2021年普通高等学校招生全国统一考试数学（新高考Ⅱ卷)试题及答案.pdf-淘文阁

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1、绝密启用前2021年全国统一高考数学试卷(新高考全国II卷)使用省份：海南、辽宁、重庆一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2-i1 .复数在复平面内对应的点所在的象限为()l-3 iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.1-3 1的！2-i(2-i)(l +3 i)5+5i 1 +i而川、力有粉g r-的上(1解：-=-=，所以该复数对应的点为|，l-3 i 1 0 1 0 2 1 2 2)该点在第一象限，故选：A2 .设集合。=1,2,

2、3,4,5,6,4=1,3,6,8=2,3,4,则 4 (电3)=()A.3 B.1,6 C.5,6 D.1,3 答案：B根据交集、补集的定义可求A c(a/).解：由题设可得。/=1,5,6,故 Ac(B)=1,6,故选：B.3 .抛物线y 2=2 p x(p 0)的焦点到直线y =x+l 的距离为四，则。=()A.1 B.2 C.2&D,4答案：B首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得P的值.解：抛物线的焦点坐标为o其到直线x y +l =O的距离：dK-0 +12V T+T解得：。=2（2=一6舍去）.故选：B.4.北斗三号全球卫星导航系统是我国航

3、天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为3 6（X X）k m （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O,半径/为640 0 k m的球,其上点4的纬度是指O A与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S =2%/（1-c osa）（单位：k m2）1则S占地球表面积的百分比约为（）A.2 6%B.3 4%C.42%D.50%答案：C由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.解：由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：_

4、 640 02 4）（1-c osa）=l-c osa=-64 0 0 +3 60 0 0 -042 =42%-4万产 2 2 .故选：C.5.正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）A.2 0+1 2百 B.2 8夜 C.乎 D.”也3 3答案：D由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.解：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,所以该棱台的图人=22 2A/2 y/2j=V 2，下底面面积S 1=1 6,上底面面积$2=4,所以该棱台的体积丫 =；（51+52+5甄）=；

5、*瓶（16+4+而）=事血.故选：D.6.某物理量的测量结果服从正态分布N（10,b2）,下列结论中不正确的是（）A.b越小，该物理量在一次测量中在（9.9,10.1）的概率越大B.o越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.o 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.b越小，该物理量在一次测量中落在（9.9,10.2）与落在（10,10.3）的概率相等答案：D由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.解：对于A,/为数据的方差，所以b越小，数据在=10附近越集中，所以测量结果落在（9.9,10.1）内的概率越大，故A正确；对于B,由正态分布密度曲线的

6、对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正确；对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D,因为该物理量一次测量结果落在（9.9,10.0）的概率与落在（10.2,10.3）的概率不同,所以一次测量结果落在（9.9,10.2）的概率与落在（10,10.3）的概率不同，故D错误.故选：D.7 .已知a =lo g 5 2,Z?=lo g83,c =g,则下列判断正确的是()A.cba B.hac C.acb D.a bc答案：C对数函数的单调性可比较。、与C的大小关系，由此可得出结论.解：a=lo g5 2

7、 /5 =；=lo g8 2/2 lo g8 3=b,即 a v c v匕.故选：C.8 .已知函数的定义域为R,/(X+2)为偶函数，/(2x+l)为奇函数，则()A.d=0 B.-1)=0 C.4 2)=0 D.4)=0答案：B推导出函数/(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出/。)=()，结合已知条件可得出结论.解：因为函数/(x+2)为偶函数，则 2+x)=/(2-x),可得x+3)=lr),因为函数 J(2x+1)为奇函数,则l-2x)=-/(2x+l),所以,/(l-x)=-/(x+l),所以，x+3)=x+l)=x l),即/(x)=/(x+4),故函数/

8、(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)=/(2x+l)为奇函数，则F(0)=/(1)=0,故/(1)=一/。)=。，其它三个选项未知.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列统计量中，能度量样本西,，毛的离散程度的是()A.样本内,，毛的标准差B.样本西,，毛的中位数C.样本玉,X”的极差D.样本西,，毛的平均数答案：A C考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.解：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位

9、数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.10.如图，在正方体中，。为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正方体的顶点.则满足的是（）答案：BCB.根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线MN构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.解：设正方体的棱长为2,对于A,如图（1）所示，连接A C,则MN AC,故NPOC（或其补角）为异面直线ORM N所成的角,直角三角形OPC,O C =五,C P =1,故tan/PO C1 V2正二子故M N，OP不成立，故A错误.对于B,如图

10、(2)所示，取NT的中点为。，连接PQ,O Q,则。Q L N T,P Q L M N ,由正方体SBCW N 40T可得SN_L平面A N D T,而O Q u平面ANDT,故S N J.O Q,而S N C M N =N,故平面S A W,又M V u平面SN7M,O Q 1 M N ,而O Q nPQ =Q，所以M N,平面。P Q,而P O u平面O P Q,故M N工O P,故B正确.对于C,如图(3),连接8。，则B D/M N,由B的判断可得O P _ L B D,故0 P t M N,故C正确.对于D,如图(4),取AO的中点。，的中点K,连接AC,PQ,OQ,PK,OK,

11、则 A C W N,因为 D P=P C,故尸。A C,故 PQHMN,所以NQPO或其补角为异面直线PO、M N所成的角，图(4)因为正方体的棱长为 2,故 PQ=：AC=&,OQ=A O2+AQ2=VTT2=V3.PO ylPK2+OK2=V4+T=V5-Q。？PQZ+O尸，故N Q P0不是直角，故尸O,MN不垂直，故D错误.故选：BC.1 1.己知直线/:依+外，=0与圆C:x2+y 2=，点A(q,勿，则下列说法正确的是()A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线/与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离 D.若点A在直线/上，则直线/与圆C相切

12、答案：AB D转化点与圆、点与直线的位置关系为+/,产的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.解：圆心C（0,0）到直线/的距离d=-yla2+b2若点A（a,b）在圆C上，则/+方2=/，所以=用,Va2+b2则直线/与圆C相切，故A正确;若点A（a,8）在圆C内，则/+匕2/，所以yja2+b2则直线/与圆C相离，故B正确；若点A（a,）在圆C外，则所以yja2+b2则直线/与圆C相交，故c错误；若点A（a,3在直线/上，则/+从一/=0即/+b2=r2,所以=”,直线/与圆C相切，故D正确.y/a2+b2故选：AB D.1 2.设正整数=旬-2+。2+4-21+%

13、2 ,其中q.e O,l,记0（）=%+4+%.则（）A.。（2）=0（）C.c（8+5）=y（4+3）B.0（2+3）=0（）+1D.矶2 -1）=答案：ACD利用。（）的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.解：对于 A选项，。（）=/+4+,2ZJ=70,21+?!,2+,2*+ak 2A+I,所以，0（2）=%+4+4 =0（），A选项正确；对于 B选项，取=2,2n+3=7=l.20+l-2+l.22.，0（7）=3,而2=0-2+L 2 l则0（2）=1,即口。以2）+1,B选项错误；对于C选项，8n+5=a0-23+a1-24+.+ar2*+3+5=l-

14、20+l-22+a0-23+a1-24+.+ar2*+3,所以，+5）=2+/+4+%,4n+3a0-22+al-2i+-+ak-2k+2+3=l-2n+l-2+a0-22+ai-23+-+ak-2k+2,所以，口（4+3）=2+%+4+%.,因此，69（8/1+5）=6（4+3）,C选项正确；对于D选项，2-1=2+-+-+2T，故 2-1）=，D选项正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.2 213.已知双曲线鼻一斗=1（。0力0）的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为答案：y +s/3x由双曲线离心率公式可得b2=3,再由渐近线方程即可得解.2

15、2解：因为双曲线鼻疗=1（。0/0）的离心率为2,所以该双曲线的渐近线方程为丁=2%=也兀a故答案为：y yfix.点评：本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.1 4 .写出一个同时具有下列性质的函数/（X）：./（内%2）=/（工 1）/（工 2）；当 XG（O,+。）时，f（X）0 ；/（X）是奇函数.答案：/W =x4（答案不唯一，/（x）=x 2（e N）均满足）根据事函数的性质可得所求的/（X）.解：取/（x）=X4，则/（中 2 ）=（中 2 ）=X2=/（X1）/（X2）,满足，f（x）=4x3,x 0 时有/（x）0,满足，/（x）=4/

16、的定义域为R,又/（一%）=-41=_,/（力，故 r（x）是奇函数，满足.故答案为：/（力=/（答案不唯一，/（X）=/（GN*）均满足）1 5 .已知向量a+5 +c=G，卜?卜 1，W =,=2 ,a-b+b-c+c-a=-9答案：-2由已知可得仅+万+）2 =0,展开化简后可得结果.解：由已知可得（a+h+c a +b +c2+2（a-b+b-c+c-a）9 +2（a-b+b-c+c-a）=0,因此，a-b+b-c+c-a=-.29故答案为：-.1 6.己知函数/。）=H 一1|,为0,%2 0,函数/*）的图象在点和点3（%2，/（赴）的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M，

18、+e2r-e (0 l)所以两.T T Z p G+e为-Vl+e如一e故答案：(0,1)点评：关键点点睛:解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件玉+=0,消去一个变量后，运算即可得解.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记S“是公差不为0等差数列%的前项和，若。3 =55，。2a4=S4.(1)求数列 4 的通项公式；(2)求使S。“成立的n的最小值.答案：(1)%=2-6；(2)7.(1)由题意首先求得出的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式;(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小

19、值.解：由等差数列的性质可得：8 5=5%,则：%=5/，二%=0，设等差数列的公差为。，从而有：生&=3-2)3+)=/，S4=0+a,+q +/=(%2d)+(%d)+q+(%d)=-2d,从而：储=-2 d，由于公差不为零，故：d=2,数列的通项公式为：q,=q+（3）d =2-6.（2）由数列的通项公式可得：q=2-6 =-4,则：S“=X（T）+-X2=26，则不等式S“4 即：“2一5 2“6,整理可得：（-1）（-6）0,解得：6,又为正整数，故的最小值为7.点评：等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.1 8

20、.在 A B C中，角A、B、。所对的边长分别为。、b、c,b=a+l,c=a+2.（1）若 2 si nC=3 si nA,求 A B C 的面积；（2）是否存在正整数。，使得 4 3 C为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.答案：（1）”也；（2）存在，且a =2.4（1）由正弦定理可得出2 c =3 a,结合已知条件求出。的值，进一步可求得。、。的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出si n8,再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C为钝角，由8 s C。+2 ,可得 1,tzGZ,故。=2.1 9.在四棱锥QA 8 C O中，底面A 8 C D是

21、正方形，若A。=2,。=Q A =右,。C=3 .Q-r（1）证明：平面Q A。，平面A 8 C O；（2）求二面角B -Q。一 A的平面角的余弦值.2答案：（1）证明见解析；（2）.3（1）取AO的中点为0,连接QQC O,可证平面A B C。，从而得到面Q A D J面ABCD.（2）在平面A B C D内，过。作O T CD,交BC于T，则O T _ L A D,建如图所示的空间坐标系，求出平面Q A。、平面的法向量后可求二面角的余弦值.（1）取A。的中点为。，连接Q O,C。因为 QA=QD,OA=OD,则而4。=2,。4 =逐，故。0 =7 =2.在正方

22、形A B C O中，因为4 5 =2,故。=1,故C 0 =6,因为Q C =3,故。2=。2 +。2,故AQOC为直角三角形且Q。，。,因为0。n4）=0,故QO,平面A BC。,因为QO u平面QAO,故平面QAO _L平面A B C D.（2）在平面 A3C内，过。作O 77/C Q,交B C 于 T,则OT_LAO,结合（1）中的Q。，平面A 5 C D,故可建如图所示的空间坐标系.则 0(0,1,0),Q(0,0,2),8(2,-1,0),故丽=(-2,1,2),丽=(-2,2,0).设平面Q B D的法向量n=（x,y,z）,n-B Q =Q_ 即n-B D =Q则-2x+y+

23、2z=0 1c 八，取 x=l，则 y=l,z=,2x+2y=0 2故7=1，6.而平面QAO的法向量为五=（1,0,0）,故cs（九）=良=.22二面角-A的平面角为锐角，故其余弦值为.7yX22 0.已知椭圆。的方程为J +a1（a。0）,右焦点为F（应,0）,且离心率为日（1）求椭圆C的方程；（2）设M,N是椭圆C上的两点，直线M N与曲线+y2=/（0）相切.证明：M,N,尸三点共线的充要条件是|出|=有.答案：（1）+/=1；（2）证明见解析.3（1）由离心率公式可得4 =进而可得，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN=y/3;充分

24、性：设直线=（姑0）,当直线MN的斜率不存在时，直线M N:x =l,不合题意;当直线MN的斜率存在时，设M（玉,）,（,%），必要性:若M,N,F三点共线，可设直线M N:y =Z（x -&）即依一 y 一扬:=0,由直线MN与曲线/+2=1（X 0）相切可得M =1,解得上T,/FTTy =(x-V 2)联立-+/I 3可得4d 6j I x+3 =0,所以X 1+%213叵3_ ,x2=2 4所以|M N|=V T+T -,（尤1+）2 -你所以必要性成立；x2=3 ,充分性：设直线的V：y =依+力，（处 0）相切可得，一=1,所以=产+1,收+1y=kx+b联立 f,可得(1

25、 +3 F)2+6 +3 8 2-3 =。.可+y =i所以西+%-&，2=宜;2 1 +3 4 2 1 2 i+3k2所以|M N|=J 1 +公.1(芭+)2-4%=V 1+I6kb1 +3/I2.3-3-4-mF等3化简得3,2-1)2 =0,所以人 1,k=所以人=_0 或 =&,所以直线M N:y =x-五或y =x +,所以直线MN过点厂(垃,0),M,N,F三点共线，充分性成立;所以M,N,尸三点共线的充要条件是|M N|=6.点评：关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.2 1.一种微生物群体可以经过自身繁殖不

26、断生存下来，设一个这种微生物为第。代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=p#=0,l,2,3).(1)已知 P o =O.4，P =0.3,2 =0.2,3 =0.1,求 E(X)；(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：P o +P i X +P z V +P s d u x的一个最小正实根，求证：当E(X)1时，P1；(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.答案：(1)1；(2)见解析；(3)见解析.（1）利用公式计算可得E（X）

27、.（2）利用导数讨论函数的单调性，结合/（1）=0及极值点的范围可得了（力的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.解：E（X）=0 x 0.4 +1x 0.3 +2 x 0.2 4-3 x 0.1=1,（2）设/（X）=3工3+2 X 2+（|一l）x+o，因为 3 +P 2 +P l +=1 ,故/（%）=3 d +一（2 +“0 +卜+0 ,若（X）K1,则 P|+2 P 2+3 3 4 1,故 P 2 +2 P 3 P（./（x）=3 P3 f+2 2%-（2 +“0 +3 ），因为/（0）=-（2 +0 +3），/11）=2+2 3一0 4，故/（力有两个不

28、同零点看,吃,且王0 1尤2，且x e l-o O,M D H，”）时，/（x）0；x e（%，w）时，/（x）0；故/（x）在（Y O,%）,（%,+0。）上为增函数，在（不X 2）上为减函数，若 =1，因为“X）在（马，”）为增函数且 1）=（），而当工（0,%2）时，因为/（x）在（%,工2）上为减函数，故/（尤）/（）=/（1）=0,故1为P o +PX+p2X2+P 3/=x的一个最小正实根，若x?1 ,因为/（1）=0且在（0,工2）上为减函数，故1为 0 +/+2/+3*3=%的一个最小正实根，综上，若石（X）Wl,则=1.若（X）1,则，|+2凸+3 3 1，故 P 2+2

29、P 3 P（）.此时/（O）=-（P2+，O+P3），/（1）=0+2 0 3一夕0。，故/（X）有两个不同零点工，*4，且毛匕1，且G（-OO,玉）u（x 4，+）时，r（x）。；%（玉,王）时，/（力0；故/（X）在（3,工3），（王，+8）上为增函数，在（七,4）上为减函数，而/(1)=0,故/(z)0,故/(力在(0，七)存在一个零点，且P 1.所以为为 +,俨+p2x2+P 3/=光的一个最小正实根，此时p 1 时，p.(3)意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后被灭绝的概率小于1.2 2.已知函数/(无)=(

30、X De-a f+b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：x)有一个零点1fC D 2a；2 20a-,b2a.答案：(1)答案见解析；(2)证明见解析.(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.解：由函数的解析式可得：/(x)=x(/2 a),当“4 0时，若xe,0),则尸(x)0 J(x)单调递增；当0 a 0,/(x)单调递增，若x l n(2 a),0),则/(x)0 J(x)单调递增；当时，尸(x 0 J(x)在R上单调递增；当时，若x 8,0),则尸(x

31、)0,/(x)单调递增，若x 0,l n(2 a),则尸(x)0,/（x）单调递增；（2）若选择条件：2由于故 I 2 a 1,/（0）=/?1 0,而=（-l-Z?）e-*-a i r-h 2 t z l n（2 ）-l -o l n（2 a）+2 a=2 a l n（2 a）-a l n（2 a）J=a l n（2 a）2-l n（2 a）,由于;q,鼻-，I 2 a 4 e 2,故q i n（2 a）2-l n（2叫N O,结合函数的单调性可知函数在区间（）,+8）上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件：由于0 a g,故2a 1,则0）=一12。一1 4,4a 0,而函

32、数在区间（0,+“）上单调递增，故函数在区间（0,+。）上有一个零点.当匕 0,H（x）单调递增,注意到（0）=0,故”（x）2 0恒成立，从而有：e x+i，此时：/（x）=（x-l）ev-ax1-Z?（x-l）（x+l）-a x2+b=（1-“）幺+（/?-1）,当X 时，(l-a)x2+(Z?-l)0,+1，贝以伍）0,即：/(0)0,/而函数在区间（0,+8）上单调递增，故函数在区间（0,+力）上有一个零点./（l n（2a）=2a l n（2a）-l-a l n（2a）1 +b 2a l n（2a）-l-a l n（2a）一 +2a=2a l n（2a）-a l n（2a）一=a l n（2a）2-l n（2a）,由于 0a g,0 2 a l,故 a l n（2a）2-l n（2a）0,结合函数的单调性可知函数在区间（F,0）上没有零点.综上可得，题中的结论成立.点评：导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.（4）考查数形结合思想的应用.

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