《2021年全国中考数学真题分类汇编：矩形、菱形与正方形(含解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年全国中考数学真题分类汇编：矩形、菱形与正方形(含解析）.pdf（63页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、一、选择题6.（2021 湘西州）如图，在菱形ABC。中，E 是 AC的中点，EF/CD,交 4。于点尸，如果E F=5.5,那么菱D【解析】.,点 E 是 AC 的中点，.A E=EC=-1,尸CD,.A E F s/v ia）,.-上旦，2A C C D；.CD=2EF=ll,.四边形 A3C 是菱形，.A8=8C=CD=4）,.菱形 ABC 的周长=4X11=44.5.（2021 泰州）如图，P 为 4?上任意一点，分别以A P、P 8 为边在A 3 同侧作正方形APCD、正方形PBEF,设 N C B E =a ,则 乙4口 为（）D CA P BA.2a B.90C.B【解析】四边形
2、打法尸为正方形，.NP8=90。是 正 方 形，:.AP=CP,Z A P F =/C P B =9Cf.M P F?ACPB(SAS),ZAFP=Z P B C =90-a11.(2021 贵港)如图，在正方形ABCD中，E,延长交4 6 于 点 连 接)厂并延长交NC于点N,_1cB-A M B45+D.9 0 -a2,NP8C=90。-a,.四边形 APCD、PBEFAP=CPP E=P B ,在 AAPF 和 ACPB 中，NAPF=NCPB,PE=PBF 是对角线AC上的两点，且 EF=2AE=2 C F,连接D E并连接M N,则久幽=()AMBNA解析】AB=A D =B C =
3、C D =3a,.四边形/WC 是正方形，:.Z D A E =Z D C F =4 5 ,A D A M =A D C N =9 0.D A =D C在 M)A E 和 A D C F 中，,N D A E =Z D C F ,/.A D A E =M)C F(SA S),Z D A E =ZCDF.A E =C FZ A D M =N C D N在 A ZM A 7 和 A D C N 中，DA=DC,D A M =A D C N(A SA),:.A M=C N.Z D A M =N D C N：A B=B C,：.B M =B N.-,-C N/A D,-=.-.C N=AM=a.B M
4、 =B N =2 a ,：.-MD M,=2-=-=-A D A F 3 5aBMN L.BM BN 2 a x2 a 42A M B7 .（2 0 2 1 无 锡）如图，、E、F分别是A A B C各边中点，则以下说法错误的是（）A.B O E和O C/的面积相等B.四边形A ED F是平行四边形C.若A 8=B C,则四边形A EZ）尸是菱形D.若/A=9 0 ,则四边形A ED尸是矩形 答案C 解析 对于A,。、E、尸分别是4 8 C各边中点，贝IJ 8 D=C Q E F、E D、。厂是中位线，贝I J E尸B C,故 点E、尸到8 c的距离相等，底、高都相等，则8 O E和 （#的面
5、积相等，A正 确；E D、O R是中位线，则EZ）A C、D F/A B,故四边形A EC F是平行四边形，若乙4=9 0。，则四边形A EC F是矩形，故B、D正确；而由4 8=8 C不能得到四边形A E D F是菱形，故C错 误.6.（2 0 2 1 柳 州6题 如图，在菱形A B C C中，对角线A C=8,8。=1 0,则A。的面积为（）A.9B.1 0C.1 1D.1 2第 6题图 答案 B8 .（2 0 2 1 安徽8题）如图，在菱形A B C D 中，A B =2,N A =1 2 0。，过菱形A 8 C D 的对称中心。分别作边A B,8c 的垂线，交各边于点E,F,G,H.A
6、.3+V 3B .2+2 V 3则四边形E F G 4 的 周 长 为（）A【解析】如图，连接8。A C .四边形A 8 C。是菱形，Z B A D：.A B =B C=C D =A D =2,Z B A O=Z D A O =6 0 ,B D A C,：.Z A B O=Z C B O =30,：.OA=1,O B=V 3 O A=V 3,J OE LA B,O F I B C,：.Z B E O ZB F(9 =9 0o,在4 8 0 和4 B F O中，(Z.B E O=乙 B F O z-E B O=Z.F B O,：./B E O/B F O(A A S),：.OE=OF,B E =
7、B F,(B O=B OV Z B F=6 0 ,.二 B E尸是等边三角形，.*.EF=B E=V 3 x y=|,同法可证，&DGH、OE H,AOFG都是等边三角形，：.E F=G H=1,E”=fG=4，四边形 EF G”的周长=3+6,故 选：4 .6.(2 0 2 1 南通)若菱形的两条对角线的长分别是6和 8,则菱形的周长是A.24B.2 0C.1 0 D.56.B7.|（2 0 2 1 河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（）A.四条边相等 B.对角线相等C.对角线互相垂直 D.是轴对称图形 答案 B1 6.（2 0 2 1 福建）如图，在矩形A B C D 中，A B=4
8、,AD=5,点 E,尸分别是边A B,2c 上的动点，点 E 不与A,B重合，且 EF=4 8,G是五边形A EB C。内满足G E=G 尸且N EG F=9 0 的点.现给出以下结论:N G E B 与N G F B 一定互补；点 G 到边AB,8 C 的距离一定相等;点G到边AD,D C的距离可能相等;点G到边A B的距离的最大值为2近.其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）答案 解析 本题考查了矩形的性质，点的运动变化，轨迹，./B=NEGF=90,.NGE8+NGFB=180,正确;作 GM_LAB 于 M,GN_LCB 于 N,则 NM GE=NNGF,又 GE=GF,RtAEMG
9、AFNG,AGM=GN,AG 到边AB,BC的距离一定相等，正确；当点E 与点B 重合时，点 G 在/A B C 的平分线上，当点E 点 M 重合时，四边形MBNG为正方形，点 G 位于/A B C 的平分线上，二,四边形ABCD不是正方形，点 G 不在/A D C的平分线上，.点G 到边AO,0 c 的距离不可能相等，错误；当点E 与点M 重合时，四边形MBNG为正方形，EF=4,MG=2V,.点G到边A B的距离的最大值为2位，正确，正确的结论是.9.（2021 重庆A 卷）如图，正方形A8CC的对角线AC,B D 交于点、0,M 是边AO上一点，连接O M,过点O作 O N 1O M,交
10、 CO于点M 若四边形MOND的面积是1,则 A 8的 长 为（）A.1 B.V2 C.2 D.2或C【解析】.四边形ABC。是正方形，4 MO=ZLNCO=45。，O D=O C,乙。OC=90。，乙 DON+乙 CON=90,0N1 0M,1,Z.MON=90,A D O N+L D O M=90,L D 0 M=LCON,Z.DOM=乙 CON在）0M 和CON 中，lOD=0C,D O M A C O N CASA）,.ZMDO=Z N C O四边形M O N D的面积是1,四边形M O N D的面积=L D O M的 面 积 的 面 积，.,四边形M O N D的面积=CON的面积+
11、ZSOON的面积=2OOC的面积，.QOC的面积 是 1,正方形A8C。的面积是4,.乂 8 2=4,.,乂 8=2,故选：C.7.（2021 常德）|如图，已知F、E 分别是正方形ABCQ的边AB与 BC的中点，AE与。F 交于P.则下列结论成立 的 是（)BB.PC=PDC.ZEAF+ZAFD=90D.PE=ECC【解析】:F,E 分别是正方形ABC D 的 边 A B 与 B C 的中点，尸=8 E,在4 H）和8 E A 中，AF=BEZ.DAF=/.ABE=90%丝8E&SAS）,：.Z F D A=Z E A B,又；NFOA+Z4FO=90,:.NEAB+AD=BANAFO=90
12、,即/E 4F+N 4FO=9（T,故 C 正确，A、B、Z）无法证明其成立.12.（2021 泰安）如图，在矩形ABC。中，AB=5,BC=5百，点 P 在线段B C 上 运 动（含 8、C 两点），连接A P,以点4 为中心，将线段AP逆时针旋转60。到 4 Q,连接。，则线段。的最小值为（）B.5V2A【解析】如图，以A B 为边向右作等边ABF,作射线FQ 交 AD 于点E,过点D 作 D H 1Q E于 H.四边形 ABCD 是矩形，/LABP=28AE=90。，ABFGAPQ都是等边三角形，ABAF=APAQ=60,BA=FA,R=QA,LBAP=L FAQ.；BA=FA在84 尸
13、和E4Q 中，；N B 4P=N F4Q,PA=QA.BAPdFAQ（SAS）,.LABP=AFQ=90ZM E=90-60=30,Z.AEF=90-30=60,AB=AF=5KE=AF+cos300=?，点。的运动轨迹是射线FE,:AD=BC=5V3,DE=AD-AE=#，DHLEF,乙 DEH=LAEF=60,D/=DE*sin600=x =3 2 2根据垂线段最短可知，当点。与“重合时，。的值最小，最小值为|.8.（2021乐山）如图，已知点P 是菱形ABC。的对角线AC延长线上一点，过点P 分别作A。、O C延长线的垂线，垂足分别为点E、F.若4 4 8 c=120。，A B=2,则
14、P E-尸产的 值 为（）B.V3C.2B【解析】设AC交2。于0,如图:.菱形 48cO,4A8C=120,AB=2,ABAD=ABCD=60,ADAC=ADCA=30,AD=AB=2,BD1AC,RtAOD 中,OD=，)=1,OA=yAD2-OA2=V3,.AC=2OA=2V3,RtZXAPE 中，LDAC=30,PE=-AP,2 CPF 中，NPCF=4 004=30,PF=CP,：.PE-PF=-AP-CP=(.AP-CP)=-AC,2 2 2 2：.PE-PF=V3.4.(2021眉山)如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若乙1=48。，则4 2的度数为()A【解析】如图，延长AB
15、交矩形纸片于。,乙3=4 1=48,42=180-90-48=42.8.（2021南充）如图，在菱形4BCO中,长为3 n，则4。的 长 为（）44=6 0,点E,尸分别在边A8,BC上，AE=BF=2,尸的周A.V6B.2V3C【解析】如图，连结8 0,作垂足为H,.四边形 48CD 是菱形，.A8=AO,AO8C,V 乙4=60。,AABD 是等边三角形，2 ABC=180-AA=120,.AD=BD,AABD AA=AADB=60,：.乙DBC=LABC-AABD=20-60=60,:AE=BF,AADEABDF(SAS),DE=D F/FDBLADE,：.乙 EDF=乙 EDB+乙 F
16、DB=乙 EDB+乙ADE=4 AZ)8=60,OEF是等边三角形，fDEF 的周长是 3乃，DE=V6.设 AH=x，则 HE=2-x,:AD=BD,DHLAB,：.AADH=-ADB=30,2.-AD2x,DH=V3x在 Rt )“：中，DH2+HE7DE7,(V3x)2+(2-x)2=(遍)2,解得X=萼（负值舍去）,A D 2x-14-V3.10.（2021南充）如图，在矩形A8C。中，AB=1 5,B C=2 0,把边AB沿对角线8。平移，点8 分别对应点A,8 给出下列结论:顺次连接点A,B,C,。的图形是平行四边形;点 C 到它关于直线4V 的对称点的距离为48；VC-的最大值为
17、15；A C+B C的最小值为9V17.其中正确结论的个数是（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个D【解析】如图 1 中，.A B=CDA B/CD,四边形山夕CO是平行四边形，故正确，作点C 关于直线4 4 的对称点及连接C E交 4 T 于 T,交B D于点。，则CE=4OC.：四边形 A B C D 是矩形，乙BCD=9（r,CO=AB=15,B D=VBC2+C D2=V202+152=25,.-BD-CO=-BC-CD,：.O C=型 竺=12,2 2 25.,.EC=48,故正确，-：A C-B CA B,：.A C-B C=6,点P 是 AC.四边形A 8C D 是菱
18、形，对角线A C,B O 相交于点0,AC=6 B BD=6,二 A 0 =（AC=3 G B 0 =g B D =3,A C B D.AB=J AO2+BO2=yl（3y3）2+32=6,/.A B A D=B D,即AABC是等边三角形，又.点E 是 A B 的中点，Z）E_LAB.SA ltr n=-A C x B D=A B x D E,-x 6 4 3 x 6 =6 x D E,DE=3V3/!D E:.P D+P E 最小值为O E 的长度.即P D+P E 最小值为3指.12.（2021宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，点 E、F 分别在矩形的边A3、AQ上，将矩形纸片沿CE、C
19、 F折叠，点 8 落在”处，点。落在G 处，点 C、H、G 恰好在同一直线上，若 AB=6,AO=4,B E=2,则。尸的长是（）3V2c.2D.37A.2 B.一4A 解析 延长CG 交 DA延长线于点N 交 A B于 M,.矩形 ABCD,BC=4,B E=2,由勾股定理得 C E=2 6,由题意得 EH=BE=2,AMBCAMHE,，MB:MH=MC:ME=BC:EH=4:2=2,；.MC=2EM,M B=2M H,设 E M=x,贝 U CM=2x,MH=2x-4.在 RtZEMH 中，EM2=EH2+HM2,X2=22+(2X-4)2,解得 X1=2(舍云),1()o0i/C oMH
20、二 一，GM=MC-CG=2EM-CD二一，.BM=BE+EM=2+二一，AM=AB-BM=4=一.3 3 3 3 3 3由M NAsM CB 得，AN:BC=MN:CM=AM:BM=-:=1:8,.A N=-,M N=-.3 3 2 61 2 5设 DF=y,则 AF=4-y,在 RtZiEGN 中,FN2=GF2+GN2,(4-y+-)2=y2+(一+)2,解得 y=2,2 3 6ADF=2.10.（2021龙 东）如图，在正方形ABC。中，对角线AC与 3。相交于点。，点 上在3 c 的延长线上，连接。E,点F 是 O E的中点，连接。尸交CO于点G,连接C F,若 CE=4,0 F=6
21、,则下列结论:GF=2;0。=血 0 G;io/ctan Z C D E=-；NOQF=NOCF=90。;点。到 C F的距离为空2 ,其中正确的结论是（）2 5A.B.C.D.答案 C【解析】由题意得0/CE,OG=CE=4,.四边形OGEC是平行四边形，.OCGE,不平行OC,：O C B D,结 论 尸=N O CF=90。错误，排除选项A,B,D,因此本题选C.9.（2021威海）如图，在口ABC。中，AD=3,C D=2.连接A C,过点2 作 8EA C,交。C 的延长线于点E,连接 A E,交 BC于点F.若NA尸 C=2 N O,则四边形4BEC的面积为（)BDA.娓 B.27
22、5 C.6 D.213B 解析 由8 c。可知8AE D 已知8EA C,可得。ABEC,根据口48C可知4 8 C=,结合己知NAFC=2 N D借助外角可以证明/4B F=/B A E 从而可以得出AF=B进而可以证明。ABEC是矩形，得 出ACLDE,RtzXACC中,可求出4 旄，由于C E=2,进而可以求出矩形ABEC的面积为2旄，因此本题选B.11.（2021海南）如图，在菱形A8CO中，点 E、P 分别是边BC、CZ）的中点，连接AE、AF、E F.若菱形ABCZ）的面积A.2 B.3 C.4 D.5（答案 B【解析】连结AC,BD,.,点E、F 分别是边8C、C）的中点，SMO
23、F=MDF=平 行 四 边 形ABC O=2.,/EF 是ZXCDB 的中位线，；.SMEF=j SACDB=平 行 四 边 形ABCD=1，,AAEF 的面积为 8-2-2-1 =3.10.（2021 仙桃）如图，在正方形ABCD中，4B=4,E为对角线AC上与A,C不重合的一个动点，过点E作EFLA8于点尸，E G,8 c 于点G,连接。,F G,下列结论：D E=F G；D E L F G；Z B F G=Z A D E；FG的最小值为3.其中正确结论的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个C【解析】延长O E,交FG于点M 交AB于点M,连接B E,交FG于点O,先根据正方形
24、的性质、三角形全等的判定定理与性质得出。再根据矩形的判定与性质可得B E=F G,由此可判断；先根据三角形全等的性质可得N A B E=/A D E,再根据矩形的性质可得。8=。凡 然后根据等腰三角形的性质可得ZBFG=ZA B E,由此可判断；根据直角三角形的性质可得/AOE+/AM=90,从而可得/8FG+NAMO=90,由此可判断；先根据垂线段最短可得当。_LAC时，OE取得最小值，再解直角三角形可得。的最小值，从而可得FG的最小值为2 v L 由此可判断.综上，正确的结论为，共有3个，因此本题选C.二、填空题17.（2021 雅安）如图，在矩形ABCZ）中，AC,3。相交于点O,过点3
25、 作 3尸_L AC于点M,交CD于点F,过点。作 D E/B F 交 AC于点N.交A B于点E,连接RV,EM.有下列结论：四边形NEMF为平行四边形；DN?=MC-NC；ADNF为等边三角形；当月0 =4）时，四边形D E M 是 菱 形.其 中，正确结论的序号.【解析】.四边形 ABCD是矩形，.AZ)=BC,A D/B C,CD/AB;.ADAN=ZBCM,.BFA.AC,D E/B F,:.D E 1A C,ZDNA=ZBMC=,ZDNA=NBMC在 AADN 和 ACBM 中，NDAN=NBCM,AADN=SCBM(AAS),/.DN=BM,AD=CB-,-D F/B E,O E
26、/3尸，.四 边 形 是 平 行 四 边 形，:.D E=BF,:.EN=FM,.NEV/FM,.四边形NEM尸是平行四边形，故正确，,:.AN=CM,:.CN=A M,：ZAMB=ABMC=ZABC=90,/.ZABM+ZCBM=90,NCBM+NBCM=90,ZABM=ZBCM,AAMBS M MC,/.=,BM CM;D N=BM,AM=C N,DN2=CM CN,故正确，若A D M 是等边三角形，则 NCDN=60。，ZACD=3 0 ,这个与题目条件不符合，故错误，.四 边 形 是矩 形，:.OA=OD,.A O =AD,:.A O A D =OD.AA。是 等 边 三 角 形，:
27、.ZADO=ADAN=GO0,ZABD=90-ZADO=30,.D E A C,:.ZADN=ODN=3W,:.AODN=ZABD,:.D E=BE,.四边形函 听 是平行四边形，四 边 形 是 菱 形；故正确.故答案为：.14.（2021 黔东南）如图，囱）是菱形A 8 8的一条对角线，点E在8 c的延长线上，若ZADB=32。,则NDCE的度数为 度.64 解 析：.四边形 MC 为菱形，:.BC=CD,ADI IBC,:.NCBD=ZBDC,ZCBD=ZADB=32,NCBD=Z.BDC=32,ADCE=ZCBD+ZBDC=64.18.（2021 毕节）如图，在菱形ABCD中，BC=2,
28、ZC=120,Q为4 3的中点，尸为对角线 皮）上的任意一点，则AP+P0的最小值为.x/3【解析】如图，连接P C.过点。作8,4 3于4.BA=BC在 AABP 和 CBP 中，NABP=NCBP,AABP s ACBP（SAS）,:.PA=PC,.AB 11 CD,/.ZABC+ZBCD=120,BP=BP.ZABC=180-120=60,A C/=BC-sin600=75,PA+PQ=PC+PQ.CH,PA+PQ./3,:.PA+PQ的最小值为G.17.（2021 益阳）如图，已知四边形A8CQ是平行四边形，从AB=A,A C=B D,/A 8 C=NAQC中选择一个作为条件，补充后使
29、四边形ABCZ）成为菱形，则其选择是 （限填序号）.【解析】四边形ABCZ）是平行四边形，A B=A D,平行四边形ABC。是菱形；四边形A8CO是平行四边形，AC=5D,.平行四边形ABCD是矩形；：四边形ABC。是平行四边形，.N A 8 C=/H O C,因此/A 8 c=Z4O C时，四边形ABC。还是平行四边形；故答案为.18.（2021 徐州）如图，四边形A8C与AEG/均 为矩形，点E、尸分别在线段A 3、AD上.若BE=FD=2an,矩形AEG尸的周长为204根，则图中阴影部分的面积为B C24 解析：.矩形 AEG尸的周长为 20aw,:.A F +AE=0cm .AB=A
30、E+B E，AD=A F+DF,BE=FD=2an,阴影部分的面积=4 8乂4。-41、4尸=（4+2）5/+2）-4、4尸=24（。源）.13.（2021.龙东）如国，在矩形ABC。中，对角线AC、8。相交于点O,在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使矩形ABC。是正方形.答案 答案不唯一，可以是一组邻边相等或对角线互相垂直，如A8=8C,ACBD.【解析】.四边形A8CO是矩形中，要使矩形A8CZ）,添加的一个条件可以是一组邻边相等或对角线互相垂直,如AB=BC,AC_L8D,答案不唯一.14.（5分）（2021台州）如图，点E,F,G分别在正方形ABCD的边AB,BC,AQ上，
31、A F E G.若AB=5,A E=O G=1,则 3F=5一【解析】；四边形A8CQ是正方形，：.AB=AD=5,NA8C=NA4Q=90.4；AE=OG=1,.G=4.：AF1.EG,：.ZBAF+ZAEG=90=ZBAF+ZAFB,：.ZAFB=ZAEG,AG AE 4 1 5:.X A B F s XGAE,=,=,BF=-r.AB BF 5 BF 419.（2021 包 头 19题）如图，8。是正方形ABC。的一条对角线，E是BD上一点,F 是 CB延长线上一点,连 接 CE,EF,A F.若DE=DC,E F=E C,则Z8A尸的度数为.答案 22.5。【解析】如图，连接A E,设
32、 E F 交 AB于点G.；正方形4BCO关于8。对称，.48：也。3,.M E=CE,N E C B=N E A B.，；EB=EC,:.NECB=NEFB,:./E A B=N E F B,又：/A G E=ZFGB,：.1800-Z EAB-ZAGE=1800-Z E F B-Z F G B,即 NAG=NFBG.二 四边形 A8CQ 是正方形，：,AD=DC,NA8C=90,.,./A 8F=90,A ZAEG=90.：AE=CE,EF=CE,：.AEEF,.AEF 是等腰直角三角形，./E A 尸=45。.，：DE=DC,AD=DC,：.DE=-AD,：.ZD A E ZD E A.
33、二 四边形0丁 180-ZADE 1800-45ABC。是正方形，：.ZD AB90,NAOE=45,；.NAE=NOE4=-=-=67.5.A ZEAG=ZDAB-ZDAE=9Q-ZDAE=90-61.5。=22.5。，:.NBAF=NE4 尸-NE4G=45-22.5=22.5.18.（2021 铜仁）如图，E，尸分别是正方形ABC。的边A B，B C 上的动点，满足AE=B E,连接C E，D F,相交于点G,连接A G,若正方形的边长为2,则线段A G 的最小值为BABl 解析 由题意知，C D=C B,N D C E=N C B F=9 0 ,V A E=B F,/.C F=B E,
34、：.Rt D C F =Rt C B E SA S),：.Z C D F=Z B C E,V Z D C G+Z B C E=9 0 ,A Z C D F+Z D C G=9 0 ,A Z D G C=9 0 ,点 E、F 在运动的过程中，Z D G C=9 0 ,因此点G运动的路线在以D C 为直径的圆上，如图所示，当点A、G、0在一条直线上时，A G 最短，此时A G=A O T,由勾股定理得 A 0=V i 4D2+D O2=V 4 T T =V 5,/.A G=V 5 -1.18.（2 0 2 1 赤峰）如图，正 方 形 的 边 长 为 2 遥，点 E是 的 中 点，连接AE与 对 角
35、 线 交 于 点 G,连 接 CG并延长，交 AB于点F,连 接 CE交 C 尸于点”，连接AH.以下结论：C nL O E；SK=2；HF 3GH=2娓;AD=AH,其中正确结论的序号是314.（2 0 2 1北京I I 题”如图，在矩形4?切 中，点反尸分别在6 4 上，A F=E C.只需添加一个条件即可证明四边形4的 是 菱 形，这个条件可以是 （写出一个即可）.A E=A F（答案不唯一）如图，在菱形ABCD中，对角线AC,B。相交于点O,BD=8,AC=6,O E/A B,交BC于点E,则 0E的长为5115【解析】：菱形 4 B C O 中，对角线 A C,8。相交于点 0,.O
36、 A =O C=*4 C =3,O B=B D =4,A C A.B D,J OE/A B,：.B E =C E,；.O E 为 A B C 的中位线，：.0E =AB,在 R t z A 5 O 中，由勾股定理得：4 8V 32+42=5,OE=1 .1 3.（2 02 1 长沙1 3 题）如图，菱形A B C。的对角线A C,80 相交于点。，点 E是边A8的中点，若 O E=6,则BC的长为.1 3.（2 02 1 绍兴5图 1 是一种矩形时钟，图 2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形4 B C D 的对角线8。上,时钟中心在矩形A 3 C Q 对角线的交点。上.若 A 8=3 0 a
37、 ,则 8c 长为 c？（结果保留根号）.日3D图1图23 0百【解析】过。点作O E _ L CO,O F1 AD,垂足分别为 F,由题意知乙F O D=2 4 ）O E,Z F OD+乙 D O E=9 0,/.Z D O E=3 0,在矩形 A 8 C力中，ZC=9 0,C D=A B=30cm,OE/B C,乙 0 8 c=z L O O E=3 0,B C=3C D=3 0/3 cw.1 6.（2 02 1 宁波）如图，在矩形A B C。中，点 E在边AB上，B E C与 FE C关于直线EC 对称，点 B的对称点 F 在边AO上，G为 C D中点，连结8G分别与CE,C F交于M,
38、N两 点.若 B M=B E,M G=,则 8N的长为,sin/A FE 的值为2 V 2-1【解析】.,B A/n B E,/.Z B E M=Z B ME.：A B/C D,：.ZB E M=Z G C M.又,：/BME=NGMC,.ZGCM=ZGMC,.A/G=GC=l.：G 为 CC 中点，：.CD=AB=2.连接 8F,F M,由翻折可得/尸BE=EF,：.BM=EF.,:NBEM=NBME,:.NFEM=NBME,：.E F/B M,，四边形 8EFM 为平行四边形.,/BM=BE,：.四边形BEFM为菱形.:NEBC=NEFC=9Q,EF/BG,:.NBNF=9U*:BF 平分
39、NABN,：.FA=F N,二 Rt/X48尸 经RtZN8尸(4L),：.BN=AB=2.YFE=FM,FA=FN,NA=N8NF=90,?.RtAAFRtAW F(/L),:.AE=NM.设 AE=NMx,则 BE=FM=2-x,NGMG-NM=1 -x,CG G N -x：FM/GC,:N M N s C G N,：.=一，即=二，解得 x=2+应(舍)或 x=2一&，FM NM 2-x XEF=BE=2-x=V2,：.sinZ AFE=咎=V2-1.EF 4216.(2021 温州)图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形(如图2),则图1中
40、所标注的d的值为；记图1中小正方形的中心为点A,B,C,图2中的对应点为点4,B,C.以大正方形的中心O 为圆心作圆,则当点A，,BTC在圆内或圆上时，圆的最小面积为图1图26-2V3(1 6-8V3)n【解析】如图，连接尸H,由题意可知点4,O,C在线段FH上，连接。夕B C,过点O作OHL8C于 H.图1图2大正方形的面积=12,.,.FG=G”=2百，.EF=HK=2,.在 RtZEFG 中，tanZEGF=焉=嘉=景乙 EGF=30,：JK/FG,：.乙 KJG=乙 EGF=30,.d=JK=M G /3(2V3-2)=6-273,OF=OH=：FH=瓜,CH=V2,.-.OC=V 6
41、-V 2,BC/QH,HC=2,：.AOCH=Z.FHQ=45,：.O H=H C=-,：.HB2-(V3-1)=3-V3,OB2=OH2+BH2=(V3-1)2+(3-V3)2=16-8V3,.OAOCJPC2-PE2=2.,：NDEP=NDPE=45,A ZCEH=180 ZDEP-ZAEC=45.在 RtZPE 中，CH=CE sin45=亚,：.CH=EH=42.点 C 到直线 OE 的 距 离 为 故 错 误；.OH=OE+EH=1+及，.在 RtzDC”中，CD2=DH2+CH2=5+2 1.故正确.故本题答案为.15.（2021/1肃省 卷 15题）如图，在矩形A8CQ中，E 是
42、 BC边上一点,边的中点，EF=4cm,则 BE=_cm.AAED=90,AEAD=30,尸是 AQ6【解析】4 4 比）=90。尸是A。边的中点，EF=4,:.AD=2EF=8,N 40=30。，AE=ADcos Z 30=8x y =4 百,又.,四边形ABCO是矩形，.AD/BC,Z 8=90,NBEA=LAED=30,在 RtZA8E 中，BE=AE*cos BEA=4V3 xcos30=4/3 x y =6(cw).16.(2021泸州)如图，在边长为4的正方形ABC。中，点E是BC的中点，点F在CD上，JS CF=3DF,AE,BF相交于点G,则4AGF的 面 积 是.5611【解
43、析】作于点M,作GN1AB于点M如右图所示，.正方形A8C。的边长为4,点E是BC的中点，点尸在C C匕 且CF=3QF,；.BE=2,Mf=4,BM=CF=3,GN1AB,FMA.AB,GN/FM,：.LBNGLBMF,NG MF 4设 8N=3x,则 NG=4x,AN=4-3x,：GN1AB,EBI A B,，ANG-A5E,.AN NG grj4-3x 4x ZM 4 =,即-=，解得X=，AB BE 4 2 11GN=4x=，11AAG尸的面积是:AB MF AB GN4x422215.（2021凉山州）菱形ABC。中,对角线AC=10,8 0=2 4.则菱形的高等于.詈【解析】由题意
44、得，菱形的面积=1则 AO=5,8 0=1 2,则 AB=，4。2+如 二 设菱形的高为h,则菱形的面积=8C4?=13仁120,解得h=詈.18.（2021 贺州）如图.在边长为6的正方形ABCC中，点E,F分别在BC,CD ,BC=3BE,A E LB F,垂足为G,。是 对 角 线 的 中 点，连 接。G,则OG的长为.单 解析 如图，连结A C.；点。是8。的中点，点。在AC上且是AC的中点.V BC=6.BC=3BE,:.BE=2,EC=4,4E=d AB?+BE?=2,AC=6 叵,AO=3y2.JAELBF,/ABC=90,A/XABG/XAEB.空 二 丝，即 华=-4=.：.
45、AB2AG-AE,AG=.又 AB?=AB AE 6 2710 5AO-AC,：.AG AE=AO-A C,即 笑=笔.：NEAC=NOAG,，E A CS/O AG.，等=华，即 空AO AE EC AE 4=1 .：.0G=噌.解析者注：原题中有条件BE=CF.一是 这 个 条 件 在 的 前 提 下 可 以 推 出 来，2V10 5二是以上解法没有用到这个条件,所以解析者将此条件删除了.14.（2021 安顺、贵阳八如图，在平面直角坐标系中，菱形A8C。对角线的交点坐标是。（0,0）,点 B 的坐标是（0,1）,且 8。=若，则点A 的坐标是(2,0)解析 在菱形 A8C。中，BC=AB
46、,：BC=45,：.AB=45,V B(0,1),A O B=,在 RtAOAB中，OAHAEP-OB?=2,/.A(2,0).16.（2021 贺州）如图，在矩形A8CC中，E,1r 分别为8C,D 4 的中点，以 CZ）为斜边作放GC,GD=GC,连接 GE,G F.若 BC=2G C,则 NE GF=.45 解析 .DCG是等腰直角三角形，N/）CG=45。.,四边形A8CD是矩形，A ZBCD=90.：.ZECG=135。.,点 E 是 BC 的中点，BC=2GC,，EC=GC.*.NCG；=N C E G=4 x（18O。一/ECG）=22.5。.同理，NDGF=22.5.ZG F=
47、90-（ZCGE+NQGF）=45.13.（2021南充）如图，点 E 是矩形ABC。边 4。上一点，点 尸，G,，分别是BE,BC,CE的中点，AF=3,则 GH的长为.3【解析】在矩形ABCQ中，Z.BAD=90,尸 为 BE 的中点,4尸=3,.BE=2AF6.G,”分别为8C,EC的中点，GH=-BE=3.215.（2021新疆）如图，已知正方形ABCO边长为1,E为AB边上一点、,以点。为中心，将D4E按逆时针方4E 2向旋转得（7 连接E F,分别交B。，C。于点M,N.若 而=:，则 sin/EOM=W【解析】如图，过点作 EG L5O 于点G,设 A E=2 x,则 W=5x,
48、由旋转性质得：C尸=AE=2x,Z D C F-Z A=90.；四边形 A8C 是正方形，ZDCB=90,NABC=90,ZABD=45,：.ZDCB+ZDCF=ISO,ZDCB=ZABC,.点 8,C,尸在同一条直线上.：ZD C BZABC,NNFC=NEFB,：./FN C/FEB,tNC CF e l-5 x _ 2x EB BF 1-2X-l+2x解得xi=1 (舍去),X2=zo/.A E=2x1=|,：.ED=/AE2+AD2=l(1)2+l2=-A E=l-g =|.在 RtZkEBG 中，EG=Bsin45=XT =T NEDM=需=备=?16.（2021 黄冈）如图，正方形
49、4 8 c o 中，A B=1,连接AC,N4C。的平分线交AO于点E,在 AB上截取AF=D E,连接O F,分别交CE,C 4 于点G,H,点 P 是线段GC上的动点，PQLAC于点。，连 接 下 列结论：CE_LO尸；DE+DC=AC；EA=V3AH；P/+PQ的最小值是?，其中所正结论的序号是.【解析】：正方形 A8C,；.C)=A力，ZC D E=ZD A F=90,：.ZADF+ZCDF=90.CD=AD在CDE 和尸中，lCDE=Z.DAF,/.CDEADAF(ASA),:./D C E=N AD F,DE=AF：.ZDCF+ZCDF90,A ZDGC=90,J.C E Y D
50、F,故正确;Z.DCE=乙 HCG：CE 平分/AC,；./O C E=/”C G,在GC。和GC“中，CG=CG,/DGC=乙 HGC=90：./G C D/G CH(ASA),：.CD=CH,NCDH=4CHD,；正方形 48CD,：.CD/AB,：.ZCDF=ZAFD,：.ZCHD=ZAFD.V ZCHD=ZAHF,：.ZAFD=ZAHF,：.AF=AH,：.AC=AH+CH=AF+CD=DE+CD,故正确；设 O E=A F=4H=。，V ZAHFZDHC,NCDF=NAFH,：.ZDf/CZFHA,AF AH a a ：.=,A-=p,.*.o=V2-1,：.D E A F A H=