《2021年全国中考数学真题分类汇编：几何最值（含解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年全国中考数学真题分类汇编：几何最值（含解析）.pdf（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、一、选择题11.（2021绥化）己知在RtAACB中，ZC=90,NABC=75。，A B=5,点E为边AC上的动点，点尸为边4 8上的动点，则线段F E+E 8的最小值是（）A.B.-C.#D.百2 211.B解析：如图，作点尸关于A C的对称点F,延长4/、8 c交于点片，9=30,EF=EF.：.F E+E B=B E+E F,；.当B、E、/三点共线且与48,垂直时，线段尸E+E B的值最小，即作 8OJ_A夕于 D.在AB 中，BD=-A B=-.2 212.（2021 贵港）如图，在AABC中，ZABC=90,45=8,BC=2,。为AC边上的一个动点，连接BD,E为50上的一个动
2、点，连接AE,C E,当Z48D=N3C E时，线段A E的最小值是（）B 解析】如图，取BC的中点T,连接AT,E T.;ZABD=ZBCE,:.NCBD+ZBCE=90。,.=90。.，；CT=TB=6,:.ET=-B C =6,AT=J AB+BT=J g+62=10.2-.AE.AT-ET,:.A E.A,.4E 的最小值为 4.12.（2021 自贡）如图，直线y=-2x+2与坐标轴交于4、8两点，点P是线段A B上的一个动点，过点P作），轴的平行线交直线y=-x+3于点Q,AOPQ绕点O顺时针旋转4 5 ,边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（）AA.-27 C DB.-17
3、C cC.-11 Tt D八.-217t3 2 16 32A【解析】设 尸(m,-2/n+2),则。(如-m+3).OP2=m2+(-2m+2)2=5m2-8m+4,OQ2=m2+(-zn+3)2=2m2-6/w+9.*/OP。绕点O 顺时针旋转45.S g XOBC.乙QOC=4POB=450.PQ 扫过区域（阴影部分）面积 S=S 应 OQC-S a OPR=-X n-O Q2-x n-O P2（-3 m2+2m+5）=360 360 o号（时y+g,当?=我寸，S 的最大值为：y.10.（2021广元）如图，在ABC中，ZACB=90,A C=8 C=4,点。是 BC边的中点，点 P 是
4、 AC边上一个动点，连接P O,以 PO 为边在PO 的下方作等边三角形P O Q,连接C。.则 CQ 的最小值是（）V3厂3A.B.1 C.V2 D.一2 2B【解析】如图在C。的下方作等边C C T,作射线T0.V ZCDT=ZQDP=60,DP=DQ,DC=DT,：.ZCDP=ZQDT,DP=DQ在 8。和7。中，zCDP=.TDQ,DC=DT.CDP丝:TOQ(S A S),，/O C P=/Q T Q=90,.ZCTO=60,.,./CTQ=30,二点。在射线 TQ 上运动，111当 CQ_LTQ时，CQ 的值最小，最小值=CTsin30=其丁=Q=；BC=1.L L8.（2 0 2
5、 1连云港）如图，正方形A BC。内接于。O,线段MN在对角线3。上运动，若。的面积为2兀，MN=1,则 A M N周长的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6B【解析】。的面积为2兀，则圆的半径为VL则8）=2夜=4（7,由正方形的性质，知点C是点A关于B D的对称点，过点C作CA/BD,且使CA=1,连接A 4交8。于点N,取N M=1,连接4 M、C M,则点M、N为所求点,则 4N=CM=AM,故A M N 的周长=A M+A N+M N=A A，+1 为最小,则4 4=J（2 V 2）2+I2=3,则 4 M N的周长的最小值为3+1 =4,故选：B.8.（2 0 2 1枣庄）如
6、图，四边形A B C O是菱形，对角线A C,相交于点。，A C =6 6，3 0 =6,点尸是A C上一动点，点E是A8的中点，则PD+PE的最小值为（）.四边形ABC。是菱形，对角线AC,6 0相交于点。，AC=6 6，BD=6,AO=-A C 343,B0=3BD=3,ACLBD,ABAO2+BO2 3 4 3)2+32=6,AB=AO=BO,即AABC是等边三角形,又.点E是AB的中点，二。石_LA8*/SfAx lRjKC Lnf =2 ACx BD-ABx DE,/.x 6A/3 x 6=6 x DE,2DE=3上 DP+PEDE:.尸D+P E最小值为O E的长度.即尸+产石最小
7、值为3J5.10.（2021.鄂州）如图，RtAABC 中，NAC8=90。，AC=26，BC=3.点尸为 AABC 内一点，且满足 44?+PC?=AC2.当尸3的长度最小时，AACP的面积是（）D 解析 由丛2+尸。2 =AC2,根据勾股定理的逆定理得/AP C=9 0 ,则根据圆周角定理可判断点P在以AC为直径的圆上，如图，取AC的中点。，点P为BO于。的交点时，PB最小，O C=G，BC=3,.，.ZBOC=60o/.PC=百，AP=3,AACP的面积为，X3X6=I.2 2二、填空题17.（2021 广东）在AABC 中，NABC=90,AB=2,B C=3.点。为平面上一个动点，Z
8、ADB=45,则线段CD长 度 的 最 小 值 为.有 一 迎 解析 如图所示./4。8=45,4 8=2,作A8O的外接圆O,连接O C,当O,D,C三点共线时，CD的值最小./AO8=45，,NAOB=90,.AO3为等腰直角三角形，AO=3O=sin45 XAB=y/2.V ZOBA=45,ZABC=90,：.ZOBE=45,作OE_LBC于点E,.OBE为等腰直角三角形.，OE=BE=sin45OB=1,：.CE=BC-BE=3-1=2,在Rt4OCC中，0C=VOf2+CE2=V1T4=V 5.当0,D,C三点共线时，CD最小为CO=OC-OD=V 5-V 2.,因此本题答案为V5-
9、V2.2 4.（2 0 2 1 凉山州）如图，等边三角形A B C 的边长为4,OC的半径为百，尸为AB 边上一动点，过点尸作OC的切线P Q,切点为。，则 P。的 最 小 值 为.3【解析】连接C P、CQ,作C H L A B于H,：等边三角形A B C 的边长为4,:.A B=C B=4/B C H=|N A C B=|x6 0=3 0,B H=-AB=4,CH=BC=x4=2y/3,2 2 2P Q 为0C 的切线，.-.CQ1PQ,在 R tz C P Q 中，P Q=J#_ CQ2=W P 2-3,丁点P是 A8边上一动点，当点P运动到H点时，C P最小，即C P的最小值为2 国,
10、P Q的最小值为=3.1 8.（2 0 2 1 铜仁）如图，E,尸分别是正方形A8CO的边43，8c 上的动点，满足连接C E,D F，若正方形的边长为2,则线段AG的最小值为V 5-1 解析 由题意知，C D=C B,Z D C E=Z C BF=9 0 ,V A E=BF,.C F=BE,：.Rt/DCF=RtCBEdSAS,：.Z C D F=Z BC E,V Z D C G+Z BC E=9 0 ,Z C D F+Z D C G=9 0 ,，N D G C=9 0，点 E、F 在运动的过程中，N D G C=9 0 ,因此点 G运动的路线在以D C 为直径的圆上,如图所示，当点A、C、
11、。在一条直线上时，A G 最短，此 时 A C=A 0 T,由勾股定理得 MAD2+DO2=V 4 T I =V s,z.AG=VS-1.1 3.（2 0 2 1 陕西）如图，正方形A BC。的边长为4,。的半径为1.若。0在正方形A B C D 内平移（。0可以与该正方形的边相切），则点A到。上的点的距离的最大值为_ 3 V 2+1 _.3V2+1【解析】当。与C8、CO相切时，点A到O O上的点。的距离最大，如图，过。点作O E L 8 c于E,OFVCDF,；.O E=O F=1,；.O C平分/BCD,:四边形4 8c。为正方形，点。在AC上，,:AC=0BC=4近,OC=2OE=V2
12、,.Q=O A+O Q=4&+1 =3 a+1,即点A到O O上的点的距离的最大值为3V2+1.A F交于点尸，连接C P,则C P的最小值为2百【解析】.ABC 是等边三角形，：.AB=AC=BC,ZCAH=ZACB=60,(AB=AC/ABE aAC F,NBAC=/ACB,：.ABE/ACF(SAS),A ZABE=ZCAF,AE=CF：.ZBPF=ZRB+ZABP=ZCAP+ZBAP=60,：.ZAPB=120.如图，过点A,点P,点8作。O,连接CO,P O,二点P在布上运动，9：AO=OP=OB,：.ZO AP=ZO PAf/O PB=NO BP,ZO AB=ZO BAtNAO8=
13、360-ZOAP-ZOPA-ZOPB-ZOBP=2O0,：.ZOAB=30,A ZCAO=90,：AC=BC,04=0 2,，C0 垂直平分 AB,A ZACO=30,；.cos/A C O=告=坐，CO=2AO,；.C 0=4疗.M 0=2 次.在CP。中，C P C O-O P,；.当点P 在 CO上时，C P有最小值，的最小值=4 6 一 2次=2V118.（2021 威海）如图，在正方形ABC。中，AB=2,E为边A B上一点,F为边BC上一点.连接Q E和 A F交于点G,连接B G.若 4E=B凡 则 8 G 的最小值为.解析 山已知条件正方形A8C。和AE=8/可以证明从而可以得
14、出N4GO=90,由于90的圆周角所对的弦是直径，所以点G 的运动轨迹是在以AO为直径的圆上.如图所示，由于直径是最大的弦，所以当点G 运动到O G 8 三点共线的时候，8 G 的值最小，RtZCMB中，可以求出0 8=石，由于圆的半径为1,所以可以得出8 G 的最小值为行-1.16.（2021十堰）如图，在 RtZXABC 中，ZACB=90,AC=8,BC=f,点 P 是平面内一个动点，且 AP=3,Q为 B P的中点，在 P 点运动过程中，设线段C。的长度为?，则，的取值范围是7 173 金，理工【解析】如图，取 A 8的中点M,连接。M,CM.在 RtZABC 中，ZACB=90,AC
15、=8,BC=6,.*.AB=10.1.点 例是 A8 的中点，：.A M=B M=C M=今 48=5.;点。是 P 8 的中点，点 M 是 4 8 的中点，是APB的中位线，.Q M=yP=*.7 1-2在CMQ 中，C M -M Q C Q C M+M Q,：.-点C,点 M 是定点，点。是动点，且点。以点“为圆心，QM长为半径的圆上运动,7当点C,M,。三点共线，且点0 在线段CM上时，加取得最小值3，13当点C,M,。三点共线，且点。在射线CM上时，加取得最大值万，7 17综上，m 的取值范围为：-m=8,C M=8 -2=6,8cM=90,B M=V62+82=10,C.DN+MN
16、的最小值是 10.17.(2021.聊城)如图，在直角坐标系中，矩 形 0A8C的顶点O 在坐标原点，顶点4,C 分别在x 轴，y 轴上，B,。两点坐标分别为8(-4,6),D(0,4),线 段 所 在 边 OA上移动，保持E F=3,当四边形8DEF的周长最小时，点E的坐标为.答案 (-0.4,0)解析 如图所示，(0,4),.)点关于x 轴的对称点坐标为/(0,-4),；.：)=：”,将 点，向左平移3 个单位，得到点 G(-3,-4),:.EF=HG,E F/H G,二四边形 EFGH 是平行四边形，:.EH=FG,：.FG=ED,：B(-4,6),BD=J(_ 4 一(J,+(6 4)
17、2=26,又；EF=3,：.四边形 BDEF 的周 B D+D E+E F+B F 2石+FG+3+8F,要使四边形8DE厂的周长最小，则应使尸G+BF的值最小，而当尸、G、8 三点共线时FG+B尸的值最小，设直线8G 的解析式为：y=kx+b(kO)：B（-4,6）,G（-3,-4）,-4k+b=6 卜=一10-3k+b=-4,/?=-34y 1 Ox 34,当）=0时，x=3.4，.尸（一 3.4,0）,.（4.4,0）.16.(2021 鄂州)如图，四边形 A B O C 中，AC=3 C,NAC8=90,ADJ_B。于点。.若4D =2,C D =4叵,则线段A B的长为.2726 解
18、析 过 C 作 CE_LCD,再截取 CE=C D,连接 DE,A ZCDE=ZCED=45.VAD1BD,.*.ZADB=ZACB=90,:.A、C、D、B 四点在同一个圆上，/.ZADC=ZABC.V A C=B C,，/CAB=NABC=45,ZADC=ZABC=45,/.ZADB+ZADC+ZCDE=90+45+45=180,B、D、E 三点在同直线上.V ZDCE=ZACB=90,A ZBCE=ZACD.VBC=AC,CE=CD,/.BCEAACD,/.BE=AD.VCD=4/2,；.D E=8,，BE=10,.AD=10,AB=A D2+BD2=V102+22=V104=2V26.
19、15.（2021 呼和浩特）已知菱形ABCD的面积为2旧，点 E 是一边BC上的中点，点尸是对角线BO上的动点.连接 A E,若 AE平分则线段P E 与 PC 的和的最小值为,最大值为.15.V3；2+V 7 解析：由点E 是一边8 C 上的中点及4 E 平分N 8 A C,可得ABC是等边三角形，根据菱形A8CD的面积为2 b，可得菱形的边长为2；求 PE+PC的最小值，点 E 和点C 是定点，点 P 是线段80 上动点，由轴对称最值问题，可求出最小值；求和的最大值，观察图形可知，当尸E 和 P C 的长度最大时，和最大，即 点?和 点。重合时，PE+PC的值最大.解：根据图形可画出图形，
20、如图所示，过点8 作 BFAC交 AE的延长线于点凡：.Z F Z C A E,/EBF=NACE.点 E 是 BC 的中点，ACEg4FBE(AAS),：.BF=AC.平分/8A C,:.NBAE=NCAE,：.ZBAE=ZF,：.AB=fiF=AC.在菱形 A8C）中，AB=BC,：.A B=B C=A C,即ABC 是等边三角形，：.ZABC=60.设则8。=岛,.,.菱形 A BCD 的面积=AC-BD=2y/3,B|j 1 -a-=2 V 3,：.a=2,即 A B=B C=C D=2；四边形A B C D是菱形，点A和点C关于B D对称，.PE+PC=AP+EP,当点A,P,E三点
21、共线时，A P+E P的和最小，此时点尸和点。重合时，P E+P C的值最大，此时P C=OC=2,过点。作。G L B C交B C的延长线于点G,连接OE,JAB/CD,N 4 8 C=6 0 ,：.ZDCG=60 ,C G=1,D G=V 3,：.EG=2,:.DE=V E G2+D G2V 7,此时 P E+P C=2+V 7,即线段P E与P C的和的最小值为百；最大值为2+V 7.三、解答题2 5.(2 0 2 1遂宁)如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B (-3,0)两点，与y轴交于C(0,-3),对称轴为直线x=-l,直线y=-2 r+m经过点A,且与y轴交于点O,与抛物线交
22、于点E,与对称轴交于点F.(1 )求抛物线的解析式和m的值；(2)在y轴上是否存在点P,使得以。、E、P为顶点的三角形与 4 OD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；(3)直线y=l上有M、N两 点(M在N的左侧)，且M N=2,若将线段MN在直线y=1上平移，当它移动到某一位置时，四边形M E F N的周长会达到最小，请求出周长的最小值(结果保留根号).解：(1).抛物线的对称轴x=-1,与x轴的交点为4,8(-3,0),.1.A (1,0),.,可以假设抛物线的解析式为y=“(x+3)(x-1),把 C (0,-3)代入得到，a=l,.抛物线的解析式为)，=/+2 x -3
23、.,直线 y=-2 x+，经过点 A (1,0),0=-2+m,.m=2.(2)如 图 1 中，.直线A 尸的解析式为y=-2 x+2 交)，轴于/),与抛物线交于点E,二。(0,2),峭比23,解嘱加点A,喉卷(-5,1 2),过点E作 E P l y 轴于P.AEPD=AOD=90,A E D P=A O D A,；.EDPs A ADO,-.p(o,1 2).过点E作E P U D E 交 y轴于P,同法可证，APDES4ADO,：.LP=/LDAO,：.t a n ZP,=t a n ZD A O,PP OA.-2.5,：.P(0,1 4.5),pp i综上所述，满足条件的点P的坐标为
24、(0,1 2)或(0,1 4.5).(3)V E,尸为定点，.,线段E 尸的长为定值，当E M+F N的和最小时，四边形M E F N的周长最小，如图2中，画出直线y=l,将点尸向左平移2个单位得到广，作点E关于直线y=1 的对称点E,连接E尸与直线y=1 交于点M,过 点 尸 作 交 直 线 y=1 于点N,由作图可知，EM=EM,FN=FM,：E,M,产三点共线,E M+F N=E M+F M=E F,此时 E M+FN 的值最小,；点、F为直线y=-2x+2与 x=-1 的交点，F (-1,4),：.F(-3,4),：E(-5,1 2),：.E(-5,-1 0),如图，延长尸尸交线段EE
25、于卬，,尸尸直线y=I,FWLEE,在 R t A l V F 中，EF=JEW2+F W2=7(1 2 -4)2+(-1 +5)2=4 通,在 RtZXEk W 中，EF=y/EW2+FW2=7(4+10)2 4-(-3+5)2=105/2,四边形M E F N的周长的最小值二加七+尸可+七尸+何%二月产+后尸+出=10V2+4V5+2.18.（2021眉山）如图，在菱形ABC。中，A B=A C=0,对角线AC、8。相交于点。，点 M 在线段AC上，且A M=3,点 P 为线段8。上的一个动点，则的最小值是亭【解析】如图，过点P 作 PE1B C 于 E,.,四边形A3CO是菱形，AB=4
26、C=10,.AB=BC=AC=0,A A B D=LCBD,.AAfiC是等边三角形，.L A B C=LACB=60,：.LCBD=30,.PEIBC,.-.PE=PB,.-.MP+-PB=PM+PE,2 当点M,点 P,点 E 共线且M ELBC时，PM+PE有最小值为ME,AM=3,.MC=7,./ME V3,/snZ-ACB=一,MC 2M E=当，.M P+P B的最小值为苧.26.（2021 陕西）问题提出（1）如 图 1,在。A8CD中，NA=45,AB=8,AD=6,E 是 4。的中点，点尸在。C 上，且。产=5,求四边形ABFE的面积.（结果保留根号）问题解决（2）某市进行河
27、滩治理，优化美化人居生态环境.如图2 所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园A B C D E.按设计要求，要在五边形河畔公园A B C D E内挖一个四边形人工湖O P M N,使点0、P、M、N 分别在边BC、C D、AE.AB上，且满足BO=2AN=2CP,A M=O C.已知五边形ABCQE中，Z A =Z B=ZC=90,AB=800m,B C=1200m,C D=600m,A E=900w.为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小.请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN?若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N 到点A
28、 的距离；若不存在，请说明理由.解：(1)如 图 1,过点A 作 AH_LC交 CZ)的延长线于H,./4=9 0 .四边形 4 8 c0 是平行四边形，；.CO=A 8=8,AB/CD,：.ZAD H ZBAD=45.在 中，AD=6,.*.A”=ADsinA=6Xsin45=372.点E 是 A。的中点，.,.D E=%=3,同理EG=挈.,:DF=5,.,.FC=CD-DF=3,S naimAliFE-SABCD-S&DEF-SABFC=8X3/1-&X 5X|X3X3V2=6 3 m.(2)存在，如图2,分别延长4后与8,交于点K,则四边形A8CK是矩形,，AK=BC=1200 米，A
29、8=CK=800 米，设 4N=x 米，贝 iJPC=x 米，BO=2x 米，BN=(8 0 0-%)米，AM=OC=(1 2 0 0-2 x)米,：.M K=AK-AM=200-(1200-2x)=2x 米，PK=CK-CP=(800-x)米，；S 四 边 形 OPMN=S 矩形 ABCK-SAMN-SBON-SOCP-SPKM=800X 1200-j.v(1200-2x)-|2 x (800-x)-1 v (1200-2%)-i 2 r(800-x)=4(x-350)2+47000(),，当 x=350 时，S 四 边 形 oPAWAH,Md?。(平方米)，AM=1200-2x=1200-
30、2X350=500900,CP=x=350600,符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为47000平方米，此时，点 N 到点A 的距离为350米.图225.(2021 天津25题)已 知 抛 物 线-2ox+c(c 为常数，W 0)经过点C(0,-1),顶点为D(I)当 4=1 时，求该抛物线的顶点坐标；(II)当。0 时，点 E(0,1+a),若DE=2五D C,求该抛物线的解析式；(I l l)当 故点 0(1,-a 1 )由 D E=2 位 D C 得：D 产=8CD2,B|J (1 -0)2+(a+1+a+l)2=8 (1-0)2+(-o-1 +1)2,1 3 1 c 2 r解得a
31、=2或3，故抛物线的表达式为y=/2-x -I或y=彳*-3x -1 ；(III)将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D(-2,-),理由：F M+ND=F M+D1 M=F D 为最小，即尸D=271 0,则。F=7(-2-0)2+(-a -2+I)2=271 0,解得。=(舍去)或一段5 7则点。、尸 的坐标分别为(-2,-)、(0,一分，2 2由点O、F 的坐标得，直线O F 的表达式为y=-3 x-g7 7 11当 y=0 时，y=-3x =0,解得 x=一5=?，贝 U 优+3=%-,71 1即点M的坐标为(一不0),点N的坐标为(Z，一1).25.(20 21广元)如 图
32、1,在 A B C中，ZACB=90,A C=B C 点。是A 3边上一点(含端点A、B),过点3作5 E垂直于射线C。，垂足为E,点尸在射线C。上，且 E F=B E,连接A R BF.(1)求证：A A B F A C B E；APM（3）:M N=&P M,N P M N=135 ,P M=EC,.当E C的值最大时，P M的值最大，此时 PMN的面积最大,.当点E与B重合时，E C的值最大，E C的最大值为企,此时 M N=&P M=,；./P M N的面积的最大值为g x x 1 x孝=24.（20 21鄂州）如图，直线y =-3 x +6与X轴交于点8,与y轴交于点A,点尸为线段A
33、8的中点，点。是线段。4上一动点（不与点。、A重合）.（1）请直接写出点A、点6、点户的坐标;（2）连接P Q,在第一象限内将A O P Q沿P Q翻折得到A E P Q,点。的对应点为点E.若N O Q E =9 0,求线段AQ的长；（3）在（2）的条件下，设抛物线 =办2-242X+0 3+。+1（。#0）的顶点为点若点C在A P Q E内 部（不包括边），求。的取值范围；在平面直角坐标系内是否存在点C,使|CQ-CE|最大？若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）A（0,6）,8（4,0）,P（2,3）（2）过点尸作于F,:ZOQE=90 ZOQP=|ZOQC=45/.QF=PF;点 尸(2,3)QF=PF=2,OF=3,：.OQ=5f.点 A(0,6)A AO=6,AQ=6-5=1 即 AQ 的长为 1.(3)y=a(%2 lax+2)+a+1 =a(x a)+a+l其顶点。的坐标为(a,a+l).点C是直线y=x+l(xw 0)上一点.V ZO2=9(),OQ=5.当 y=5 时，x=4又点P(2,3)在直线y=x+1上，二当点C在APQE内 部（不含边）时，a的取值范围是2 a 4.存在点C使|C0 C国 最大.其坐标为