。22. 思考：在问题 1 和问题 2 中的函数有一样的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？【答案】不是。自变量的取值范围不一样。问题 3 如图，是北京市 2023 年 11 月 23 日的空气质量指数变化图。如何依据该图确定这一天内任一时刻 th 的空气质量指数的值 I？你认为这里的I 是 t 的函数吗？通过学生对实例或问题的思考，
6、去体验学问方法.通过问题的思考，提高学生的观看、类比推理、概括力量。【答案】是，t 的变化范围是A3= t | 0 t 24 ，I 的范围是B= I | 0 I 150。3问 题 4国 际 上 常 用 恩 格 尔 系 数 r(r =食物支出金额 总支出金额反映一个地区人民生活质量的凹凸，恩格尔系数越低，生活质量越高。上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化状况，从表中可以看出，该 省城镇居民的生活质量越来越高。你认为该表给出的对应关系，恩格 尔系数r 是年份y 的函数吗？【答案】y的取值范围是A= 2023,2023,2023,2023,2023,2023,2023,2023,2023,2023
7、，4r的取值范围是B= r | 0 0a0通过练习，进一步对应关系概括函数的概念，y=ax+b(a0)y=ax2+bx+c( a0)y=ax2+bx+c(a0)y= (k 0)提高学生的理解力量。定义域RRR值域R例 1. 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映通过总结初中所学的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画同一类事物中的变量 函数的定义域、值关系和规律。例如，正比例函数 y = kx(k 0) 可以用来刻画匀速运动中的路程与时间的关系、肯定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等。试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x(10- x)来描述
8、。解：长方形的周长为 20，设一边长为 x，面积为y，那么 y=x(10-x).其中， x 的取值范围是 A = x | 0 x 10 ， y 的取值范围是域，进一步理解函数的概念，提高学生解决与分析问题的力量。B = y | 0 y 25 ，对应关系 f 把每一个长方形的边长 x，对应到唯一确定的面积x(10-x).探究二区间的概念设 a，b 是两个实数，而且ab,我们规定：满足不等式axb 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为a，b满足不等式axb 的实数x 的集合叫做开区间，表示为(a，b)满足不等式axb 或axb 的实数x 的集合叫做半开半闭区间， 表示为a，b或a，b这里的实数a，b
9、 叫做相应区间的端点通过例题，进一步理解函数的概念。实数集可以用区间表示为(-, +) ，把“ ”读作“无穷大”，“ - ”读作“负无穷大”，“ + ”读作“正无穷大”。定义名称符号数轴表示x | a x b闭区间a,bx | a x b开区间(a,b)x | a x b半开半闭区间a,b)x | a ax | x a；2.区间只能表示数集；3.区间不能表示单元素集；4.区间不能表示不连续的数集；5.区间的左端点必需小于右端点；6.区间都可以用数轴表示；7.以“”或“”为区间的一端时，这一端必需是小括号. 牛刀小试试用区间表示以下实数集合1 x|5 x62 x|x 93 x|x -1 x| -
10、5 x0 时，求f(a),f(a-1)的值.分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前面所述的三个实例.假设只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.解：1 x + 3 有意义的实数x 的集合是x|x-3， 1 有意义x + 2的实数 x 的集合是 x|x-2，所以，这个函数的定义域就是x | x -3, 且x -2.(2) f (-3) = - 3 + 3 + 1 = -1- 3 + 2通过练习进一步理解区间，提高学生解决问题的力量。通过例题，进一步2f () =2 + 3 +1=11 + 3 =33 + 3稳固函数的概念，3
11、32 + 233838提高学生分析问 题，解决问题的能（3） 由于a0,所以 f (a), f (a -1) 有意义。力。f (a) =a + 3 +1a + 2 ，11f (a -1) =a -1+ 3 +=a + 2 +a -1+ 2a +1探究三 函数相等1.思考：一个函数由哪几个局部组成？假设给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？【答案】定义域、对应关系、值域；函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；定义域一样，对应关系完全全都.例 3.以下函数哪个与函数y=x 相等(1) y = (x )2(2)u = 3 v3= v;(3) y =x2 (4
12、)m =.n2n解：1y = (x )2 = x(x 0), 这个函数与 y = x(x R) 对应关系一样，定义域不同，所以和函数y=x 不相等。(2) u = 3 v3 = v(v R) ，这个函数与 y = x(x R) 对应关系一样，定义域一样，所以和函数y=x 相等。x, x 0通过思考，总结判3y =x2=| x |= x, x 0，这个函数和 y = x(x R) 定义域相 断函数是否相等的方法，提高学生分同，但是当 x 0C.y = - x, x 0)y x2|x|，对应关系不同；yx)2 的定义域为0，)；3对应关系不同；y x3x，且定义域为 R.应选 D.【答案】 Dx，
13、(x0，3. 函数 yx22x 的定义域为0,1,2,3，那么其值域为() A1,0,3B0,1,2,3Cy|1y3Dy|0y3【解析】 当 x0 时，y0；当 x1 时，y121；当 x2 时，y4220；当 x3 时，y9233，函数 yx22x 的值域为1,0,3【答案】 A 4. 函数 f(x) x4 1的定义域是x51x5【解析】 函数 f(x) x4，x40解得 x4，且 x5，x50，函数 f(x)的定义域是4,5)(5，)【答案】 4,5)(5，)5. 函数 f(x)x1，x(1) 求 f(x)的定义域；(2)求 f(1)，f(2)的值；(3)当 a1 时，求 f(a1)的值【
14、解】 (1)要使函数 f(x)有意义，必需使 x0，f(x)的定义域是(，0)(0，).(2)f(1)1 1 2，f(2)215122(3)当 a1 时，a10，f(a1)a1 1.a1四、小结通过总结，让学生1. 函数的概念；2. 函数定义域的求法；3. 函数的三要素及函数相等的推断方法。五、作业习题 3.11.3、4 2.1、2进一步稳固本节所学内容，提高概括力量,提高学生的数学运算力量和规律推理力量。函数是高中数学中一个格外重要的内容之一,贯穿整个高中数学学习。 然而函数这局部学问在教学中又是一大难点这主要由于概念的抽象性 ,学生理解起来不简洁,由于函数这局部表达于一个“变”字,承受起来就更难。争论的主要是“变量”与“变量”之间的关系,要求用变量的眼光学习函数。所以函数成了高一生进入高中的一条拦路虎。突破了它后面的学习就简洁了。函数的概念表现出来的都是抽象的数学形式,在数学的教学中,要强调对数学本质的生疏。所以函数概念的教学更忌照本宣科,要留意对学问进展重组。努力去提示函数概念的本质。