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1、2021全国中考真题分类汇编（圆）-与圆的有关性质一、选择题1.（2 02 1甘肃省定西市）如图，点4,B,C,D,在。上，AB=CD,/4必=42 ,则CED=()2 4C.2 2 D.2 1【分析】连 接O C、0 1）,可得N4如=/颂=42 ,由 圆 周 角 定 理 即 可 得/的=工/62=2 1。.:./C E g L/a)g 2 。.2故选：D.2.（2 02 1湖北省黄冈市）如图，。是的外接圆，O ELAB交00于前E,AE,CB的延长线交于点F.若 如=3,则 尸C的 长 是（）A.10B.8C.6D.4【分析】由题知，力。为直径，得勿8G且 如 是 4%的中位线，龙 是三角
2、形力/e的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可.【解答】解：由题知，。为直径，：.Z ABC=90 ,V O EIAB,：.O D/BC,：O A=O C,：O D为三角形ABC的中位线，:.AD=工 A B=22 2又:切=3,*-0A=y A D 7 O D 2=7 43+32=2,；O E=O A=5,；龙 砒 点。是 4C中点，.庞是三角形/1的中位线，.=2 庞=3 X 5 =10,故选：A.3.（2 02 1湖北省武汉市）如图，A8是。的直径，8C是。O的弦，先将8c 沿 BC翻折交 AB于点D.再将8。沿 A 8翻折交BC于点E.若 BE=D E ,设N A 8 C=a,则 a所
3、在的范 围 是（）A.2 1.9 a 2 2.3 B.2 2.3 a 2 2.7 C.2 2.7 a 2 3.1 D.2 3.1 a 2 3.5【分析】如图，连 接 AC,CD,D E.证 明/。8=3 a ,利用三角形内角和定理求出a ,可得结论.【解答】解：如图，连接力C 反.,会=窟,:ED=EB,:/E D B=4E B D=a,VAC=CD=DE,:.AD=CD=DE、：.4DCE=4DEC=4E D B 4E B g2a,：./C A D=/C D A=/D C 8/E B D=3a,相是直径,：.ZACB=90,：.ZCABZABC=90,A 2 a=90,J a=22.5,故选
4、：B.4.（2021湖南省邵阳市）如图，点 儿B,C是。上的三点.若N 4%=90,ZBAC=30,则入4办的大小为（）A.25B.30C.35D.40【分析】由圆周角定理可得N 8%=2 2的。=60,继而N/仍=/4 3-N加C=90-60=30.【解答】解：必 与N8%所对弧为BC，由圆周角定理可知：/BO C=2/BAC=6 0 ,又N/O C=9 0,：.N A0 B=N A0 C-N B0 C=9Q -6 0 =30.故选：B.5.（2 02 1长沙市）如图，点A,B,C在。上，4 A C =54,则NBOC的度数为（）A.27 B.108 C.116 D.128【答案】B6.（2
5、 02 1江苏省连云港）如图，正方形A3CD内接于O O,线段MN在对角线3 0上运动，若。的面积为2兀，M N=L则AAMN周长的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算.【详解】如图所示，(1)N为B D七 一 动点,A点关于线段BO的对称点为点。，连接C N,则CN=4V,过A点作CN的平行线A G,过C点作8 0的平行线C G,两平行线相交于点G,AG与BO相交于点M.-CN/MG,NM/CG,四边形CNMG是平行四边形MG=CNMG=AN则 C“AMN=AN+AM+NM=M G+AM+(2)找一点N,连接C N,则C
6、 N=A N,过G点作OV 的平行线M G,连接则C.A M N=AN+AM+N M =AN+AM+CG=A N+AM+NM=A N+AM+.此时 A7V+AM+1 4V+A M+l,.Jc 6 0 ,由圆周角定理可求N 4 必=2/仁1 2 0 ,由等腰三角形性质，N O AB=Z O BA=3 Q P ,由垂径定理可求4 介物=2,利用三角函数可求处=九 5,利用圆的面积公式S=啊3 3【详解】解：方法一：/片 7 5 ,/斤 4 5 ,A Z f 1 8 0 -N 4-N 户 1 8 0 -7 5 -4 5 =6 0 ,c 4 4 8 百有题意可知 s i n C s i n 6 0 G
7、 3，T4 百-f3S 圆=7rR2 7rOA2 7t1 6 3方法二：设力回的外心为0,连结的，O B,过。作 切 _ 1 _ 4?于V Z J=7 5 ,N庐4 5 ,A Z 0 1 8 00-Z J-Z Z 1 8 0 -7 5 -4 5 =6 0 ,：.Z A0 B=2 Z O 2 XG0 =1 2 0 ,.O A=O B,./如 庐/囹=；（1 8 0。-1 2 0。）=30。,：O DV AB,AB 为弦,：.AD-BD-AB=2,2.,介c os 30 ,，好 AO+cos30=2+=2 3/.S M 1=7 lR2-TTOA2-71163故答案为A.1 4.（2 0 2 1四川
8、省眉山市）如图，在以力夕为直径的。中，点。为圆上的一点，BC=3 AG弦C LAB于点、E,弦 交 于点，交 属 于 点 若点是 熊的中点，则/必尸的度数 为（）A.1 8 B.2 1 C.2 2.5 D.30【分析】由圆周角定理可求/月。=9 0 ,由角的数量关系可求N 4 8 C=2 2.5 ,Z C A B=6 7.5 ,由直角三角形的性质可求四=2 2.5 ,即可求解.【解答】解：是直径 ./=9 0 ,：.Z ABaZ CAB=90 ,VBC=3AC，：/CAB=3/ABC,：.Z ABC=2 2,5 ,N C 4 Q67.5。,CD LAB,：.Z ACE=2 2.5 ,点是小6的
9、中点，ZJC=90,:.AH=CH=HG,NC4=N 4*=2 2.5,*：/CAF=/CBF,：.Z CBF=2 2.5 ,故选：C.15.（2021四川省南充市）如图，03是。的直径，弦 切，46于点eCD=2 O E,则N a力A.15 B.22.5 C.30 D.45【分析】由垂径定理知，点 是切的中点，有 CD=2 ED=2 CE,可得。=附 则/%=於=45,利用圆周角定理即可求解.【解答】解：是。的直径，弦 CALA8于点、E,:,CD=2 ED=2 CE,：CD=2 O E,：.DE=O E,/CD LAB,：./DO E=N O DE=4 5 ,.28缪=上/戊应=22.5.
10、2故选：B.16.（2021青海省）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于儿6两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，48=16厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为1 6分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）C.1.2 厘米/分D.1.4 厘米/分【分析】连 接0 A,过 点。作如于D,由 垂 径 定 理 求 出 的 长，再由勾股定理求出切的长，然后太阳在海平线以下部分的高度，即可求解.【解答】解：设“图上”圆的圆心为0,连接力，过 点。作 如，46于 4如图所示:49=16厘米,A 0=LB=8（厘米）,224=10 厘米，V 0 A2-A
11、D2=V 1 02-82=6（厘米），海平线以下部分的高度=2+必=10+6=16（厘米）,太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟,“图上”太阳升起的速度=16+16=1.0（厘米/秒）,17.（2021四川省自贡市）如图，血 为。的直径，弦 C 0 L A B 于点A OE_LAC于点E,若 O =3,O B =5,则 切 的 长 度 是（）A.9.6B.475C.5百D.19【答案】A【解析】【分析】先利用垂径定理得出力后比；CFD,再利用勾股定理列方程即可【详解】解：连接冗CABLCD,OELAC：.AE=EC,CFFD,：0及3,08=5：.OB=OOOA=5.在 RtAOAE
12、中AE=y o -O E2=7 52-32=4：.AE=EC=设 OF=x,则有 AC2-AF2=OC2-OF282-(5 +x)2=52-x2产1.4在 RtX OFC 中，FC=IOC2-O F2=，5 2-1.4 2 =4.8CD=2FC=9.6故选：A1 8.（2 0 2 1浙江省金华市）如图，在 口/%中，ZACB=W0,以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点,F,G,H,M,/V都在同一个圆上.记该圆面积为S,S,4 9 C面积为S,则一L的值是（）s2GB.3 nC.5 n【分析】先 设R t 4外 的 三 边 长 为&b,c,其 中。为斜边，设。的半径为八 根据图形
13、 找 出a,b,c,r的关系，用 含c的式子表示S和,即可求出比值.【解答】解:如图,设 AB=c,AC=b,BC=a,则,取1 8的中点为0,.4 6 C是直角三角形，：.O A=O B=O C,.圆心在J W和 的 垂 直 平 分 线 上,为圆心，连 接O G,0 E,则0 G,您为半径，由勾股定理得：由得a=b,S1 J 打 C 41 4.1 c 2，S2=7ab兀C$2 422 _.c.4:5兀，故选：C.19.（2021浙江省丽水市）如图，A 3是。0的直径，弦C D L Q 4于 点 发 连 结.若O O的半径为人NAOD=N a,则下列结论一定成立的是（）A.OE=m tanaC
14、.AE=m-cos a【答案】B【解析】B.CD=2m-sin D.SCOD=in2 sin a【分析】根据垂径定理、锐角三角函数 定义进行判断即可解答.【详解】解：:A B是。的直径，弦C C Q 4于点反：.D E-C D2在用AEDO 中，OD=m,ZAOD=ZaDEtan a=-OE：.OE=-,故选项/错误，不符合题意;tan a 2 tan a巾.DE又 sin a =-ODDE=ODina。0 =2。=2用 11。，故选项9正确，符合题意;p OE又 cos a=-ODOE=ODcos a-mcos a*.*AO=DO=mAE=AO-OE=m-m*cosa,故选项C错误，不符合题
15、意;CD=2m*sin a,OE=mcos a SCOD=CD x OE=-x 2根,sin a x 加cos a-，n2 sin a cos a2 2故选项错误，不符合题意;故选B.20.2021浙江省绍兴市)如图，正方形力也内接于。，点P在 篇 上()A.30 B.45 C.60 D.90【分析】根据正方形的性质得到比1弧所对的圆心角为90,则/8%=9 0 ,然后根据圆周角定理求解.【解答】解：连 接 O B、0C,.,正 方 形 内 接 于。0,.a 弧所对的圆心角为90,A Z 5(9(7=90 ,:.NBPC=LNB0C=A5。.2故选：B.21.2021重 庆 市 皮 如图，48
16、是。的直径，A Qa,是。的弦，若/力=20,则N 8的度 数 为()cA.7 0B.90C.40D.6 0【分析】根据直径所对的圆周角为90,即可求解.【解答】解：是。的直径.N C=90.：/4=20.A Z5=90 -Z J=7 0.故选：A.22.（2021重庆市给如图，四边形/15（力内接于G）0,若/力=80 ,则NC的度数是（）A.80 B.100 C.110 D.120【答案】B【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可.【详解】解：；四边形4?切内接于。，俏 180 -Z A=1 0 0 ,故选：B.23.（2021湖北省十堰市）如图，AA B C内接于OO,ZBAC
17、=120。,A 3=A C,B O 是。0的直径，若 4 9 =3,则 3 C=（）DAA.273 B.36 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】首先过点。作6FL8C于E由垂径定理可得以、比；然后由N%C=120。，AB=AQ利用等边对等角与三角形内角和定理，即可求得NC与/胡。的度数，由8为。的直径，即可求得/加与N的度数，又由4?=3,即可求得初的长，继而求得加的长.【详解】解：过 点。作如工彼于人：.BF=CF=BQ2；AB=AC,ZBAC=120,：.ZC=ZABC=(180-ZBAC)4-2=30,T N。与N是同弧所对的圆周角，/=NC=30,必 为。的直径，：.ZBAD=9
18、0,:NABD=60，：.Z OBC=ZABD-Z ABC=300,F =3,:BD=AD+cos3G=3+3Z.0 B=；BD=6,BF=0 B,c o s BO0 xv=r：.BC=3.故选：C.24.（2021 海南省）如图，四 边 形/腼 是。的内接四边形，缈 是 的 直 径，连接4 5：若乙BCLH2 4 BAD,则2%的度数是（）25.（2021广西玉林市）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题”.下列判断正确的是（）A.两人说的都对B.小铭说的对，小燕说的反例不存在C.两人说的都不对D.小铭说的不对，小熹说
19、的反例存在【答案】D26.（2021吉林省）如图，四边形16 切内接于。，点。为边4。上任意一点（点户不与点A,重合）连 接 货.若/8=120,则/A C 的度数可能为（）27.（2021湖北省黄石市）如图，A、8是 上 的 两 点，NAOB=60。，OF_LAB交。于点尸，则N84f等 于（）oAA.20 B.22.5 C.15 D.12.5【答案】C【解析】【分析】由题意得AAOB是等边三角形，结合Q R LA B可得=30。，再根据“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”即可得出ZBAF.【详解】解：.好 阳 N4g=60/仍是等边三角形，9：O F A B：.ZBOF=-ZA O
20、B =302/.NBAF=-NBOF=1x30=152 2故选：C二.填空题1.（2021 安徽省）如图，圆。的半径为1,AABC 内接于圆。.若NA=60,ZB=75,则 AB=.【答案】V2【解析】【分析】先根据圆的半径相等及圆周角定理得出/吐45,再根据垂径定理构造直角三角形，利用锐角三角函数解宜角三角形即可【详解】解：连接如、oa作 如，用ZA=60./5妗 2/力=120.：OWOC,N咏=30又 4=75。ZABO=45在 血 物 中，仍=1万：.BD=COSi50 X l=2i ODVABC.BDAD：.AB=42故答案为：V22.（2021黑龙江省龙东地区）如图，在 O。中，A
21、 3 是直径，弦 A C 的长为5cm,点。在圆上，且 Z4DC=3O。，则。0 的 半 径 为.【答案】5cm【解析】【分析】连接成；由题意易得N 4 B C =/M C =3()。，进而问题可求解.【详解】解：连接比；如图所示：Z A )C=30,ZABC=ZADC 30,/AB是直径，；Z A C B =90,；AC=5 c m ,AB-2AC-10 c m,G O的半径为5 c m；故答案为5 c m.3.(2021湖南省常德市)如图，四边形A B C D是。的内接四边形，若/B 0D=80,则/B C D的度数是_ _ _ _.【答案】140 .【解析】【详解】试题分析：V Z B
22、0D=80o,.Z A=40o,二 四边形A B C D是。的内接四边形,/.Z B C D=180-40 =140,故答案为 140 .考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理4.（2021长沙市）如图，在。中，弦 A 8 的长为4,圆心。到弦A B 的距离为2,则 NAOC的度数为一 _ 5.（2021江苏省连云港）如图，O A、0 8 是 O。的半径，点。在 0 0 上，Z A O B =3 0 ,N O 3C=4 0 ,则 NQ 4C=【解析】【分析】连 接0 C,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到N 8 aM 00,求出N/0C,根据等腰三角形的性质计算.【详解】解：连 接 04
23、：.Z 0 CB=Z 0 3 0 4 0 ,况心 180-40 X 2=100,妗 100+30=130,O O O A,：.Z O AC=Z O CA=2 5 ,故答案为：25.6.(2021江苏省南京市)如图，A 3是。的弦，。是AB的中点，OC交A 8于点.若A B=8cm,C D=2cm,则 Q O 的半径为 cm.【答案】5【解析】【分析】连 接O A,由 垂径定理得/分4c m,设 圆 的 半 径 为R,根据勾股定理得到方程/？2=42+(/?2)2,求解即可【详解】解：连 接OA,是A 3的中点，O C L A BA D =A B=4cm2设0。的半径为此C D=2cm/.O D
24、 =O C-C D =(R-2)cm在 用 八 加)中，O A2=A D2+O D 即 R2=42+(R 2)2,解得，R =5即Q O的半径为5 c m故答案为：57.（2021湖北省随州市）如图，。是 小 抽。的外接圆，连接A。并延长交O。于点若N C =50。，则 4 W的度数为.8.（2021四川省成都市）如图，在平面直角坐标系X。中，直 线 产=返 户2返 与。相3 3交于4,8两点，且点力在x轴上，则弦4?的 长 为2JQ.【分析】设 直 线 仍 交y轴 于C,过0作ODLAB于D,先 求 出 尔C坐标，得 到O A.冗长度，可 得/。=30,口/切中求出4。长度，从而根据垂径定理
25、可得答案。【解答】解：设直线48交y轴 于G过。作切于4如图:在 了=返 户2返 中，令x=0得y=2返，3 3 3。（0,?叵,%=冬 叵3 3 _ _在 y=中 令 y=0 得叵=0,3 3 3 3解得X=-2,：.A-2,0),04=2,2 MRtZUOC中，ta n/C 4 g匹=_=返,O A 2 3A ZC46 30 ,RtZ/0中，49=cos30=2X亭=,：ODLAB,:.AD=BD=a，：.AB=2y3,故答案为：2 .9.（2021湖南省娄底市）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作I r a d.已知。=lr a d,4=6
26、 0 ,则a与4的大小关系是 a P.【答案】【解析】【分析】根据弧度的定义,圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作Irad,当尸=60。时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小.【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作 Irad,当尸=60。时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，二圆心角所对的弧长比半径大,:.a（3,故答案是：;.N1=ZD在R SB E D中ND+ZB=90。.Nl+NB=90。.ZAGB=9O:.A F A.BD2.（2 0 2 1甘肃省定西市）在 阿基米德全集中 的 引理集中记录了
27、古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图，己知第，是弦4?上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；作线段1的垂直平分线始 分别交窟于点/C于 点 色 连 接/，CD；以点，为圆心，加长为半径作弧，交 源 于 点 八 区/两 点 不 重 合），连接力；BD,BF.（2）直接写出引理的结论：线段8G跖的数量关系.【分析】（1）根据要求作出图形即可.根据要求作出图形即可.（2）证 明 姓 可 得 结 论.【解答】解：（1）如图，直 线 弧 线段4线段必即为所求.如图，点 八 线 段 切，做跖即为所求作.(2)结论：BF=BC.理由：.庞垂直平
28、分线段力C；J.DA DC,：.4 DAC=4 DCA,：AD=DF,:.DF=DC,AD=D F,：./DBC=4 DBF,砂 N%C=1 8 0 ./DC皆N DCA=1 8G,:.N DFB=N DCB,在女叨 和 顺 中，ZD F B=ZD CB0，R是常数),求 关于x的函数解析式，并指明自变量*的取值范围.r型心l e i、2A/5(八 /5 1 zo 4 R-2 5 3 5-5 2 5/5【合菜】(1)-；(2)-；(3)y =-R(-R x -R)5 2 5 x 5 5 54.(2 0 2 1江苏省苏州市)如图，四边形4 667?内接于。0,N l =/2,使得磔,=4 6,连
29、接ED.(1)求证：BD=ED；(2)若 4?=4,BC=6,Z ABC=6 0【分析】(1)根 据 圆 内 接 四 边 形 的 性 质 得 到 证明/(国 根据全等三角形的性质证明结论；(2)过点。作的让3于M根据等腰三角形的性质求出的/,进而求出CM,根据正切的定义求出队根据正切的定义计算，得到答案.【解答】(1)证明：二 四边形/腼内接于。，:.匕 A=/DCE,V Z 1 =Z2,AD=D C)：.AD=DC,在/协和腔1中，AB=CE,AD=D C：./ABD/DCE(S 4 5),:.B Q ED；(2)解：过点、。作用LLBE于 M,：AB=L JLL AC 2 46.（2021
30、山东省临沂市）如图，已知在。中，AB=BC=CD，Q C与 相 交 于 点 反求证：（1）AD/BC-,（2）四边形式2出为菱形.【分析】（1）连接被根据圆周角定理可得N 4K 4电/物（物，根据平行线的判定可得结论；（2）证明丛DEFDEg/XBCFBCF,得到DE=BCDE=B C,证明四边形腐%为平行四边形，再 根 据 祕=而 得 到 从 而 证 明 菱 形.【解答】解：（1）连接功,1 .AB=CD.：.AADBADB=ACBD,：.ADAD/BCBCx(2)连 接 CD,：AD AD/BBC,：.AEDFEDF=ACBFCB,VBC=CD.：.BCCCDCD,:.BFBF=DF,又
31、4DFE=4BFBFC,：./DEFDEFBCF CASAa),：.DE=BCDE=BC,四边形及功完应1是平行四边形，又 BCBC=CD,：.四边形BCDEBCDE是菱形.7.(2021 山东省泰安市)如 图1,。为半圆的圆心，C、。为半圆上的两点，且 俞=而.连接 并 延 长，与被的延长线相交于点反(1)求证：CDED-,(2)AD与OC,比分别交于点R H.若CF=CH,如图2,求证：CFAF=FSAH；若圆的半径为2,B D=,如图3,求/C的值.【分析】(1)如 图1中，连接犯想办法证明/=/(%即可。(2)证明力如/阳可得结论。连接CD交交 于G.设OG=x,则6=2-x.利用勾股
32、定理构建方程求解即可。【解答】(1)证明：如 图 1 中，连接:D C B=/D B C,/8 是直径，:.NACB=/BCE=9a,：./吩/DBC=9Q；Z E O/DCB=9G0,E=/D C E,:DE=DC.证明：如图2 中,图2*：CF=CH、:./CFH=4CHF,：4AF0=/CFH,:./A F O=/C H RVBD=CD,:C A D=/B A D、：./AFO/AIIC,.AF=O FAH CH.AF=O FA H亩：.CF*AFOF-AH.解：如图3中，连接必交回于G.设OG=x，则 G=2-x.：.Z.COD=ZBOD,：OC=OB,：.ODVBC,CG=BG,在低
33、小；和 RtZ8G 中，则有 2 2-V=-(2-x)x=,即 O G,4 4：OA=OB,.%是 的 中 位 线，OG=1.AC,2：.AC=1.28.（2021上海市）已知：在圆。内，弦A O与弦8 C交于点G,A=CB,例,N分别是CB和A。的中点，联结M N,OG.(2)联结AC,A M,C N,当CV/OG时，求证：四边形ACMW为矩形.【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】(1)连结O ,O N,由双N分别是CB和 的 中 点，可得ML%O N LAD,由AB=CD,可 得 OM=ON,可 证 R tg O g R M O P(H L),MG=NG,ZM G O ZNG
34、 O,根据等腰三角形三线合一性质OGL MN;(2)设华交腑于 E,由 RtEOPRtFOP，可得知G=NG,可得 ZCMN=ZANM,CM=-CB=-AD=AN,可证 4cMN、ANM可得 AM=CN,由 CNOG,可得2 2ZAMN=NCNM=9 0,由 ZAMN+ZCNM=1 80 可得 AM/CN,可证 ACNM 是平行四边形，再由ZAMN=90可证四边形/财是矩形.【详解】证明：(1)连结OM,ON,：以 A分别是CB和AD的中点，：.0M,C JV 为弦心距,：.O M A_BC,O N LAD,Z.GMO=Z.GNO=90,在 0。中，AB=CD,:.OM=ON,在始和RtAON
35、G中,OM=ON OG=OG RtGOMRtGON(HL),A MG=NG,ZMGO=ZNGO,:.OGMN;(2)设O G交.械千E,RtkGOMmRtkGON(HL),:.MG=NG,:.ZGMN=NGNM,理 NCMN=NANM,：CM=-C B-A D A N,2 2在C%V和加，中CM=AN NCMN=AANM,MN=NM:AC M N A N M ,：.AM=CN,ZAMN=ZCNM,CN/OG,ZCNM=Z.GEM=90,：.ZAMN=ZCNM=90,ZAMN+ZCNM=90+90=l 80,C.AM/CN,:.ACNM是平行四边形，ZAMN=90,.四边形AM是矩形.9.（20
36、21四川省广元市）如图，在RtABC中，NAC3=90，AO是NBAC的平分线，以4。为直径的O。交A3边于点，连接C E,过点作D F/C E,交A3于点A（1）求证：D E 是。的切线；3若BD=5,sinZ5=-,求线段O R 的长.【答案】（1）证明见详解；（2）之叵.2【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理、角平分线定义、平行线性质证明/劭庐N7;Z 步，再根据力为 0。直径，得到N/加 氏 90,进而得到4 a 如，问题得证；（2）先 求 出 旌 3,证明力催力,得 到 原 叱 3,B0,；x=2,1 俏 3A=6,：lAE恒 MACD,:.AB=AC=69.在 中，A D jA
37、E2+D E2=375 :NEAD=NDAF,/力旌N4炉=90,/%s 板，.D E AE 二,FD A D3 6即-二 产,FD 3.m 36 r D=-210.（2021浙江省杭州）如图，锐角三角形48c内接于。，的平分线/C交。于点G,连接肉.（1）求证：XAFC.（2）已知四=a,A C=A F=b,求线段尸G的 长（用 含a,6的代数式表示）.（3）已知点在线段/尸上（不与点/，点/重 合），点在线段/上（不与点4点 重合），2 ABQ/CB=GEGD.【分析】（1）根 据/胡C,的平分线4G交。于 点G,知/B A g/F A C,由圆周角定理知/G=/C,即可证匕 由（1）知
38、妲=旭，由 然=/得/。=四，即 可 计 算 的 长 度：A F A C先证的兆瓦 得出线段比例关系，即可得证初=侬5【解答】（1）证明：“平分N物G:.N BAG=N FAC,又,：乙 G=LC,:.X A B C s XAFC：（2）解：由（1）知，/ABC AFC,A B =A G*A F A C）,:AC=AF=b,AB=AG=a.：.FG=A G-A F=a-b；(3)证明：V 4CAG=NCBG,/BAG=/CAG,:./B A G=/C B G,:/ABD=/CBE,.4BDG=4BAG+4ABD=NCBG+4CBE=4EBG,又 Y 4DGB=/BGE,:DGBSBGE,A，-
39、G D =BG,B G G E，:.B4=GEGD.11.（2 0 2 1深圳）如图，AB为。的弦，D,。为AC8的三等分点，AC/BE.(1)求证：Z 4 =NE；(2)若B C =3,BE=5,求CE的长.【解答】(1)连接A O,?)、D、C、6四点共圆 ZBAD+ZBCD 180又 ZBCD+4BCE=180 ZBAD=ZBCE又 NBAD=&BC：.ZABC=ZBCE：.ABI ICE,X AC/BE四边形ACEB为平行四边形二 ZA=ZE(2)-：BD=CD,：.CD=BD=3又：CD/IAB,：.BC=AD=BE=5N-C-D-B-C-,即Q一 3=-5-B C C E 5 C
40、E12.(2 0 2 1浙江省湖州市)如图，已知A B 是。0的直径，N A C D 是 AD所对的圆周角，ZA C D=30 .(1)求/D A B 的度数；(2)过点D 作 D E L B,垂足为E,D E 的延长线交。0于点F.若 A B=4,求 D F 的长.-、【答案】(1)60 ；(2)2G.【解析】解：(1)连结8。，.NA8 =3O。，ZB =ZA C D =3 0，.A 3是。0的直径，.-.Z ADB=90,ZD A B=90 =60 .(2)-Z A D B =90,ZB =3 0,A B =4,A D =-A B =2,Z D A B 6 Q ,D E A B,且 A8
41、 是直径,E F =D E =A D s i n 60 =6,D F =2 D E=2 5/3.13.(2021浙江省金华市)在扇形/施中，半径的=6,点尸在。力上，连结阳，将a OBP沿阳折叠得到0 BP.(1)如 图1,若/1 7 5 ,且8。与众所在的圆相切于点反求N/心 的度数.求力,的长.(2)如图2,B O 与 赢I交于点，若点为定的中点，且勿必，求福的长.图1 图2【分析】(1)利用三角形内角和定理求解即可。如图1中，过点B作BH，OA千H,在如上取一点F,使 得OF=FB,连 接O F.想办法求出明 图 可 得 结 论。(2)如图2中，连接AD,O D.证明N/I加=7 2 可
42、得结论。【解答】解：(1)如图1中，9 是。的切线，C.AOBO=90,由翻折的性质可知，NOBP=4PBO=45,Z.OPB=ZBPO,:4 AOB=75,：.2OPB=/BPO=180-75-45=6 0。，：.ZOPO=120,A A APO=180-AOPO=180-120=60.如图1中，过点B作BH1OA于H,在用/上取一点F,使 得OF=FB,连 接OF.；/掰9=9 0,.,.Z W=9 0 -NBOH=5,：FO=FB,:./F O B=/F B g 15,：.ZOF/=ZFOZFBO=30,设 OH=m,则 H F=f诵,0F=FB=2m,宏=丽+加，62=/Z Z2+(J
43、/Z T+2 力)；.片 色 层 还 或.近喳(舍弃)，2 2.0 4 娓 Y版,掰=_3亚+3恒2 2 _ _在R SPBH中,PH=电=近”返，tan600 2 _：.PA=OA-OH-PH=6-?娓-逅-2遍.2 2(2)如图2中，连 接 力,如.V AD=BD,AD=BD,NAOD=Z BOD,由翻折的旋转可知，NOBP=NPBD,：PD/OB,:D P B=40BP,：.2DPB=NPBD,:.D DB=AD,：./D A P=NAPD=ZA0J3,:AO=OD=OB,AD=DB,1/A0哙/XB0D,：./0BD=/0AD=/A0B=2/BOD,：OB=OD,：.ZOBD=Z 0D
44、B=2/D0B,：.ZDOB=36,:.NAOB=72,窟的长=72兀 哨二卫四。180 5图114.(2 0 2 1浙江省宁波市)如 图1,四边形A 3 C D内接于0。，B D为直径,A0上存在点，满足A E =CD，连结电并延长交CO的延长线于点b，B E与A D交于点G.(1)若N D B C =a,请用含&的代数式表列Z A G B.(2)如图 2,连结 C E,C E =BG.求证；E F =D G(3)如图3,在(2)的条件下，连结C G,A G =2.若t an Z A D B =，求&F G D的周长.2求CG的最小值.【答案】(1)Z A G B 90-a；(2)见解析；(
45、3)$+币;62【解析】【分 析】(1)利 用 圆 周 角 定 理 求 得Z B A D =90,再 根 据A E =CO，求得Z A B G =N D B C =a,即可得到答案;(2)由 NBEC=ABDC=90 a,得到 ZBEC=ZAGB,从而推出 Z.CEF=NBGD，证得ACFE四ABOGmSA),由此得到结论；(3)连结 .利用已知求出A3=走AO=6，证得D4=CE，得到BG=AD=2,2利 用&AA6G中，根据正弦求出/463=60,46=1皮7=1,求出的长，再利用2RtADEG中,ZEGD=6 0,求出6及 质 再利用勾股定理求出价 即可得到答案；过点。作CHLBF于，证
46、明A84名ACH/(AAS),得 到 切=A。，证明BHCS ACHF,得 到 黑=黑，设G =x,得到a/2=2(2 力，利用勾股定理得到CG2=G”2+C”2,求得C G 2=/+2(2-X)=(X-1)2+3,利用函数的最值解答即可.【详解】解：(1)为OO的直径，/.ZBAD=90,AE=CD，：.ZABG=ZDBC=a,：.NAG3=90 a.(2):8。为。的直径,/.ZBCD=90,：./BEC=ZBDC=90。-a,:.ZBEC=ZAGB,：ZCEF=180-/BEC,ZBGD=180-ZAGB,/.NCEF=/BG D.又CE=BG,NECF=ZGBD,CFEBDG(ASA)
47、,：.EF=DG.(3)如图，连结。E.,/BD为。的直径，：.ZA=ABED=90.在RtZA3O中，tanZA)B=-AD=2,2，AB=AD=y/3.2AE=CDAE+DE=CD+DE即 D4=CE，AD=CE.：CE=BG,*.BG=AD=2.在 R/AABG 中，sinZAGS=，BG 2ZAGB=60,AG=-BG =,2，EF=DG=AD-AG=.:在 心ADEG 中,ZEGD=60,/.EG=-D G-,D E =DG=.2 2 2 2在 RNFED 中,DF=EF2+DE2=.；FG+DG+DF=币,2FGO的 周 长 为 土 立.2ABDGACFE,BD=CF,NCFH=A
48、BDA.；/BAD=NCHF=90,：.ABADACHF(AAS).：.FH=AD,：AD=BG,：.FH=BG./ZBCF=90,；NBCH+/HCF=90。.,：ZBCH+ZHBC=90,:.NHCF=NHBC,：ZBHC=ZCHF=90,：.ABHCSCHF,.BH CHCHFH设 G=x,；BH=2 x,0 7 2=2(2 7).在 RGHC 中,CG2=GH2+CH2，CG2=x2+2(2 x)=(x 1)2+3,当x =l时，CG?的最小值为3,/.CG的最小值为G.1 5.(2 0 2 1 湖北省荆门市)如图，在/6C 中，/劭。=90 ,点 在 8c 边上，过 4 C,6 三点
49、的。交 4 6边于另一点凡 且尸是金的中点，4?是。的一条直径，连接 并延长交四边于点.(1)求证：四边形切如为平行四边形；(2)当切=2j 8 时，求 s in N/l 的值.5【分析】(1)连接力1、EF,根据圆周角定理得到/加=N 应 ,进 而 证 明/明=/瓦/,根据平行线的判定定理得到内加例/,根据矩形的性质得到力尸切，根据平行四边形的判定定理证明结论；(2)根据题意得到切=2 8肌证明应:以 力,根据相似三角形的性质得到&=2 跳;根据勾股定理、正弦的定义计算，得到答案.【解答】(1)证明：连接加、EF,：/刈，=90 ,.用是。的直径，.尸是标的中点，/.AF=EF-：.AADF
50、=AEDF,：0F=0D,ADF=/OFD,：./0FD=/EDF,J.FC/DM,：OA=OD,OF=OC,NBAC=90,四边形）用必为矩形，:AF C D,四边形微犷为平行四边形；（2）解：,四边形力&T为矩形，四边形制监 为平行四边形,:CD=AF=FAf=EF,C D=2AB,5：CD=Z（2办图/）,5 CD=2BM,*：BM CD,:BEISACED,B M =BE=1*CD EC 2:EC=2BE,设 BM=a,J J IlJ CD=2a,BF=3a,EF=2a,在 Rt氏%中，BE=JB F 2 E F 2=EC=25?,在 R t CEF 中，FC JEF?+E C?=2