《2021年全国高考数学卫冕联考试卷（理科）（5月份）（全国Ⅰ卷）附答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年全国高考数学卫冕联考试卷（理科）（5月份）（全国Ⅰ卷）附答案解析.pdf（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年全国高考数学卫冕联考试卷（理科）（5 月份）（全 国 I卷）一、单 选 题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A=x E N*lnx 1,B=x E N*x 0,b 0）的左、右顶点为4,B,M 是C 上一点，A BM为等腰三角形，2 BM的面积为竽a 2,则双曲线的离心率为（）A.V 2 B.2 C.V 3 D.39 .在研究吸烟与患慢性支气管炎是否有关时，通过收集数据，整理、分析数据，得 出“吸烟与患慢性支气管炎有关”的结论，并且有9 9%以上的把握认为这个结论是正确的.则下列说法正确的是（）A.1 0 0 个吸烟者中至少有9 9 个患慢性支气管炎B.某个人吸烟，那么这
2、个人有9 9%的概率患有慢性支气管炎C.在1 0 0 个吸烟者中一定有患慢性支气管炎的人D.在1 0 0 个吸烟者中可能一个患慢性支气管炎的人都没有1 0,计 算 2 s讥2 75。1 的值等于（）A.；B.C.-叵 D.遗2 2 2 21 1 .己知函数f（x）=l og2（m不T +乃，则使得/。一 2）+/。+3）0 成立的工的取值范围是（）A.(-1,3)B.(l,3)u(3,+8)C.(-3,3)D.(-0 0,-1)U (3,4-0 0)1 2 .如图，正方体4 8。-4 1当。1。1中，E、F 分别是棱A B、B C 的中点，过点5,E,F 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个
3、部分的体积分别为匕，K2,记 玲，则%：V2=（）25,47二、单 空 题（本大题共4 小题，共 20.0分）%4 y 2 4 01 3 .己知x,y 满足约束条件%-2y-2 0 恒成立，则实数k 的取值范围为.2%y 4-2 01 4 .（1-x）（l +2 x）6 展开式中，尤3的系数为.1 5 .A A B C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b =2,B C =，贝 必A B C的面积为端 q1 6 .在平面直角坐标系x O y中，抛物线的准线方程为.三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)1 7.已知数列旧蹴的前腮项和为题，点猴里等在直线展=工富笄史上.数列也竟满足%公
4、 篝峪-掌。拈嵬=陋 解 史 感 於 且 戛=：U，前9项和为1 5 3。(1)求数列悔必上期娉 的通项公式；(2)设 =一；中，下，数列窗漫的前 和为般，求使不等式时冷言对一切制也卸都成:侬嚓-唯嘘魄-舟 嘴,立的最大正整数器 的值；设 防 瞬 叫 跳=撤 一 逆；鼬 ，问是否存在澳电弑，使得J 1擀 书 嗨=售 麹 礴 成 立？若存 胤敏；=怎鼠A e,需3在，求出喉的值；若不存在，请说明理由.1 8.如图，在直三棱柱A B C-A i B i G中，AAr=A C,且8 G l&C,点。是棱4 1 c l的中点.(1)求证：平面A B C J _平面4遇C C i；(2)在线段8B i上
5、是否存在点E,使D E平面A B C ，请说明理由.1 9.在电子仪器的测量中常常会混进噪声，下面是一批检波器测量噪声(噪声电平)的1 0 0个观测值，试作出这些数据的频率直方图，判断其是否服从正态分布，再估计噪声在区间-2.5 2 5 上的概率.0.1-1.01.9-0.10.00.31.20.0 0.40.11.50.31.0-1.30.51.2 3.4 3.0一 0.51.90.20.10.71.32.4一 0.50.5-3.50.40.72.0 0.4-1.3-1.9-0.5-1.5-0.1-1.10.00.2-2.30.50.7 2.1-0.6-0.42.41.51.60.6-0.1
6、0.5-0.11.12.5-2.6-0.31.2-0.8-2.40.71.20.50.0-0.5-0.3-1.80.2-1.9-0.8-0.4-1.12.9-1.10.40.0-0.4-0.31.7-1.5-1.01.10.0-1.10.91.7-0.32.10.70.7-0.62.32.0-1.11.21.00.1-0.5-0.3-0.220.已知圆G：(x+l)2+y2=8,点C2(l,0),点Q在圆G 上运动，QC2的垂直平分线交Q G 于点P.(/)求动点P的轨迹W的方程；()过点S(0,-$且斜率为k的动直线 交曲线W于4、B两点，在y轴上是否存在定点D,使以4B为直径的圆恒过这个点
7、？若存在，求出。的坐标;若不存在，说明理由.21.己知函数/()=m(y-klnx)+nex+1(ex+1-ax+a-1),其中e=2.718.是自然对数的底数，f(x)是函数/(x)的导数.(I)若6=1,n=0,6)当卜=1时，求曲线/(x)在x=l 处的切线方程.()当k 0时，判断函数f(x)在区间(1,逐 上零点的个数.(11)若 巾=0,n=1,当a=g时，求证：若的片2，且/+%2=-2,贝(+/(打)2.22.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线G 的极坐标方程为pcos(8-今=鱼，曲线C2的参数方程为卜=T +噜 皿 戊(其中a 为参数且
8、a e 0,2乃).41y=1+2sina(1)求曲线G 的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；(2)若点4 B分别在曲线G、C2,试求|AB|的最小值.2 3.设f(x)=|x+l|-|2 x-l|,(1)求不等式f(x)%+2的解集；(2)若不等式满足/(x)1|=x G N*x e,B=x e N*|x W 4=1,2,3,4,A C B=3,4.故选：C.分别求出集合4,B,由此能求出4 nB.本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2.答案：A解析：解：复数z满 足 当=l +i,z 2 _ 7 _ (l+2 i)(-i)_ 3+iz -i+
9、i-一 .Z=|+?在复平面内所对应的点(|,位于第一象限.故选：A.利用复数的运算法则和几何意义即可得出.本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题.3.答案：D解析：作图知，只 有 舞 1蒸=:短：.嬴 用 期,其 余 均 有 :蜀 七 倒,故 选。.【考点定位】考查向量的运算，重点考查思维能力，综合分析及应用能力，属偏难题。4.答 案:D解析：试题分析：因为丁的值恒大于零.所以A选项不正确.由域泊盘陨:1可得遍海？所以充分性成立.但是遍:*，：!不能推出胡净睦:1.所以必要性不成立.即B选项不正确.由除产-4 5 蝮可得X 2.又 有 盘 和.魂 可 得 x 0,1-%0,-1 x
10、0；又有偶次开方的被开方数非负且分式分母不为0,得到：1-x0,进而求出x 的取值范围.本题考查对数函数求定义域问题，注意对数函数的真数一定大于0,偶次开方的被开方数一定非负且分式中分母不为0.6 .答案：A解析：解：由ac o s B +b c o s/=a,结合正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=sinA,-s i n(B +4)=sinA,可 得:sinC=sinA,a=c,则4 A B C 的形状为等腰三角形.故选：A.由正弦定理把已知的等式化边为角，结合两角和的正弦化简，求出s i n C =s i n A,进一步求得a=c,即可得解.本题考查正弦定理的应用，考查了两角
11、和与差的三角函数，考查了转化思想，属于基础题.7 .答案：A解析：试题分析：正视图、侧视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，则该几何体可以是圆台，故选A.考点：1.空间几何的结构；2.三视图.8.答案：C解析：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的知识，求得M 的坐标是解题的关键.设M 在双曲线1 的右支上，由题意可得M 的坐标，代入双曲线方程可得&a =b,再由离心率公式即可得到所求值.2 2解：设M 在双曲线今 3=1的右支上，4 B M为等腰三角
12、形，a2 bzA B M 的面积为出*2 a x h =越 小，=h=a.32 3 3M B -AB=2 a,乙 M A B=0,并且=-x 2 a x 2 a x sin。，32可得s i n。=,cosd=I，3 3可得M的横坐标：a+：x 2 a=.则M的坐标为(|a,竽a),代入双曲线方程可得：丝 一 哗 =1,可得2 a2 =炉，即有e =亍=V 3.故选：C.9 .答 案:D解析：本题考查独立性检验的应用，是一个基础题，解题的关键是正确理解有多大把握认为这件事正确，实际上是对概率的理解.“吸烟与患慢性支气管炎有关”的结论，有9 9%以上的把握认为正确，表示有9 9%的把握认为这个结
13、论成立，与多少个人患慢性支气管炎没有关系，得到结论.解：.“吸烟与患慢性支气管炎有关”的结论，有9 9%以上的把握认为正确，表示有9 9%的把握认为这个结论成立，与多少个人患慢性支气管炎没有关系，只有。选项正确，故选D1 0 .答 案:D解析：解：2 s勿2 7 5 -1 =-(1 -2 s讥2 7 5。)=-c os l 5 0 =cos3 0 0 =苧，故选：D.利用二倍角的余弦公式，求得要求式子的值.本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题.1 1 .答案：D解析：解：函数f(X)=1 0 g 2 x2 +1 +X)的定义域为R,/(r)=l og2(V x2+l-x)=l og2
14、=l og2(V x2+1 +x)-1=所以函数f(x)为奇函数，当X 。时，由复合函数的单调性可知/(X)=l og 2 a。+1 +x)单调递增,所以f(x)在R单调递增，则/(x x2)+/(x+3)0 =f(x%2)/(x+3)=f(x x2)/(x 3)x%2%3,解得x 3.故选：D.求出函数的单调性与奇偶性，结合函数的性质去掉“f”得到关于x的不等式，解出即可.本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，判断出函数的奇偶性与单调性是解题的关键.12.答案：C解析：解：延长E F,交D C的延长线与点P,连接0止，交C G于点G,连接尸G；延长F E,交Z M的延长线与点0,连接久0,交
15、4 4 1于 点 连 接H E；所以过点D，E,F的截面为D i HE FG,如图所示：V1=D1DP-O D-2-A E H-OA=l-3 a-2 a-3 a-2-l-l-a -a =,所以另一部分几何体的体积为彩=8 a 3 卷=.3,所以匕：匕=称，故选：C.作出截面，分别求出两部分几何体的体积，再求体积比.本题考查了不规则几何体的体积计算问题，也考查了分析运算求解能力，是中档题.13.答案：fc6解析：本题考查了简单线性规划问题，正确画出平面区域，利用几何意义求出-2 x-y的最大值是关键，属于中档题.2 x+y+k N 0恒成立，即k N-2 x y的最大值，所以只要利用线性规划问题
16、，结合2 =-2一丫的几何意义求其最大值即可.解：由题意，不等式组对应的平面区域如图：i Sz=-2x-y,即y=-2 x-z,将图中虚线平移，当过4时，z最大，由；2二;得到处一2，-2)，所以z的最大值为一2 X (-2)-(-2)=6,2 x+y+k 0恒成立，即k 2%y的最大值，所以k N 6；故答案为：k 6.1 4.答案：1 0 0解析：解：(1 -%)(1 +2 x)6 =(1 -x).(1 +I2 x+6 0 x2+1 6 0%3+2 4 0%4+1 9 2 x5+6 4”)，故炉的系数为1 6 0 -6 0 =1 0 0,故答案为：1 0 0.把(1 +2 x)6展开按照二
17、项式展开，可得(1 -x)(l +2 x)6展开式中，3的系数.本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.1 5.答案：1 +1解析：由8=里，C=里，知4=些由正弦定理得.累.艇，解得c =2正所以三角形的面积为J b c s i nA=三x 2 x 2后s i n些.因为，喏3专噂=邛所以高b c s i n A =2XX.=有+1.1 6.答案：y =Ylo解析：解：由 抛 物 线 可 得p =4 o抛物线的准线方程为：y=-.lo故答案为：、=一白.1 6利用抛物线方程求出p,即可得到结果.本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力.1 7.答
18、案：解：（1）由题意，得 取=制带卫,即.同=工然 组制塞 篝 鲁.嘱 誓故 当 索 世 北 时,噬=为 一.一=兰/普 巴 哪 一 帖-城 学 翩-明 二 版 替 反3&3 I当班=1时，躅=.端=就 而当制=1时，呦+5 =6,所以，：%=蹴书可题图翻）又 蝠-饕U1什整=耽即 鼠-兔 洲=知 我 濠 纪谭）所以（/）为等差数列，于是题,逐 维=侬而a=11,%=恭，磁=笔因此，/=泡 那 取-第=斛 腭，即/=寮 皆 笈/:日 翳）|/孽%=-=-出 L 时 避 般|藤 柞 第 一 期 匾%1 缈 7_=_:_ I：也 一 顺 落 号 编:扑/,所以,和令吗4啥卜L=工料-。1=飨&tt
19、.r由于黑揽 鸳=-=-I ,闻“翻翻 1辂 f t在魏编始旗因此7n单调递增，故 螭 莪 始=1.5-令5 三 得 版 嶙 所 以 叫 叫=调人 心；怨 二 筮 7 用纪需X（i n）f w=-5 0当?n为奇数时，m+1 5为偶数.此时贾獭t机 嗨 二笑解书吗外怎=痴I A第 悟 舞 礴=箕瞬普常=痴 出 然,所 以 版H喷=痴|带 第 椰=ail,当m为偶数时，m+15为奇数.此时雷游标带1爆:=雨曷:退带售=做哥 WFM=飨 阳 外 啰=：B泌 ，所以微小鲍=屿倒#:1蝌嬲=?区舞“（舍去）.飞综上，存在唯一正整数瓶=1 1,使得.非沏普 域=5獭欧成立.解析：本题考查数列的通项与求和
20、，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键.考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想.属于难题.（1）当镰槎,翦 时，an=Sn Sra_j=n+5,当晚=1时，：%=其=嬴 所以，：%,=:：日甄%图篇又还 望 一 窝=l配 即 所 以（/）为等差数列，即可求解;（2）cn=-=-即可求解;，熊=箸 吸 一L球电勰.知=3 海,版 史 利,分m为奇数和偶数求解。18.答案：（1）证明：在直三棱柱A B C-公当0中，有Ap4=4C,.四边形4 C G&是正方形.&C J.4 G.（2分）又B J 1 ArC,ACr n BCi=Cx,4Q,B g u 平面ABC1.4iC 1 平面Z
21、 B G，（4分）又u 平面占ACC1，.平面力B q 1平面4CC 4.（6分）（2）当E为BBi的中点时，DE平面4 B G，（7分）证明如下：设4 C in Z iC =。，连DE,OD,0 B,贝lj0为41c的中点,：.0D=C,（8分）在直三棱柱A B C-&B iG中，E为BBi的中点:.BE=B BJ/=三C C,即0D=BE,（9分）四边形0DEB是平行四边形，且OBDE（10分）又 0E C平面A 8 G，0 8 u平面4 B G，O E 平面4 B G.（1 2 分）解析：（1）证明四边形4 C C 1 4 1 是正方形，推出为 C 1 4 cl.结合_L 4 C,证明4
22、 1 c l 平面4BG，然后证明平面A B C 1 1 平面A C G&.（2）当E 为的中点时，D E 平面A B C 1，证明如下：设4 1 c=。，连D E,OD,O B,贝|0 为4c的中点推出O O =?C C i，然后证明O D =B E,O B I/D E,即可证明D E 平面ZBG.本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力.1 9.答案：解：取组距为1,可得频率分布表：分组频数频率-3.5,-2.5)40.0 4-2.5,-1.5)60.0 6-1.5,-0.5)1 70.1 7-0,5,0,5)3 70.3 70.
23、5,1.5)2 10.2 11.5,2.5)1 30.1 32.5 3 5)20.0 2合计1 0 01频率分布直方图如图:频率037t：173642211oaoso.0.SO.Q1 2 3 4 5 6 7由图可知，近似服从正态分布.估计噪声在区间 一 2 5 2.5 上的概率为0.9 4.解析：列出频率分布表，画出频率分布直方图，由图判断近似服从正态分布，求出噪声在区间-2.5,2.5上的频率可得概率的估计值.本题考查频率分布直方图与正态分布，考查运算求解能力，是中档题.20.答案：解：(/)QC2的垂直平分线交QG于P,PQ=IPC2I，PC2+IP。/=|PQ|+PQ=|QG|=2V 2
24、 IC G =2,动点P的轨迹是点G，C2为焦点的椭圆，设这个椭圆的标准方程是W+1，a2 b2v 2a=2y12,2c=2,b2=1,.椭圆的标准方程是9 +y2=i；()直线，的方程为y=k x-l，联立直线和椭圆方程，(y=kx-得 I?,3 匕 +2=19(1+2k2)x2-12kx-16=0,由题意知，点5(0,-9 在直线上，动直线，交曲线W于4、B两点，设4Q1，%)B(x2,y2)Mll,4k16则X】+应=而 旃,2 =一 诉 丙,假设在y轴上存在定点。(0,m),使以AB为直径的圆恒过这个点，则 育=-m),DB=(%2，%m)，DA 丽=xtx2 (yi m)(y2 rr
25、i)=0,%=fc%i-1,y2=kx2-J,%1%2+(yi 一 )(y2-m)=xxx2+y/2 一 (7i+%)+m21 2 1=(1 +fc2)%iX2-+巾)(%1+%2)+62+孑巾+G16%2-1)1 4k 2 1=-9(2-+1)一 履 厂 一 3(2妙+1)一皿+”+_ 18(7n2-l)/c2+(9m2+6m-15)_ 09(2k2+l)一 m2 1 =0,9 m2+6 m 1 5 =0 m =1,所以，在y 轴上存在满足条件的定点。，点。的坐标为(0,l).解析：(/)由QQ的垂直平分线交Q6于P，知|P Q I =|P G I，动点P 的轨迹是点G，Q为焦点的椭圆，由此
26、能够求出椭圆的标准方程；y=kx-()直线/的方程为y =k x-,联立直线和椭圆方程，得1 ,3,整理得(1 +2 k 2)/i2 k x -E+V=i1 6 =0,设4(匕,乃)，8。2，、2)，则/+%2 =无 2 =假设在y 轴上存在定点。(0，m)，使以力B 为直径的圆恒过这个点，-DS =xrx2 (y i m)(y2 M)=0，由此能够求出。点坐标.本题考查圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线和圆的位置关系的合理运用.2 1 .答案：(I )解：(i )当m=1,n =0,/c =l 时，/(%)=y Inxj则f(1)=p r(x)=%-i,所以r(1)=0,故
27、切点坐标为(1 彳)，切线的斜率为0,故切线方程为y =P(it)由/(%)=y klnx(k 0)可得，/(%)=%=三广，令(%)=0,解得 =倔，当o%遮 时，r(x)迎 时，/(%)0,则f(%)单调递增,所以当X =伤 时，f(x)取得极小值即最小值/(4)=号 也，当0k e 时，/(x)在区间(0,迎)上单调递减，且又/=：0,/(病=?0,所以f(x)在区间(1,正 上仅有一个零点.综上所述，当0 /c 0,九=e C?_/+)令H(t)=et(|et-W)-et(et+(一61 7 1=5 (e+-e-t)-t(et+e-t)-(et-e-t)Z o o=5 +e-t)E(e
28、，-e-t)t+(e，e-t)(ef+e-c)-2 0,o z 1 O其中E(P e-t)-tz=i(ef+e-f)-1 0,因为“(0)=2,所以当t 0 时，H(t)2,故若4 H x2,且Xi+x2=-2,则f(%。+/(x2)2.解析：(i)a)求出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线的方程；求出广(无)，利 用导数的正负判断函数的单调性，求出极小值，分0 k e三种情况，利用零点的存在性定理讨论零点个数即可；(11)令+1=如 构造函数仅t)=e t g-gt+,H(t)=/i(t)+做一t),将问题转化为证明当t 0时，W(t)2,对H(t)求导，判断函数的单调
29、性，利用(0)=2,证明H(t)2,即可证明原不等式.本题考查了导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的极值与最值问题，利用导数证明不等式，利用导数研究不等式问题的策略为：通常构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值进行分析，属于难题.22.答案：解：(1).曲线G 的极坐标方程为pcos(。一=&,即pcosJ+psind=2,.(1 分)Ci的直角坐标方程为+y 2=0,.(3分)曲线C2的参数方程为卜=一:+噌 S a (其中a 为参数且a G 0,2兀).消去参数a 得C2的普通方程为(x+(y+I)2=2.(5分)(2)由(1)可得曲线C2是以(1,一1)为圆心，夜为半径的圆.
30、(6分)圆心到曲线Ci的距离d=，尸=2V2.(8分)ABm in=2V 2-V 2=V2.(10分)解析：(1)由曲线G 的极坐标方程转化为pcos8+psinJ=2,由此能求出G 的直角坐标方程；由曲线的参数方程消去参数能求出曲线C2的普通方程.(2)曲 线 是 以(一1,一1)为圆心，企 为半径的圆，圆心到曲线G 的距离d=2近，由此能求出|4B|的最小值.本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的最小值的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.23.答案：解：(1)根据题意可得，当久 一1时，不等式化为-x -l+2x l x +2,
31、解得 2 2,所以x 1；当一1 x :时，不等式化为x+l+2 x-l :时，不等式化为x+l-2 x +l ：；综上，不等式/(x)Wx+2的解集为R；(2)不等式/(x)|x|(|a+l|)等价于 I x+i|2 x-iiw|a+l|,x因为 11=111(2 0时取等号，因为空 号 二!3 佃+1,所以|a+l|N 3,解得a W-4 或QN2,实数a 的取值范围是Q 2.解析：(1)根据题意分段讨论去掉绝对值，求出不等式/(%)%+2的解集;(2)不 等 式 化 为 叫 产 S 佃+II，利用绝对值不等式求得左边最大值，x得关于a 的不等式，再求实数a 的取值范围.本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题.