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1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试 新高考卷(海南、重庆、辽宁)一、单选 1在复平面内，复数2i13i对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 A 2i13i2i13i13i13i55i101212i，对应的点坐标为12，12，位于第一象限选A 2 若全集 U1,2,3,4,5,6，集合 A1,3,6，B2,3,4，则 AUB()A3 B1,6 C5,6 D1,3 B UB1,5,6，AUB1,6，选 B 3若抛物线 y22px(p0)的焦点到直线 yx1 的距离为 2，则 p()A1 B2 C2 2 D4 B 抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为p2，0，它到直
2、线 yx1 的距离为dp212 2p2.选 B 4卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 36 000 km(轨道高度指卫星到地球表面的最短距离)，把地球看成一个球心为 O，半径为 6 400 km 的球，其上点 A 的纬度是指 OA 与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为，该卫星信号覆盖的地球表面面积 S2r2(1cos)(单位：km2)，则S 占地球表面积的百分比约为()A26%B34%C42%D50%C 如图，作出过地球静止同步轨道卫星轨道左右端点的竖直截面，则 OB36 0006 40042
3、400，cos 6 40042 400853，S 占地球表面积的百分比为2r21cos 4r24510642%，选 C 5 正四棱台的上、下底面的边长为 2,4，侧棱长为 2，则四棱台的体积为()A2012 3 B28 2 C28 23 D563 C 如图，分别取上下底面的中心 O1，O，过 B1作 B1MOB 于点 M，则 OB2 2，O1B1 2，BM 2，B1M42 2，故四棱台的体积为 V13(S上S下S上S下)h13(4168)228 23，选 C 6某物理量的测量结果服从正态分布 N(10，2)，则下列结论中不正确的是()A B C D D 对于 A，越小，正态分布的图像越瘦长，总
4、体分布越集中在对称轴附近，故 A 正确对于 B，C，由于正态分布图像的对称轴为 10，显然 B，C 正确D 显然错误选 D 7已知 alog52，blog83，c12，则下列判断正确的是()Acba Bbac Cacb Dab0，b0)，离心率 e2，则双曲线 C 的渐近线方程为_ y 3x bac2a2a2e21 3，故双曲线 C 的渐近线方程为：y 3x.14写出一个同时具有下列性质的函数f(x)：_.：f(x1x2)f(x1)f(x2)；：当 x(0，)时，f(x)0；：f(x)是奇函数 f(x)x2 本题属于开放性问题，答案不唯一，例如取 f(x)x2，x4，x6都可以，还可以取 f(
5、x)x23，x43，x25，x45.15已知向量 abc0，|a|1，|b|c|2，则 abbcca_.92 法一：由 abc0(abc)2a2b2c22ab2bc2ac0，abbcac92.法二：由 abca2b22abc2ab12，由 acba2c22acb2ac12，由 bcab2c22bca2bc72，abbcca92.16已知函数 f(x)|ex1|，x10，函数 f(x)的图像在点 A(x1，f(x1)和点 B(x2，f(x2)处的两条切线互相垂直，且分别与 y 轴交于 M，N 两点，则|AM|BN|的取值范围是_(0,1)当 x0 时，f(x)1ex，f(x)ex，f(x)在 A
6、(x1,1ex1)处的切线斜率为 k1ex1，当 x0 时，f(x)ex1，f(x)ex，f(x)在 B(x2，ex21)处的切线斜率为 k2ex2，由 f(x)图像在 A，B 两点处的切线互相垂直k1k2ex1x21，x1x20，x10，x20，|AM|BN|1e2x1x11e2x2x21e2x21e2x21ex2(0,1)，故|AM|BN|的取值范围是(0,1)四、解答题 17(本小题满分 10 分)记 Sn为公差不为零的等差数列an的前 n 项的和，若a3S5，a2a4S4.(1)求an的通项公式；(2)求使得 Snan的 n 的最小值 解(1)设等差数列an公差为 d，a12d5a15
7、512d，a1da13d4a14412d，由得 a12d0a12d，代入得(d)d8d6dd22d0，d0，d2，a14，an42(n1)2n6.(2)Sn4nnn122n25n，由 Snann25n2n6，n27n60，(n1)(n6)0，n6，故 n 的最小值为 7.18(本小题满分 12 分)在ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，若ba1，ca2，(1)若 2sin C3sin A，求ABC 的面积；(2)是否存在正整数 a，使得ABC 为钝角三角形？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由 解(1)2sin C3sin A2c3a，又ca2，a4c6，b5，cos
8、 C16253624518，sin C3 78，SABC12453 7815 74.(2)显然 cba，要使ABC 为钝角三角形，则只需 C 为钝角，cos Ca2a12a222aa10a22a30，0a3 且 aa1a2a1，1a3，aZ，a2，存在正整数 a2 满足题意 19(本小题满分 12 分)在四棱锥 Q-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，若 AD2，QDQA 5，QC3.(1)证明：平面 QAD平面 ABCD；(2)求二面角 B-QD-A 的余弦值 解(1)证明：取 AD 的中点 E，连接 QE，QDQA 5，QEAD AD2，DE1，QE512，CE2212 5，QE2CE
9、29QC2，QEC90，QECE，ADCEE，QE平面 ABCD，QE平面 QAD，平面 QAD平面 ABCD(2)法一：建系 取 BC 中点 F，连接 EF，如图分别以 EF，ED，EQ 所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 则 B(2，1,0)，Q(0,0,2)，D(0,1,0)，BQ(2,1,2)，QD(0,1，2)，设平面 BQD 的一个法向量 n1(x0，y0，z0)，n1BQ0n1QD0 2x0y02z00y02z00，n1(2,2,1)，而平面 QDA 的一个法向量 n2(1,0,0)，设二面角 B-QD-A 的平面角为，n1，n2所成角为，显然 为锐角，cos|cos
10、|n1n2|n1|n2|222221223.法二：几何法 由(1)知平面 QAD平面ABCD，又BAAD，BA平面ABCD，平面ABCD平面 QADAD，BA平面 QAD，过 A 作 AMQD 于点 M，连接 BM.则AMB即为所求二面角的平面角 而 SQAD122212 5AMAM45，BM416565，cosAMB456523.20(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的方程为：x2a2y2b21(ab0)，若右焦点为 F(2，0)，且离心率为63.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 M，N 是 C 上的两点，直线 MN 与曲线 x2y2b2(x0)相切，证明：M，N，F 三点共线的充要条
11、件是|MN|3.解(1)由题意知 c 2ca63a2b2c2 a 3b1，椭圆 C 的方程为：x23y21.(2)证明：若 M，N，F 三点共线时，设直线 MN 的方程为 xmy 2，圆心 O(0,0)到 MN 的距离 d2m211m21，联立 xmy 2x23y23(m23)y22 2my104y22 2my10，|MN|1m28m2164 2244 3，必要性成立下证充分性，当|MN|3时，设直线 MN 的方程为 xtym，此时圆心 O(0,0)到 MN 的距离 d|m|t211，m2t21，联立 xtymx23y23(t23)y22tmym230，4t2m24(t23)(m23)12(t
12、2m23)24，且|MN|1t224t23 3t21，m22，MN 与曲线 x2y2b2(x0)相切，m0，m 2，直线 MN 的方程为 xty 2恒过点 F(2，0)，M，N，F 三点共线，充分性得证，证毕 21(本小题满分 12 分)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 X 表示 1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(Xi)pi(i0,1,2,3)(1)已知 p0p1p2p3E(X)；(2)设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p
13、是关于 x 的方程：p0p1xp2x2p3x3x 的一个最小正实根，求证：当 E(X)1 时，p1，当 E(x)1 时，p1；(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义 解(1)E(X)0(2)法一：常规求导 p0p1xp2x2p3x3x0，x0，令 f(x)p0p1xp2x2p3x3x，f(x)p12p2x3p3x21，f(x)2p26p3x0，f(x)在(0，)上递增，当 E(X)p12p23p31 时，注意到 x(0,1时，f(x)f(1)p12p23p310，f(x)在(0,1上单调递减，注意到 f(1)0，x1，即 p1，当 E(X)p12p23p31 时，注意到 f(0)p110
14、，f(1)p12p23p310，存在唯一的 x0(0,1)使 f(x0)0，且当 0 xx0时，f(x)0，f(x)递减；当 x0 x1 时，f(x)0，f(x)递增，注意到 f(0)p00，f(1)0，f(x0)f(1)0.f(x)在(0，x0)上有一个零点 x1，另一个零点为 1，px11.法二：巧妙因式分解 由题意知 p0p1p2p31，E(X)p12p23p3，由 p0p1xp2x2p3x3xp0p2x2p3x3(1p1)x0，p0p2x2p3x3(p0p2p3)x0p0(1x)p2x(x1)p3x(x1)(x1)0，(x1)p3x2(p2p3)xp00，令 f(x)p3x2(p2p3
15、)xp0，f(x)的对称轴为 xp2p32p30，注意到 f(0)p00，f(1)2p3p2p0p12p23p31E(X)1，当 E(X)1，f(1)0，f(x)的正实根 x01，原方程的最小正实根 p1，当 E(X)1，f(1)0，f(x)的正实根 x01，原方程的最小正实根 px01.(3)当 1 个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于 1 时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝，当 1 个微生物个体繁殖下一代的期望大于 1 时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能 22(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)(x1)exax2b.(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)从下面两个条件
16、中选一个，证明：f(x)有一个零点 12ae22，b2a；0a12，b2a.解(1)f(x)xex2axx(ex2a)，当 a0 时，令 f(x)0 x0，且当 x0 时，f(x)0，f(x)递减；当 x0 时，f(x)0，f(x)递增 当 0a12时，令 f(x)0 x10，x2ln 2a0，且当 xln 2a 时，f(x)0，f(x)递增，当 ln 2ax0 时，f(x)0，f(x)递减；当 x0 时，f(x)0，f(x)递增 当 a12时，f(x)x(ex1)0，f(x)在 R 上递增；当 a12时，令 f(x)0 x10，x2ln 2a0，且当 x0 时，f(x)0，f(x)递增；当
17、0 xln 2a 时，f(x)0，f(x)递减，当 xln 2a 时，f(x)0，f(x)递增(2)证明：若选，则由(1)知 f(x)在(，0)上递增，(0，ln 2a)上递减，(ln 2a，)上递增，注意到 f baba1 eba0，f(0)b12a10，f(x)在ba，0 上有一个零点，f(ln 2a)(ln 2a1)2aaln22ab 2aln 2a2aaln22a2aaln 2a(2ln 2a)，而 a0,0ln 2a2，aln 2a(2ln 2a)0，f(ln 2a)0，当 x0 时，f(x)f(ln 2a)0，f(x)无零点，综上：f(x)在 R 上仅有一个零点 x0，且 x0ba
18、，0.若选，则由(1)知：f(x)在(，ln 2a)上递增，(ln 2a,0)上递减，(0，)上递增此时注意到 f(ln 2a)(ln 2a1)2aaln22ab2aln 2a2aaln22a2a aln 2a(2ln 2a)，而 a0，ln 2a0，aln 2a(2ln 2a)0，f(ln 2a)0，当 x0 时，f(x)f(ln 2a)0，f(x)无零点，当 x0 时，f(x)递增，注意到 f(0)b12a10，限制 x1，则 f(x)(x1)exax2b(x1)x2ax2|b|(x1)x2ax2|b|x2(x1a|b|)x2，令(x1a|b|)x20 x1a|b|，取 x01a|b|，则 f(1a|b|)0，f(x)在(0,1a|b|)上有一个零点 综上：f(x)在 R 上有一个零点 x0，且 x0(0,1a|b|)注释：对于选最后的取点思路(放缩取点)，限制 x1，exx2，f(x)(x1)exax2b(x1)x2ax2|b|(x1)x2ax2|b|x2，令 xa1|b|0 xa1|b|，取 xa1|b|即可使 f(a1|b|)0.