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1、2021年超级全能生高考数学联考试卷（文科）（5月份）（甲卷）一、单 选 题（本大题共12小题，共60.0分）1.己知集合4=y|y=B=xx a,若则实数a的取值范围是()A.(-o o,-9 B.(-00,-9)C.(-o o,0 D.9,4-00)2.若复数z=(冷 为 虚数单位)，则|z|=()A.B.；C.1 D.88 43 .若从不包括大小王的5 2张扑克牌中随机抽取一张，取到红心的概率是%取到方片的概率是方则取到红色牌的概率为（）C 5A-；4.如图，六个边长为1的正方形排成一个大长方形，A B 是长方形的一条边,P i（i =1,2,.,10）是小正方形的其余各个顶点，则 荏.
2、彳耳（i =1,2，,10）的不同值的个数为（）A.10B.6C.4D.35 .已知等比数列 斯 的前n 项和Sn=a-2n-1+l（n e N*）,其中a是常数，贝 a=（）B.-1 C.1 D.26.阅读如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（）A.-B.-C.gD.-910877.直线 y+1=0 与圆2+(y+1)2=2的位置关系是（）A.相离B.相切c.相交D.不能确定8.已知函数/（%）在 工=1 处的导数为1,则.3 x()A.3B.一|c -j 3D.一|9.已知 CO S(7 T a)=，则 s i n g +2a)=()A-lcj -910.抛物线y2=12x上与焦点的距离
3、等于9 的点的坐标是（）A.（6,6或）或（6,-6&）B.（4,4遍）或（4,-4次）C.（3,6）或（3,-6）D.（9,6次）或（9,-6次）11.平行六面体4B C。-A i B i G O i 中，AB=4,AD =3,AAr=5,ABAD =9 0,Z.BAAr=Z.D AAr=60,贝 =（）A.8 5 B.腐 C.5 褥 D.5 012.已知&、尸 2为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，以P 为圆心，|P a|为半径的圆与以尸2为圆心，1l&B I 为半径的圆相切，则双曲线的离心率为（）A.V 3 B.2 C.3 D.4二、单 空 题（本大题共4小题，共20.（）
4、分）x 213.若、y满足约束条件y 214.函数f(x)=2%+%在 =1处 的 切 线 斜 率 为.15.12已知数列%为等差数列,凡为其前万项和，且町+与=2,则SJQ O=16.命 题“若因=1,则x=1”的 否 命 题 为 .三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.(本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东30相 距 表+0海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以2晚海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达。处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以3
5、 0海里/小时的速度沿着直线追击.(I)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里(n)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船18.2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有A,B两款车型，根据以这往这两种租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年67年8年总计A型出租车(辆)102045251008型出租车(辆)15354010100(1)填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关?使用秀命不高于6年使用寿不低于7年总计A型B型总计(2)司机师傅小李准备在一辆开了4年的4型车和一辆开了4年的B型
6、车中选择、为了尽最大可能实现3年内(含3年)不换车，试通过计算说明，他应如何选择.参考公式：K2=其中n=Q+b+c+d.参考数据:n(ad-bc)2(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)P g fc0)0.050.0100.0013.8416.63510.82819.如图，三棱柱中，_L侧面B B iG C,已知NBCG=BC=1,AB=Q C=2,点E是棱G C 的中点.(1)求证：B C 1 平面力B G；(2)求二面角4-BiE-4 的余弦值.20.己知椭圆G：5+=l(a b 0)过两点(一 2,0),(短 当，抛物线C2的顶点在原点，焦点在x轴上，准线方程为x=l.(1)求G、的
7、标准方程;(2)请问是否存在直线，满足条件：过C2的焦点F;与G 交于不同的两点M、N且满足直线0M与直线ON垂直？若存在，求出直线1的方程；若不存在，说明理由.2 1.证 明 函 数/=会在区间 1,+8)上是减函数.X=-+cosa,(a 为参数)，以原点。为极点，x轴y=+s 讥a的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)在极坐标系中，M,N是曲线C上的两点，若上MON 求|OM|+|ON|的最大值.工 R 4 卷2 3.设限*第S为非负实数，满 足 解 扑 感；=L 证明：-逆蓝.&：察胖普驾 H升密 3.参考答案及解析1 .答案：c解析：解：A n
8、 B =4 4 UB,又4=y|0 y a ,a 2 时，an=Sn-Sn_x=a-2n-2,是基础题.对于上式九=1 时也成立，,Q +1 =%c i 2 故选：A.首先求出。1 =。+1,然后当nN 2 时，求出an=Q 2。-2,即可求出答案.本题考查了等比数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力,6.答案：A解析：解：s =0,n =2,第一次循环，i =1 W 8,s =几=3,i=2；第二次循环，i =2 W 8,s =I，n =4,i =3；第三次循环，i =3 W 8,s =n =5,i =4；4属于基础题.第八次循环，i =8 W 8,s =n =9,i =9 8
9、,输出s =I，故选：A.由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答.7.答案：B解析：解：/+(y+i)2 =2,表示以(0,-1)为圆心，半径等于四的圆.圆心到直线x-y+l=0的距离为回某=V 2,V2故直线x -y +1 =0与圆/+(y +I)2=2相切，故选：B.根据圆的方程，先求出圆的圆心和半径，求出圆心到直线的距离，再和半径作比较，可得直线与圆的位置关系.本题主要考查求圆的标准方程的特征，直线和圆的位置关系，
10、点到直线的距离公式，属于中档题.8.答案：B解析：解：，0心 以3 23%2、所 1 7)_/(1+乃 2、，,“、2=(-56 T 0-L二X-=(-J /(1)=-O3故 选:B.先对学0金 空 史 R进行化简变形，转化成导数的定义式八 乃=Xof(x+彳7即可解得.本题主要考查了导数的定义，以及极限及其运算，属于基础题.9.答案：C解析：本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题.由题意利用诱导公式求得c o s a的值，再利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得要求式子的值.解：v COS(TT a)=cosa=cosa=1,则 s in g +2 a)=cos2 a=2 c
11、os2a l =2 x 1-1 =故选：c.10.答案：A解析：本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题.求出抛物线焦点为F(3,0),准线方程为x=-3.设 所 求 点 为 根 据 题 意 利 用 抛 物 线 的 定 义 建 立关于m的等式，解出m的值后利用抛物线的方程求出n的值，即可得到满足条件的点的坐标.解：.抛物线方程为y2=I2x,抛物线的焦点为尸(3,0),准线方程为久=一 3.设所求点为P(m,n),P到焦点F的距离为9,P到准线的距离为m+3,根据抛物线的定义，得m+3=9,解得zn=6,将点P(6,n)代入抛物线方程，得标=12 x 6=7 2,解得n=6近，工满足条件的点的坐
12、标为(6,6V2).故选A.11.答案：B连接A C,r AB=4,AD=3,Z.BAD=9 0,二 AC=5,根据cos/AAB=cosz.AAC-cos/CAB,即-=cosZJlZC 史AAAC=45则NCCA=135,而AC=5,44=5,根据余弦定理得AC，=廨S篝故答案为：B考点：空间中两点的距离点评：本题主要考查了体对角线的求解，以及余弦定理的应用，同时考查了空间想象能力，计算推理的能力，属于中档题.12.答案：B解析：解：由题意可得|仍&|一3|&2 1 =仍 尸2|，即|P BITP F1 I=C，再由双曲线的定义可得2 a =c,=2 =2,故选：B.由题意可得IIP&I
13、/&尸2|=|P F2|,再由双曲线的定义可得2 a =c,即可求出双曲线的离心率.本题考查双曲线的定义，以及双曲线的简单性质的应用，两圆相内切的性质，比较基础.1 3.答案：6x 2化目标函数z =x +2 y为，=：由图可知，当直线y =-|+：过点4(2,2)时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6.故答案为：6.由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.1 4.答案：3解析：解：/(x)=2+：,所以1(1)=2 +1 =3.故答案为：3.先对函数求导，然后将
14、x =l代入即可.本题考查导数的几何意义，切线斜率的求法.属于基础题.1 5.答案:1 0 0解析：解：由题意知：故答案是1 0 0.Sia=50（小+Q”）=50 x2=1001.2解析：解：有否命题的定义可知：命 题“若=1,则x =r的否命题为：“若|x|*1,则x 1故答案为：若|x|丰1,则X。1.直接通过否命题的定义，写出结果即可.本题考查否命题的写法，基本知识的考查.1 7.答案：解：如图，由题意知，在三角形BCD中，所以当走私船发现巡逻艇时，两船相距 海里;因为所以设 追击时间为3则所以即巡逻艇被骗东15。方向才能最快追上走私船.，叫30。,/斤 口=4 5。-3 0。=1 5
15、*=吧胃-=退 6,63 5.100X100X80X120所以有9 9%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关；(2)记 事 件4分别表示小李选择4型出租车和B型出租车时，3年内(含3年)换车，由表知P(4)=旦 +空 +”=0.7 5,0(4)=+=0.9 0,v 17 100 100 100 100 100 100因为P(4)(4)，所以小李应选择A 型出租车.解析：(1)根据题目所给的数据填写2 x2 列联表，计算K 的观测值K 2,对照题目中的表格，得出统计结论；(2)记 事 件 4 分别表示小李选择4 型出租车和B 型出租车时，3 年内(含3 年)换车，分别计算出P(Ai)和P
16、U2)的值，再比较即可.本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目.19.答案：（1）证明：在 B CG 中，4BC C i=g,BC=1，G C =2,由余弦定理可得BC：=B C2+C仃-2 BC C G co s g =l +4-2 xlx2 xi=3,2故 B C i=遮，所以 B C?+8 C/=C C f,故 B C l B C i，因为，侧面BB1GC,BC u 平面B B i G C,所以BC 1 AB,因为AB Ci BG=B,AB,BCr u 平面A B G，所以BC _ L平面ABC*(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系,则 4（0,0,0）
17、,当（一1,V 3,0）,E 片,0）,4（一 1,V 3,2）,则 福=（-1,但 一 2）,而=&苧,-2）,砧=（0,0,-2）,用=（|,一苧,-2）,L -TD n%+V3V ZZ=U设平面48%的一个法向量为五=(3,z),则有巴.磐=,即 1 百,5 4 E =0-x H-y 2z =0令 丫 =声，则 元设平面4 B 1 E 的一个法向量为道=(a,b,c),则 有 色.1=,g p(r2 C V 3 0,小(rn-A=0 a-b-2 c =0令匕=b，则记=(l,K,0)，所以|c o s(乱 沆|=器=条=等.所以二面角A -BE-&的余弦值为管.解析：利用余弦定理求出B
18、C】的值，由勾股定理证得B C _ L B C i，再由A B 1 侧面8 8 1 c l C,可得B C _ LA B,利用线面垂直的判定定理证明即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出所需向量的坐标，然后利用待定系数法求出两个平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可.本题考查了立体儿何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理的应用，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.2 0.答案：解：(1)把点(一2,0),(代，底)代入，+，=l(a b 0),得-十4-a22-a2=解得，:，椭圆G的标准方程为9+y2=
19、l.设抛物线C 2：y2=2 px(p 0),则有 =1,:.2 p=4,.,抛物线的标准方程为y 2 =4 x.(2)结论：存在直线I满足条件，且I的方程为：丫 =2 芯-2 或3/=2 乂 +2.理由如下：假设存在这样的直线，过抛物线焦点F(l,0)，由题知直线I不是水平线，设直线 的方程为x-l =m y,两交点坐标为M Q i，y i)，/V(x2,y2),则=瓷,AON=X1 x2%1 =m y注+y 2 =r 消去不 整理得：(m2+4)y2+2 m y-3 =0,判别式=1 6(m2+3),两根为九,2 =2潦；.2m 3/7x.,.乃+为=一 而，%=一 诉，x 2=(1 +m
20、 y J C l +m y2)=1 +m(y 1+y2)+瓶2%丫 2，2 m 3=1 +m (-5-)+m2-(-)m2+4，m2+4，=产，m2+4 J由直线0M与直线O N 垂直，即,kN=1，得x/2 +yyyi=0 (*)将代入(*)式，得4-4 m2 3 人-m-29-+-4-mG 2+4=U，解得z n =|,所以假设成立，即存在直线l满足条件，且/的方程为：y =2 x -2或y =-2 x+2.解析：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累.(1)通过将点(一2,0),(记 日)代 入 捻+5=l(a b 0),进而计算即得结论；%1 =m yx
21、2.2 3，7+y=i利用韦达定理及k M -k0 N=-1,计算即得结论.2 1.答案：证明：函 数/(%)=急，广 =当x e i,+8)时，/(x)w o恒成立，故函数/(乃=会在区间口,+8)上是减函数.解析：根据已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，并分析x e 1,+8)时，导函数的符号，进而可得结论.本题考查的知识点是导数法证明函数的单调性，熟练掌握导数符号与函数单调性的关系是解答的关键.(%=-4-cosa%(a为参数)，转换为直角坐标方程为(-尹+y =三 十 sina(y -y)2=1 x=pcosdy=psind,整理得p =cosO+y/3sin0,转换为极坐标方程为
22、P =2 sin(B+,%2 4-y2=p2(2)设N(p 2，e+,所以|M M|=p i+p 2 =2 sin(e+，)+2 sin(6+g +=2 sin(0+)+2 cos9=H s in O 4-3cos6=2 倔 in(6 +当s in(e+”=l时,(|OM|+ON)m a x=2 y/3-解析：（1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果.本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能
23、力和转换能力及思维能力，属于基础题型.23.答案：不等式的证明一般可以考虑运用作差法或者是利用分析法来证明。解析：试题分析：为使所证式有意义，“蹋智三数中至多有一个为0；据对称性，不妨设济遑龄包父里以则需特丹岁热用”,s 鼠 解 W 3 1 ；就、当窸=犀时，条件式成为/在室“工，匕/*：3，而只要证券逆即 b一号需一考点空顾 也即 一 零”（蜘？一闻寓小曲逑也此为显然；取等号当且仅当岚=裁=岫.瞥I再证，对所有满足猫d,孵 出 城=4 的非负实数%解V,皆有a 8二 一 普 匚 一 一 工 逆 三.显 然，三数纵舞，号中至多有一个为0,据对称性，富 年?，胪科雪鹫升蔚 仍设常地龄野H野敬，贝
24、|J雷部吸肥新喝？世毗棚直R,令需=&礴离承=忠减:潴，凰璘为锐角，以掩1 哥 且由流巡察望M世枷知，姆毗就逆,溜逆出:露逆则；于是盘三激-,据Nt谓知，*解 察 什 驾 驾 打 冢 ,河鼻阳可超演 微微 即-哥-t t-受-tt-雷 书 察 朋 书 家 智 察 瑞 既 名 看 年 H.(J),f i t 1 q f 2 i i 、即要证i上一4 UH#-他网k声带般 出j 1承器N X哥犷 盘 带A 先证需尢岁蚓鼬 ，即证蟒眦带瘴磷溜空甥隐磁二 ,塞噌 油 署建即-TT此即遥班十土上 逆端1 盘 运 廨，也即端血,施 或 虚 曲1T瘟朴谭 w1 1-sw i iV 4不搬2,宜飙,念输,，V
25、 即 w O,-瓣M 3,此为显然.鲁 氟箍带我氟诲引喻由于在盛意缪遵中，/#%政=工，则=憎 吊=守“产;而在您圆雕?中,行X 蟒署理 :U&1 Z 需转解普富 K黑解转坛 出=,.“；*=，因此式成为，购 TM 智普父 Q展年郢RMS神正需年解 一 兽 碗/R 、-巨-；-s 世塔，只要证,-盛5-W 避?外 黛 购,普 舰，即 证巡1“a标理N 小城，注意式以及A_点才，只 要 证 喈 打d 二L|,k燃即1 5/迪:H靖,也 即产 徽 柒 一 加1 4里曦 C3 1由于最大角C?满足：魏瞰士公直您哽，而出=：E J瞰七上一=慨吸，则令:三畲三4,所以罢 翦 心T /I I ;整 在 一 嚼 起，第一-4：=工，故成立，因此得证，由及得成立，从而成立,&*现 S ;i即 到 鼻 解 W遭典：然 同,因此本题得证.考点：不等式的证明点评：主要是考查了不等式的证明，方法比较多，一般是分析法和作差法构造函数法，属于难度题。