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1、待定系数法、换元法、转换法是运用函数与方程思想方法解题过程中的三大法宝待定系数法、换元法、转换法是运用函数与方程思想方法解题过程中的三大法宝在运用函数与方程思想解题的过程中,在确定函数、方程、不等式的参变数的值时需要运用待定系数法,而构造法又常常与待定系数法紧密相联,换元法往往可以使较为复杂的问题变为基本题型,许多数学问题就是在不断转换的过程中加以解决的.如函数问题可以转换为方程问题求解,方程问题可以转换为函数问题通过图像结合不等式知识求解,善于转换是数学核心素养的体现.典型例题典型例题1 1 设抛物线y=ax2+bx+c过点A 1,2和B-2,-1.(1)试用a表示b和c;(2)对于任意非零
2、实数a,抛物线都不过点P m,m2+1,试求m的值.12024高考数学专项练习2 2(1)已知数列 an中,a1=10,且an=15an-1+25n,求这个数列的通项公式;(2)已知数列 an中,a1=3,a2=5,an=an-2+4n-3 n3,求通项公式an.3 3设a为实数,函数 f x=a 1-x2+1+x+1-x 的最大值为g a.(1)设t=1+x+1-x,求t的取值范围,并把 f x表示为t的函数m t;(2)求g a;(3)试求满足g a=g1a的所有实数.24 4如图 3-3 所示,设直线 l 与椭圆x22+y2=1 相切,切点为 P,点 M 是坐标原点 O 在直线 l 上的
3、正投影,求 MP的最大值和最小值.3待定系数法、换元法、转换法是运用函数与方程思想方法解题过程中的待定系数法、换元法、转换法是运用函数与方程思想方法解题过程中的三大法宝三大法宝在运用函数与方程思想解题的过程中,在确定函数、方程、不等式的参变数的值时需要运用待定系数法,而构造法又常常与待定系数法紧密相联,换元法往往可以使较为复杂的问题变为基本题型,许多数学问题就是在不断转换的过程中加以解决的.如函数问题可以转换为方程问题求解,方程问题可以转换为函数问题通过图像结合不等式知识求解,善于转换是数学核心素养的体现.典型例题典型例题1 1设抛物线y=ax2+bx+c过点A 1,2和B-2,-1.(1)试
4、用a表示b和c;(2)对于任意非零实数a,抛物线都不过点P m,m2+1,试求m的值.【分析】对本题题意的理解是关键,什么是抛物线都不过某点呢?换一种说法是:将该点的坐标代入所给的抛物线方程,方程无实数解,所以本题体现了一种等价转换的思想以及待定系数法在研究函数与方程问题中的应用.【解析】1依题意,a+b+c=2,4a-2b+c=-1,解得b=1+a,c=1-2a.(2)y=ax2+1+ax+1-2a,将 m,m2+1代人,得am2+1+am+1-2a=m2+1,整理得m2+m-2a=m2-m.由题意,关于a的方程无非零实数解,由m2+m-2=0,m2-m0,得m=-2;由m2+m-20,m2
5、-m=0,得m=0.故所求的值为m=-2或m=0.2 2(1)已知数列 an中,a1=10,且an=15an-1+25n,求这个数列的通项公式;(2)已知数列 an中,a1=3,a2=5,an=an-2+4n-3 n3,求通项公式an.法构造新的特殊数列,从而使问题获解;第 2问,一般解法是设待定系数 A,即由 an+An2=an-2+An2+4n-3配方,得an+An2=an-2+A(n-2)2+4A+4n-4A-3,令4A+4=0,解得A=-1,从而构造等差数列.当然,如果直接对递推关系变形很难看出解题者的数学核心素养.【解析】(1)先对递推式进行变形,an5n=15an-15n+2.即a
6、n5n=3an-15n-1+2.设bn=an5nnN N*,则bn=3bn-1+2.(1)引人待定系数,使,满足bn-=bn-1-.展开得bn=bn-1-+.(2)对照(1)式和(2)式,可得方程组=3,-+=2,解得=3,=-1.即数列 bn+1是以b1+1=a15+1=3为首项,3为公比的等比数列,所以bn+1=33n-1=3n,bn=3n-1.于是,bn=an5n=3n-1,an=15n-5nnN N*.1(2)由条件可得an-n2=an-2-(n-2)2+1 n3.令bn=an-n2,则数列 bn可化为两类等差数列,其中b2n-1是以b1=a1-1=2为首项,d=1为公差;b2n是以b
7、2=a2-22=1为首项,d=1为公差.因此,b2n-1=2+n-1,b2n=1+n-1.所以a2n-1=(2n-1)2+n+1,a2n=(2n)2+n.故an=122n2+n+3(n为奇数)122n2+n(n为偶数)可简化为an=122n2+n+341+(-1)n+1.3 3设a为实数,函数 f x=a 1-x2+1+x+1-x 的最大值为g a.(1)设t=1+x+1-x,求t的取值范围,并把 f x表示为t的函数m t;(2)求g a;(3)试求满足g a=g1a的所有实数.【分析】本例是一道苐进式的综合题,主要考查函数、方程等基础知识,考查分类与整合以及函数与方程的思想方法和综合运用数
8、学知识分析问题、解决问题的能力,难度上循序渐进,第(1)问考查变量代换的技巧,难点在新变量范围的确定,可以有不同的方法求解;第(2)问是含参函数在区间上最大值的求法.分类与整合并结合函数单调性是解答的关键;第 3问实质是解方程,由于g a是分段的,对于方程g a=g1a解的讨论更要分类全面、环环相扣.正如罗素所言:“数学不仅拥有真理,而且还拥有至高的美一种冷峻而严肃的美,正像雕塑所具有的美一样”本题的解决过程不仅能显示解题者的数学功力,也展现了“一种冷峻而严肃的美”.【解析】(1)【解法一】(代数法)令t=1+x+1-x,要使t有意义,必须1+x0,1-x0,即-1x1.t2=2+2 1-x2
9、,x-1,1,t0(1)t的取值范围是2,2,由(1)式得1-x2=12t2-1,故m t=a12t2-1+t=12at2+t-a,t2,2.【解法二】(三角换元法)令x=sin2,-4,4.t=1+x+1-x=1+sin2+1-sin2=sin+cos+sin-cos=sin+cos-sin+cos=2cos,a 1-x2=a 1-sin22=acos2由于-4,4,所以cos22,1 ,即t2,2,f x=m t=acos2+t,又cos2=2cos2-1=2t24-1=t22-1故m t=a12t2-1+t=12at2+t-a,t2,2.(2)由题意知g a即为函数m t=12at2+t
10、-a,t2,2的最大值.注意到直线t=-1a是抛物线m t=12at2+t-a的对称轴,故分以下几种情况讨论.当a0时,函数y=m t,t2,2的图像是开口向上的一段抛物线,t=-1a0,知m t在22,2上单调递增,g a=m 2=a+2.当a=0时,m t=t,t2,2,g a=2.当a0时,函数y=m t,t2,2的图像是开口向下的一段抛物线.若t=-1a 0,2.即a-22,则g a=m2=2;若t=-1a2,2,即-22a-12,则g a=m-1a=-a-12a;若t=-1a 2,+,即-12a-12-a-12a-22a-122a-22(3)当a-12,此时g a=2,g1a=1a+
11、2.由2+1a=2,解得a=-1-22,与a-2矛盾.当-2a-2 时,-221a-12.此时g a=2 g1a=-1a-a2.2=-1a-a2,解得a=-2 与a-2 矛盾.当-2 a-22时,-2 1a-22,此时g a=2=g1a,所以-2 a-22当-22a-12时,-21a-22矛盾.当-12a0时,1a-12矛盾.(6)当a0时,1a0,此时g a=a+2,g1a=1a+2.由g a=g1a即得a+2=1a+2.解得a=1,由a0得a=1.综上可得,满足g a=g1a的所有实数a为-2 a-22或a=1.4 4如图 3-3 所示,设直线 l 与椭圆x22+y2=1 相切,切点为 P
12、,点 M 是坐标原点 O 在直线 l 上的正投影,求 MP的最大值和最小值.3【分析】本例的解答分3步:第一步,求出切线l的方程和直线OM的方程;第二步,求出点M的坐标用点P x0,y0的坐标表示,运用两点间距离公式求得|MP|2关于y20的函数关系式;第三步,进入求 MP最值的流程,然而函数解析式太复杂了,可通过换元法变为基本函数求最值问题,当然新元的取值范围一定要紧紧住!【解析】设P x0,y0,则-1y01,x20=2 1-y20(点P在椭圆上),切线l的方程为 x0 x+2y0y=2(已知切点求圆的切线方程),由OMl得直线OM的方程为2y0 x-x0y=0.联立两直线方程,求得点M
13、x,y的坐标为x=2x0 x20+4y20=2x02 1-y20+4y20=x01+y20 x20=2(1-y20)，y=4y0 x20+4y20=2y01+y20|MP|2=x-x02+y-y02=y201+y202x20y20+1-y202=y201-y201+y200y201设y20=t 0t1,则|MP|2=g t=t 1-t1+t=-t+2-21+t=3-t+1+2t+13-2 2(由基本不等式求得).当且仅当t+1=2t+1,即t=2-1时等号成立.02-11.函数g t在区间 0,1上有最大值3-2 2,最小值0.即 MP的最大值和最小值分别为 MP|max=3-2 2=2-1,MP|min=0.4