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1、1. 2021年普通高等学校招生全国统一考试新高考I卷稳中有变初心不改,优化创新立德树人由教育部命题考试中心统一命制的2021年全国新高考I卷数学试卷,遵循普通高中数 学课程标准（2017年版2020年修订）的基本要求,着重考查基础知识、基本思想方法、基 本技能和基本活动经验，体现“低起点、多层次、高落差”的命题特点.全面对标中国高 考评价体系，很好地落实了 “立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能,坚持高考的核 心价值,突出学科特色,重视数学本质，既发挥了数学学科高考的选拔功能,又对深化中学数 学教学改革发挥了积极的导向作用.与2020年相比,2021年新高考【卷数学试卷在继承了 2020
2、年的命题风格的基础上做了 一些创新,试题命制出现了新动向，考点题型出现了新变化,素养能力考查出现了新亮点.高考命题新动向1 .注重基础,紧扣教材.单项选择题的第1、6题较为简单,侧重考查了教材中的概念、性质、 公式等,第8题对相互独立事件定义的考查正击中同学们复习中的盲点,较好地体现了高考 试题“题在书外，根在书内”，源于教材又高于教材的特点.2 .在数学文化类试题中，没有出现篇幅长、文字晦涩难懂的情形,契合了命题中心早先提出的 优化情境题的情境设计的命题要求.3 .以能力立意,考查同学们的综合素质，如第22题是以多元变量和不等关系的证明为载体， 侧重考查了函数与导数模块中的两大热点问题，同构
3、问题与极值点偏移问题,考查化归与转 化能力、逻辑思维能力、运算求解能力.考点题型新变化1.分值调整部分：多项选择题由原来的“部分选对的得3分”调整为“部分选对的得2分”. 2.知识块分值占比发生变化:数列知识模块的占比有所减少,不等式部分的考查力度明显降 低,没有出现单独的不等式试题,凸现了作为教材中的预备知识的不等式的工具作用,排列组 合的简单运用进一步弱化,也符合新课标调整的新要求.3 .题型的变化:填空题中增加了双空题,一个主题下分解出2个答题点,一方面增加了考查内 容,扩大了知识覆盖面；另一方面,对于难度较大的试题,分空得分,在送出一部分分数的基 础上,增加了试题的考查深度,丰富了命题
4、形式,提高了试卷的区分度.4 .考点考查方式的调整:解析几何在高考中大多考查椭圆和抛物线,而2021年主要考查了双 曲线和定值类问题，题目难度不算大,但对运算能力有较高要求;在多项选择题中圆的方程的 身影出现在2021年的第11题中，从2020年“隐身”之后实现“回归”；将对随机变量的分 布列、数学期望的考查调整到了解答题第18题的位置,难度较2020年有所下降,解三角形后 移至19题的位置，难度上升,考点考查方式的调整，体现了试题命制“稳中有变”的特点.素养试题新亮点1 .整卷将数学关键能力与学科素养统一到理性思维的主线上,考查推理论证能力以及发现问 题、解决问题的能力.第7题以曲线的切线为
5、背景考查逻辑思维能力、运算求解能力，事实上本题可以数形结合得 到正确答案,从而避开复杂的代数运算,实现了对学生思维灵活性的考查.第16题以民间剪纸艺术为载体,对数列知识进行了考查，体现了数学文化学科素养，贯彻了 立德树人的要求.第22题以对数函数为载体，综合考查了函数的单调性、不等式的证明，第(2)问中的不等式 证明，需要考生具有一定的分析探究能力和推理能力,对思维进行了深层次的考查,真正体现 了 “高落差”的命题特点，区分度较好.2 .与2020年新高考I卷数学试题相比,课程学习情境试题比例明显加大,探索创新情境试题 和生活实践情境试题比例相对减小，如第16题和第18题既是生活实践情境试题又
6、是探索创 新情境试题;而第12题以正三棱柱为载体的多项选择题从探索创新方面做了有益的尝试，题 干条件以向量的形式呈现，四个选项从四个不同角度、不同的设问方式明线考查了立体几何 中的主干知识,暗线考查了空间轨迹问题,设计精妙.3 .第16题是最具特色的创新型试题，试题全面考查了数学学科素养中的理性思维、数学应用、 数学文化、数学探索，考查了逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力、创新能力,首先， 本题以中国传统文化民间剪纸艺术为背景，其次，本题考查了数列型问题的“归纳、猜想、证 明”策略的灵活运用，考查学生“大胆猜想、小心求证”的思维品质，同时对耐心读题、细心 审题有较高要求. 2022届备考
7、建议1 .在立足教材的基础上渗透数学思想方法的考查在复习备考时要回归教材,充分认识知识的生成、发展和应用的过程,充分领悟教材所渗透的 数学思想和方法，重视通性通法以及知识间的融会贯通，切实把握好“思、”与“算”的辩证 关系,提升运算求解能力.2 .吃透新课程标准的基础上盘活教材在平时的复习中，立足教材,同时也要活用教材,不拘泥于教材,注重知识点之间的关联,搭建 完整的知识体系.3 .把握趋势,拒绝套路,适当拓展提升能力在复习时，不要“机械刷题”，而要在吃透数学课程标准，深刻领会中国高考评价体系总体要求的基础上,提高分析问题和解决问题的能力.师艇题福建省高级教师汤小梅河北省高级教师李金泉本卷答案
8、仅供参考5C240 （3-誓）161.B【考查目标】必备知识:本题主要考查集合的交运算.关键能力:运算求解能力.学科 素养:理性思维.【解析】 因为4=川2。/2 = n /,(解题关犍: 利用圆锥的底面周长等于其侧面展开图的弧长建立等量关系)解得1句2故选B.【解后反思】 破解本题需明晰一个概念,即圆锥的概念;找到一个相等,即圆锥的底面周长 与其侧面展开图的弧长相等.4. A【考查目标】必备知识:本题主要考查三角函数的图象和性质.关键能力:逻辑思维能 力、运算求解能力.学科素养:理性思维.【解析】 解法一（常规求法）令+2”*三920,届2,得 Z62守2%n WMg加,4Gz.取k=Q,则
9、号W后手因为（0, 3氯与争，所以区间（0,乡是函 数/（*）的单调递增区间.故选A.解法二（判断单调性法）当oag时，号所以f1力在（，7）上单调递增，故A正确；当 2. o 6 32=时，三岑,所以/Xx）在G，）上不单调，故B不正确；当nJ丹时,咨，所Z36 62Z 66 3以/U）在（n ,争上单调递减,故C不正确;当学a2 n时,邛，所以Ax）在（手,2 n ） 上不单调，故D不正确.故选A.解法三（特殊值法）因为芍号皿但人拳土吗刃）令文迷称所以区间成兀） 不是函数/U）的单调递增区间,排除B;因为me号号，但Ay） Wsin n =0, /（y） Wsin 簧（e,所以区间（n号）
10、不是函数H*）的单调递增区间,排除C;因为手节号-7, Ay） Wsin y-7,所以区间（y, 2 n ）不是函数 f（x）的单调 递增区间，排除D.故选A.5 .C【考查目标】必备知识:本题主要考查椭圆的定义及最值问题.关键能力:逻辑思维能 力、运算求解能力.学科素养:理性思维.【解析】由椭圆C:日比=1,得|姐| + |圾1=2X3玉则|你| a*（- 十里z厂灯对 9 42当且仅当I你1 = 1觇1=3时等号成立.故选C.6 .C【考查目标】必备知识:本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系等知识. 关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维.【解析】 通解（求值代
11、入法）因为tan0=-2,所以角夕的终边在第二、四象限，（提示： 根据正切值的正负,确定角，可能所在的象限）（sin。=所以ICOS0 =sin。= -4=普，所以 cos”再sin8(l+sin28) sin8(sin6+cos6)-=t=sinsin0+cos0sinO+cos60 (sin 8 比os=sin2 0 -sin Ocos夕故选C优解一(弦化切法)因为tan。=_2,所以叫陪噜皿竽rin。(sin 5 sm0+cos0 sino+cos0g sin20+sin0cos0 tan20+tan 4 2 2 故诜 c sin20+cos20 1+tan21+4 5*优解二(正弦化余
12、弦法)因为tan，=-2,所以sin，=-2cos氏则 sin0(l+sin20) sin0(sin0+cos0)2 . n nsin20+sin0cos0 4cos20-2cos20 4-2 2 -sin (sin 9丘os 夕)；二.故选 sin0+cos0 sin8+cos6sin20+cos20 4cos20+cos20 1+4 5C.【得分秘籍】破解此类问题的关键:一是化简，利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系 等,化简己知三角式;二是求值,利用弦化切或切化弦,求出三角函数值.7.D【考查目标】 必备知识:本题主要考查导数的几何意义、直线的点斜式方程、利用导 数判断函数的单调性.关
13、键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探 索.【解题思路】 设切点(，加X),利用导数的几何意义求出切线方程，再利用切点在切线 上且在已知函数的图象上,可得关于刘的方程，且该方程有两个不同的解，最后通过构造函数, 转化为两个函数的图象有两个不同的交点,利用导数判断新函数的单调性,从而作出新函数 的大致图象,即可得出正确的结论.【解析】通解(数形结合法)设切点则切线方程为y-岳。(六团，由y0b7呼 ”a)得e与。_m七)=则由题意知关于X。的方程e。(1 -刘+a) =b有两个不同的 解.设 f(x)三(1 -x七)，则 (x) =eW-x-f-a) e=e(x-a),由
14、 /* (x) 4)得 x=a,所以当 x0, fx)单调递增，当 xa 时，f (x) 0,所以 f(x) 0,当 X-*-8时,F(x)f 0,当 时，y*(x)- 一8,(提示:判断函 数极值点左右两侧的图象特征很重要,需掌握用极限思想判断函数图象的趋势,从而能准确 作出草图，以达到草图不草的目的)函数f(x) *(1 -户a)的大致图象如图所示，因为式力的图象与直线y%有两个交点,所以故选D. 光速解（用图估算法）过点（a,6）可以作曲线片e的两条切线,则点（a,6）在曲线尸e的下方 且在x轴的上方,得0| =Vcos2a + sin2a= 1, =Jcos2。+ （-sin0）2=i
15、,所以I碣H碣I,故A正确；取吃,则P,争，取B号,则Pz（q,争,则而工|画，故B错误；因为OA OP3=cos （ Q + B ）, OP】 OP?二cos a cos 0 -sin a sin B =cos （ Q + B ）,所以0P3=OPi 0P2,故 C 正确;因为苏=cos a , 0P2 OF=cos 3 cos( a + g )-sin 3sin(a+p )=cos (a +2 3 ),取a乏，6乏，(提示:用取特殊值法进行排除) 44则初西考,珂西COS9号,所以科西士理西,故D错误.故选AC.U.ACD【考查目标】 必备知识:本题主要考查直线与圆的位置关系，最值问题，点
16、到直线 的距离公式等.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解析】 设圆(七尸乂尸5)2=16的圆心为M5, 5),由题易知直线 相的方程为工之可，即 4 2则圆心M到直线四的距离.5+2黑旬岑乂,所以直线四与圆材相离,所以点尸到 直线46的距离的最大值为4+#1喝,4喝5+fp-10,故A正确.易知点尸到直线四的距离的最小值为M车/，号/(屋Y=l,故B不正确.过点8作圆M的两条切线,切点分别为此。，如图所示,连接MB,MQ,则当/网最小时，点P 与N重合，l%l=J MB2-MN 2=卜+ (5-2)4夜,当/%f最大时，点尸与。重 合，I PB =3V2,
17、故C, D都正确.综上,选ACD.【解题关键】破解此类题的关键:一是会转化,即把动点到定直线的距离的范围问题进行转 化,利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,从而判断出直线与圆的位置关系，即可 得出动点到定直线的距离的范围;二是会利用圆的切线，轻松判断何时角取得最值.12. BD【考查目标】必备知识:本题主要考查空间几何体的特征、空间线面位置关系的判 定、定值问题.关键能力:逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、 数学探索.【思维导图】4 =1 点。的轨迹一48。周长的表达式一判断选项A等体积法 =1一点P的轨迹判断选项B八3一力或点尸的位置一判断选项C一欲使线面
18、垂直,需线线垂直一点夕的位置一判断选项D 【解析】/=4就+西(OW K,OW W1).对于选项A,当4=1时，点户在棱上运动，如图1所示，此时力区。的周长为A&+AP+PR W2 +J1 + 421 + (1-p)2 =y2 +yjl + n2 +yj2-2fl + n2,不是定值,A 错误;图1对于选项B,当可时，点在棱区G上运动，如图2所示,则4-ABC +1PBC对于选项C,取6c的中点D, 8G的中点儿连接如,46,则当，审寸，点在线段D仄上运动,假设则4）物力展即（争2汽1产吗尸+力力,解得力或=1,所以点尸与点 。或重合时,AxPLBP,故C错误;解法一 由多选题特征，排除A,C
19、,故选BD.解法二 对于选项D,易知四边形4能4为正方形,所以4BUR,设/笈与46交于点K,连接PK,要使4AL平面4aA需46_1_你所以点只能是棱CG的中点,故选项D正确.综上，选BD.解法三 对于选项D,分别取方稣成的中点连接班则当/时，点夕在线段砥上运动, 以点G为原点建立如图3所示的空间直角坐标系G-xyz,则6(0,1,1),区(0,1,0),4(碧,0),0(0, 1T,3,所以砧=(冬,1)同=(0, T,3,若 451.平面ABF,则AyBLRP,所以3号力,解得4 =1,所以只存在一个点P,使得4员L平面AB.P,此时点户与尸重合,故D正确.综上,选BD.图313. 1【
20、考查目标】必备知识:本题主要考查函数的奇偶性与函数的解析式.关键能力:逻 辑思维能力、运算求解能力.学科素养:通过利用定义法、特殊值法、转化法解题，考查理性 思维学科素养.【解析】通解(定义法)因为/(=。仁2-2。的定义域为兄且是偶函数，(提示:有关函 数的奇偶性问题,注意优先求解定义域)所以Ar) =F(x)对任意的xGR恒成立，(方法技巧:利用偶函数的定义转化为恒成立问题) 所以(x)3 (a , 2 l_2J) -x (a , 2*2 *)对任意的xG R恒成立,所以x (a-l) (2*2 ) =0对任意的 *GR恒成立,所以a=l.优解一(取特殊值检验法)因为Ax). 2-2 9的
21、定义域为R,且是偶函数,所以A-D -AD,所以-0-2) =2a,解得a=,经检验，f(x)与/。为偶函数，所以a=l.(易错警示:用特殊值法求得的参数值,需检验所求得的参数值是否符合题意,不符合的需舍去)优解二(转化法)由题意知f(x). 2-2)的定义域为R,且是偶函数.设g(x)寸(x) =a - 2*2*,因为g(x) 4为奇函数,所以hB=a ZT为奇函数,所以A(0) =a 2-2解得a=l,经检验,f(x)寸与0为偶函数,所以a=l.14. 【考查目标】 必备知识:本题主要考查抛物线的方程、抛物线的几何性质.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【
22、解析】通解(解直角三角形法)由题易得|0F|= |PF|=p, N0PF=NPQF,所以ptanZOPF=tanZPQF,所以用唱,即解得P=3,所以C的准线方程为x=-*光速解(应用射影定理法)由题易得|OF|J, |PF|=p, |PF=|OF| |FQ|,即产6,解得 p=3或p=0 (舍去)，所以C的准线方程为x=q.15.1【考查目标】 必备知识:本题主要考查函数的最值、导数的应用.关键能力:通过判 断函数的单调性,得到函数的最值,考查逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、 数学应用.【解题思路】 先求函数f(*)的定义域,再对x进行分类讨论,去掉绝对值符号，最后利用导 数
23、法、基本初等函数的单调性,判断函数f(x)的单调性,可得最值.【解析】 函数/(x)=|2xT|-21n ”的定义域为(0,+8).阳时，(提示:对x进行分类讨论)/21n /所以f (x)之二U,当工GO时，f (x) 时，f (力人,所以 x x 2-(4)加产(1)之一1-21n 1=1;当OdW：时，/Xx)=l-2x-21n x在(0,单调递减，(提示:直接用基本初等函数的单调性进 行判断)所以/(x)K=fg)=-21W-21n 2=ln 4ln e=l.综上，F(x).in=L16.5 240(3装)【考查目标】 必备知识:本题主要考查数列的实际应用.关键能力:通 过构建数列模型
24、，归纳出数列的通项公式,并利用错位相减法求出数列的前项和,考查逻辑 思维能力、运算求解能力、数学建模能力、创新能力.学科素养:借助错位相减法，考查理性 思维、数学应用、数学探索学科素养.【思维导图】列出对折3次、4次相应的各种规格的图形一S, S的值月即淮埋出仅和原% E Sk k=l【解析】 错位相减法 依题意得,S=120X2N40;S到X3=180;当n=3时，共可以得到5 dmX6 dm, | dmX12 dm, 10 dmX3 dm, 20 dmx| dm四种规格的图形，且 5X630,|xi2W0, 10X3W0, 2OxMo,所以 SW0X4=120;当 时，共可以得到 5 dm
25、 X3 dm, - dmX6 dm, - dmX12 dm, 10 dmX dm, 20 dm 五 2424种规格的图形,所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5,且5 X3 =15； X6 =15；XI2 =15, 10 短=15, 20 3=15,所以 S=15 X5 =75; 2424所以可归纳S*卷x（k+l）黑+1）.所以6产之40（1哙玲脸喷），所以/36之4。（套玲噌脸嗡为, ni _i_xi由-W, x g SM40 （1金玲吃4“金手=240（1吸y端;）240 W黑），（提示：用等比数列的前项和公式S刍产（g#D,可避免计算数列项数时出错） 1-q所以Z 240 （3三
26、芋）dm2. k=l2n17 .【考查目标】 必备知识:本题主要考查数列的递推公式、等差数列的定义及等差数列的 前项和.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解题思路】（1）根据d=1, /即+ 1为奇数，及仇=痢可得到瓦员及*与4的递推 1即+ 2, n为偶数关系,利用等差数列的知识确定数列&的通项公式；（2）根据a“+ 1为奇数确定数 1azi + 2,九为偶数列&的奇数项和偶数项分别成等差数列,再求其前20项和.解：（1）因为bn=a2nt且向刁,&向+ 1, 71为奇数,+ 2, n为偶数,所以 8 - +1=2,bz=a* =氏+ =ai +2 +1
27、%.因为 bn=32m 所以 bn+二&n+2=氏 n+=&n+l =an 地 +1 二期+3,所以bn八S=&n埼-&n3、所以数列6是以2为首项,3为公差的等差数列,32+3 (-1) -3/7-1, N：（2）因为(nn + 1, ri为奇数, (an + 2, n为偶数,所以女仁N时，&k二&k-，产出k 1 +1,即&k二a2k 1，比1二改2，a2k电=&k+=&k+ ,即 /样=/#“+1，所以+得己2才+1 =须-产3,即既+骸-1=3,所以数列4的奇数项是以1为首项,3为公差的等差数列;+得aikF&k埼,即骸片的3又改2所以数列4的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列.所
28、以数列a的前20项和Sa=(a*+4+as+ +a、J +(&+&+%+,-10X320-0x9X3300.【解后反思】 本题是根据数列的递推关系,通过迭代法求解.例如：已知团=1, a*a,+n,求 数列a的通项公式，此题我们都很熟悉，利用“累加法”很容易求得，但是此种解题方法程 式化，忽略了递推关系的本质和内涵,此题也可以用迭代法递推，a=a i+(/?-1) =a 2+(.n-2) +(/?-1)+2+3 户”+(T) =l+y.18 .【考查目标】 必备知识:本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望.关键能力: 逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力.学科素养:理性思维、数学应用
29、.【解题思路】(1)首先确定才的所有可能取值，然后分别求出每个可能取值对应的概率，最 后写出X的分布列；(2)根据(1)的分布列求出先回答A类问题的累计得分的数学期望,再求 出先回答B类问题的累计得分V的分布列和数学期望，比较两个数学期望即可得出结论.解：(1)由题意得,X的所有可能取值为0, 20, 100,/W) =1-0. 82,产(六20) 4). 8X(l-0. 6)32,PC=100)R.8X0.6R.48,所以X的分布列为X 0 200.3P 0.221000.48(2)当小明先回答 A 类问题时，由(1)可得 EX) -0 X0.2 +20 X0. 32 +100 X0. 48
30、=54.4.当小明先回答B类问题时,记F为小明的累计得分，则y的所有可能取值为0, so, wo,P(y=0)=l-0.6R.4,夕(屐0) =0. 6X(1-0.8) =0. 12,P(y=l00) 4). 6X0. 84). 48,所以，的分布列为_c2+4a29b2_c2+4a29ac 4ac4ac在嚣中,cosZABCB2+BC2AC22AB BCc2+a2-b2 c2+a2-aclac 2ac（D 4）X0. 4 抬0X0. 12+100X0.48-57. 6.因为57. 6万4. 4,即万（心，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.19 .【考查目标】 必备知识:本
31、题主要考查利用正、余弦定理解三角形.关键能力:逻辑思维 能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解题思路】 对已知条件BDsinNABC=asin C利用正弦定理得BD - b=ac,再结合S=ac, 即可得证；（2）过点作DEBC交AB于E,分别在应应和/）胸中利用余弦定理求得 cosN班）和cosN/JSC利用cosNBED=cosNABC及6ac确定出a与c的关系，进而求出cos / ABC.解：因为BDsinNABC=asin C,所以由正弦定理得,BD b=ac,又6=ac,所以即 b=6, 又6X),所以BD=b.如图所示,过点作DEBC交AB于E,因为仍24所以警噂之
32、言与 C DD L J所以选陪a.2BE DE在 ABDE 中,cosNBEDe2+de2-bdz因为NBED= -NABC,所以cosNBED=posNABC,所以巴空竺=岂,化简得 4ac2ac3c2用才TlacR,方程两边同时除以a2,得3()2-11 ()用4),解得上或才. a aa 3 a业c 2 nn 2c2+a2-ac a2+a2-a2 7当 上, BP c上 a 时，cos ZABC-4 o3a 33lac -a212当即c4a时,cos/4比3*至铲二乂 (舍). a2ac 6a26综上，COS Z.ABC=.20 .【考查目标】 必备知识:本题主要考查面面垂直的性质定理、
33、二面角的定义、线线垂直 的证明及三棱锥体积的求解,关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力.学科 素养:理性思维、数学探索.【解题思路】（1）由AB=AD,。为劭中点得OAVBD,然后根据面面垂直的性质定理,可得OAA. 平面用力,进而得出，以（2）先根据功力是边长为1的正三角形及。为物的中点得 OC=OD=OBA,推出比7?是直角三角形，即三棱锥人及力的底面积可求,然后作出二面角 万的平面角，根据平面角为45 ,可以求出04的长度，即三棱锥力-8面的高可求,最后根 据锥体的体积公式求出体积;或者建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解.解：因为/6力,。为M的中点，所以0ALBD,又
34、平面，平面BCD,且平面ABDQ平面BCD=BD, t平面ABD,所以平面BCD, 又Ot平面BCD,所以AO LCD.（2）解法一 因为功力是边长为1的正三角形，且。为的中点，所以0C=0B=0D=, 所以及力是直角三角形,且/比场90 , BC 所以宓“等.如图,过点作EF/A0,交励于F,过点尸作FGLBC,垂足为G,连接EG.因为平面6（力，A所以J_平面6绍又旌:平面及力,所以比1BC,eZfl又 FGL BC,且 EFC FG=F,防庇平面班!；，所以比二平面EFG,则/九月为二面角E-6C-的平面角，所以N比户45 ,贝ij GF=EF.因为DEtEA,所以EFOA, DF=20
35、F,所以整N因为 FGLBC, CD 1BC,所以 GF/CD,则今与所以号所以EF=GF所以的=1,所以匕二赢” A0 XXl空 3326 解法二 如图所示，以。为坐标原点，OB, 0A所在直线分别为*, z轴,在平面BCD内,以过点0 且与劭垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系.因为殴是边长为1的正三角形，且0为劭的中点，*所以 OC=OB=OD=,夕Ne所以 8( 1, 0, 0), ( -1, 0, 0), C( V，鼻0)./二：1设/(0,0,a),aR,因为朦=2凡，所以 (T，O,g).广丫由题意可知平面及力的一个法向量为=(0, 0, 1).设平面6位的法向量为*=1x, y,
36、 z),因为前=(g苧,0),布=(-,0,算所以卜匣=。,即行+ 9 =。，(m- BE = 0,+ z = 0,I 33令x=l,则y/,所以片(1,心,因为二面角E-BC-D的大小为45 ,所以 cos 45 0 -/ m n - 等,m n rT 2得 a=i9 即 0A=.因为 SabcJbD。CDsin 60 0 =-X2 XIX所以 Va BCV-SBCD * 0A=- X =-. 332621 .【考查目标】必备知识:本题主要考查双曲线的定义、双曲线的标准方程、弦长公式及直线与双曲线的位置关系.关键能力：本题通过将题目中的几何条件代数化考查运算求解能力.学科素养:理性思维、数学
37、探索.解：因为|幽|-|%1=21出|=2旧,所以点M的轨迹C是以&, F2分别为左、右焦点的双曲线的右支.设双曲线的方程为。白1(a0, b0),半焦距为c,则2a=2, c=g,得a=l, b2=c2-a2-16,所以点M的轨迹C的方程为x2-91(x2l).(易错警示:注意点M的轨迹是双曲线的一支,其 16轨迹方程要标上X的范围)(2)设T仔t),由题意可知直线AB, PQ的斜率均存在且不为0,设直线AB的方程为 y-t=kKx-3 8#0),直线 PQ 的方程为 y-t=k2(x-i) (kO),y-t = kifx-),.22(16-k?) x2-2k, (t-) X- (t-) 2
38、-16=0.x2- = 1, 16设 A(XA, Ya), B(xb, y),易知16-好工0,mil-(t争 2.162k1 (4)则 xXH=r-，x而所以 I TA | = J1 + k； | XA-i | =J1 + k： (xA-1),! TB| =J1 + k： | xB-i I =J1 + k； (xB-1),则I TA |TB| = (l+kf) (x3 -3 = (1+崎)xAXB-，XA+xB)+： = (l+k9 f 叱：)+1= (l+k?)(t2 + 12)-16同理得 I TP I - TQ -(1+即+12)k216因为|TA| |TB| = |TP| |TQ|,
39、所以(当把尹)-叱警;但,所以 ki-16后-16k：T6+k；k孑T6kAk：T6+kjkgT6岭,即k；二岭，又 ki#=k2,所以 ki=-k2,即 ki+k2=0.故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.【方法总结若A(xi, yi), B(x2, y2)是直线y=kx+b (kWO)上的两点，则AB|=V1TF|xxz| = 11+|y,-y2|,称此公式为直线上两点间的距离公式,若A, B是直线与 圆锥曲线的交点，则此公式即我们通常所说的弦长公式.注意此公式不仅求弦长时可以使用， 只要是求直线上两点间的距离都可以用.22 .【考查目标】必备知识:本题主要考查利用导数研究函数的单调
40、性及构造函数证明不等 式等.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力和创新能力.学科素养:理性思维、数学探索.【思维导图】1) ) f(x) f (x)=Tn彳)的单调性. 1 1令工i=一，工厂工 a b bln a-aln b=a-Zr-*na+1 lnd+1 -/(A) =f(-)不妨设 xixt 01X2幺转化为证f(M)f(2-xi)构造函数尸(x) -Ax) -f(2-x)-对尸(工) 求导,确定其在(0, 1)上的单调性一当01时,f(x) -A2-x) 0再变巴+再令 fX)=fX。R-XiSl转化为证/Uz)构造函数力(x) =f(x) +L对函数力(X)求导，确定其在(l,e)
41、上的单调性f当时，力(x)fe一得证解：因为 f(x) -x(l -In x),所以 f(x)的定义域为(0, +), f (X)=l-ln x+x ,() =Tn x.X当当1)时,尸与；当X。(1, +8)时,r(x) 0.所以函数/(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, +8)上单调递减.(2)由题意,a, 6是两个不相等的正数，且61n a-aln 6=a-6,两边同时除以a得四母二士 即lna+lnb+l,即 /(与. a ba b令汨上,尼二,由知f(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, +8)上单调递减，(一般地，解决此类问题，第(2)问需利用第(1)问所得函数的性质，本题中对bln a-aln。电2的变形就是想方设法利用上(1) 中函数的性质)且当 00,当 xX 时,F(x) 0,不妨设 XX2,则 0112要证2E足色即证222:要证